1、第八章 相量法求解電路的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，在數(shù)學(xué)上是求非齊次微分方程的特解。引用相量法使求解微分方程特解的運(yùn)算變?yōu)閺?fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)運(yùn)算，從兒大大簡(jiǎn)化了正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算。所謂相量法，就是電壓、電流用相量表示，RLC元件用阻抗或?qū)Ъ{表示，畫(huà)出電路的相量模型，利用KCL,KVL和歐姆定律的相量形式列寫(xiě)出未知電壓、電流相量的代數(shù)方程加以求解，因此，應(yīng)用相量法應(yīng)熟練掌握：（1）正弦信號(hào)的相量表示；（2）KCL,KVL的相量表示；（3）RLC元件伏安關(guān)系式的相量形式；（4）復(fù)數(shù)的運(yùn)算。這就是用相量分析電路的理論根據(jù)。81 將下列復(fù)數(shù)化為極坐標(biāo)形式： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）。 解：（

2、1） (因在第三象限)故的極坐標(biāo)形式為 （2）（在第二象限） （3） （4） （5） （6）注：一個(gè)復(fù)數(shù)可以用代數(shù)型表示，也可以用極坐標(biāo)型或指數(shù)型表示，即,它們相互轉(zhuǎn)換的關(guān)系為： 和 需要指出的，在轉(zhuǎn)換過(guò)程中要注意F在復(fù)平面上所在的象限，它關(guān)系到的取值及實(shí)部和虛部的正負(fù)。82 將下列復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）。 解：（1） （2） （3） （4） （5）（6）83 若。求和。 解：原式=根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，應(yīng)有實(shí)部和實(shí)部相等，即虛部和虛部相等 把以上兩式相加，得等式解得 所以 84 求81題中的和。 解： 85 求82題中的和。 解： 86若已知。 （

3、1） 寫(xiě)出上述電流的相量，并繪出它們的相量圖；（2） 與和與的相位差；（3） 繪出的波形圖；（4） 若將表達(dá)式中的負(fù)號(hào)去掉將意味著什么？（5） 求的周期T和頻率f。解：（1） 故，和的相量表達(dá)式為其相量圖如題解圖（a）所示。題解86圖 （2） （3）（t）的波形圖見(jiàn)題解圖（b）所示。 （4）若將（t）中的負(fù)號(hào)去掉，意味著的初相位超前了180。即的參考方向反向。 （5）（t）的周期和頻率分別為注：定義兩個(gè)同頻率的正弦信號(hào)的相位差等于它們的初相之差，因此在比較相位差時(shí)，兩個(gè)正弦量必須滿(mǎn)足（1）同頻率；（2）同函數(shù)，即都是正弦或都是余弦；（3）同符合，即都為正號(hào)或都為負(fù)號(hào)，才能進(jìn)行比較。87 若已知

4、兩個(gè)同頻正弦電壓的相量分別為，其頻率。求： （1）寫(xiě)出， 的時(shí)域形式；（2）與的相位差。 （1） （2）因?yàn)楣氏辔徊顬椋磁c同相位。88 已知： （1） 畫(huà)出它們的波形圖，求出它們的有效值、頻率和周期T；（2） 寫(xiě)出它們的相量和畫(huà)出其相量圖，求出它們的相位差；（3） 如果把電壓的參考方向反向，重新回答（1），（2）。 解：（1）波形如題解88圖（a）所示。題解88圖有效值為 頻率 周期 （2）和的相量形式為 故相位差為 相量圖見(jiàn)題解圖（b）所示。（3）的參考方向反向，（t）變?yōu)椋╰），有效值、頻率和周期均不變，（t）的相量為故 和 的相位差為 波形圖和向量圖見(jiàn)題解圖（a）和（b）。89 已知一

5、段電路的電壓、電流為：（1） 畫(huà)出它們的波形圖和向量圖；（2）求出它們的相量差。解：（1），故u和i的相量分別為 其波形和相量圖見(jiàn)題解圖(a)和圖（b）所示。 題解89圖（2）相位差 ，說(shuō)明電壓落后于電流。810 已知圖示三個(gè)電壓源的電壓分別為： ，求：（1）3個(gè)電壓的和；（2）；（3）畫(huà)出它們的相量圖。題解810圖解：，的相量為（1）應(yīng)用相量法有 即三個(gè)電壓的和 （2） （3）相量圖如題解810圖所示。題解810圖811 已知圖（a）中電壓表讀數(shù)為； ；圖（b）中的； 。（電壓表的讀數(shù)為正弦電壓的有效值。）求圖中電壓。 題811圖解法一：（a） 圖：設(shè)回路中電流，根據(jù)元件的電壓、電流相量關(guān)系

6、，可得 題811圖則總電壓 所以的有效值為 （b） 圖：設(shè)回路中電流相量，因?yàn)?所以總電壓 故的有效值為 解法二： 利用相量圖求解。設(shè)電流為參考相量，電阻電壓與同相位，電感電壓超前，電容電壓要滯后，總電壓與各元件電壓向量構(gòu)成一直角三角形。題解8-11圖（a）和（b）為對(duì)應(yīng)原圖（a）和（b）的相量圖。由題解圖（a）可得 由題解圖（b）可得 題解811圖注：這一題的求解說(shuō)明，R，L，C元件上電壓與電流之間的相量關(guān)系、有效值和相位關(guān)系（如下表所示）是我們分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的基礎(chǔ)，必須很好地理解和掌握。元件相量關(guān)系有效值關(guān)系相位關(guān)系相量圖電阻R電感L電容C812 已知圖示正弦電流電路中，電流表的讀數(shù)分別

7、為；。求：（1）圖中電流表A的讀數(shù)；（2）如果維持的讀數(shù)不變，而把電源的頻率提高一倍，再求電流表A的讀數(shù)。題812圖解法一： （1）R，L，C并聯(lián)，設(shè)元件的電壓為根據(jù)元件電壓、電流的相量關(guān)系，可得 應(yīng)用KLC的相量形式，總電流相量為故總電流表的讀數(shù)（2）設(shè)當(dāng)電流的頻率提高一倍后，由于不變，所以不變，而增大一倍，減小一倍，因此，有所以 即，電流表的讀數(shù) 題解812圖 解法二： 利用相量圖求解。設(shè)為參考向量，根據(jù)元件電壓、電流的相位關(guān)系知， 和同相位，超前，滯后，相量圖如題解812圖所示，總電流與，和組成一個(gè)直角三角形。故電流表的讀數(shù)為即 （1） （2） 注：從811題的解法二，可以體會(huì)到應(yīng)用向量

8、圖分析電路的要點(diǎn)，那就是首先要選好一個(gè)參考相量，這個(gè)參考相量的選擇，必須能方便地將電路中其它電壓、電流相量，根據(jù)電路的具體結(jié)構(gòu)及參數(shù)特點(diǎn)逐一畫(huà)出，把所給的條件轉(zhuǎn)化成相量圖中的幾何關(guān)系。最后根據(jù)相量圖中的相量關(guān)系，使問(wèn)題得到解決。一般對(duì)串聯(lián)電路，選電流作參考方向較方便，如811題。對(duì)并聯(lián)電路，則選電壓作參考相量較方便，如812題。有些問(wèn)題通過(guò)相量圖分析將很直觀和簡(jiǎn)便。813 對(duì)RL串聯(lián)電路作如下兩次測(cè)量：（1）端口加90V直流電壓（）時(shí)，輸入電流為3A；（2）端口加的正弦電壓90V時(shí)，輸入電流為1.8A。求R和L的值。題解813圖 解：由題意畫(huà)電路如題解813圖所示。 （1）當(dāng)為90V直流電壓時(shí)

9、，電感L看作短路，則電阻 （2）當(dāng)為90V交流電壓時(shí)，設(shè)電流，根據(jù)相量法，有 故 根據(jù)，解得814 某一元件的電壓、電流（關(guān)聯(lián)方向）分別為下述4種情況時(shí)，它可能是什么元件？ （1） （2） （3） （4） 解：（1）把電流變?yōu)橛嘞倚问接校偷南嗔繛?， 則 即電壓、電流同相位，根據(jù)元件電壓、電流相位關(guān)系可知這是一個(gè)的電阻元件。（1） 把電壓變?yōu)橛嘞倚问接?（2） 和的相量為 則 即這是一個(gè)的電阻和的電感的串聯(lián)組合。815 電路由電壓源及R和L0.025H串聯(lián)組成。電感端電壓的有效值為25V。求R值和電流的表達(dá)式。 解：由題意畫(huà)電路的相量模型如題解815圖（a）所示，相量圖如題解圖（b）所示。由于故電流的有效值為 題解815圖由圖（b）知電阻電壓的