1、第8講 高階導數與二元函數極值授課題目高階導數與二元函數極值教學內容1.多元函數的高階偏導數；2.二元函數的二階混合偏導數相同的充分條件；3.二元函數的中值定理；4.二元函數的泰勒公式；5.二元函數極值.教學目的 和要求通過本次課的教學，使學生能夠較好地掌握多元函數的高階偏導數的計算方法，掌握二元 函數取極值的必要和充分條件，了解二元函數的中值定理，了解二元函數的泰勒公式教學重點 及難點教學重點：多兀函數的高階偏導數的計算；教學難點：二元函數取極值的充分條件，二元函數的中值定理教學方法 及教材處 理提示(1)本講重點是多兀函數的高階偏導數的定義及計算，通過例題講授講清方法和思想，米用 邊講邊練

2、教學方法，冋時要布置適量的求多兀函數的高階偏導數習題，使學生達到熟練掌 握. 二階混合偏導與求導次序無關的定理證明是教學難點，我們可以先講二元函數的中值定 理，應用二元函數的中值定理來證明二階混合偏導與求導次序無關的定理，布置有關習題.(3)講清二元函數的極值必要和充分條件與一元函數的聯系，可通過舉例使學生掌握求二 元函數極值的方法.作業布置作業內容：教材41 ：1 (3, 5, 6) , 2, 8 (2, 3), 11.講授內容、高階偏導數由于z二f(x,y)的偏導函數fx(x,y), fy(x,y)仍然是自變量x與y的函數，如果它們關于x與y的偏導數也存在，則說函數 f具有二階偏導數,二元

3、函數的二階偏導數有如下四種情形:Z = = fxx(x,y)，tx ycx J矽側丿=fyy(x, y).：2Z:x :ya f亠C CZ 1 , z 、 !=f xy(x,y), cy 5丿：2Z:y :x:z=f yx(x, y)例1 求函數z =arctan -的所有二階偏導數x解:-：x2f、-y2xyq2 c zx-2xy2 . 2IX +y 丿,x2+y2 廠a 2-cy2*2IX +y 丿,x2 + y2f©r2p fC z_ C_y i!_2 2x - y口 2c z/ 、xcxcyoy Ix2+y2 丿一(x2+y2 廠rrcycxex2 + 2IX + y 丿2

4、2x 一討x2 y2 2,，但這個注意：從上面例子看到，關于x和y的不同順序的兩個二階偏導數都相等(稱為混合偏導數)結論并不對任何函數都成立(見例2)2 2xyX _y例2設函數f x, yx2y2 'x2yb，解：它的一階偏導數為fx x, y二*(x20,-y2)+ y(4x2y2)+ y2)(x2 +y2 )2 'x2 y2 = 0,2 2x y = 0,xx2 y2x4x2y2fy(x,y)» (x2 +y2 ) (x2+y20,y2x2 y2fx 0,. y - fx 0,0yfxy 0,0 iy叫,y二啊弓"0,進而求f在(0, 0)處的混合偏導

5、數，得=0,© 00呷fy燈；fy 0,0二啊彳"由此看到，這里的f x, y在原點處的兩個二階混合偏導數與求導順序有關，那么，在什么條件下混合偏導數與求導順序無關呢?定理 177 若 fxy(x,y)和fyx(x,y)都在點(xoy。)連續，則 fxyX°,y° 二 fyxX°,y° .這個定理的結論對n元函數的混合偏導數也成立。如三元函數U = f (x, y, z)，若下述六個三階混合偏導數 fxyz(x, y,z), fyzx(x, y,z), f/xyz), f/x, y,z), fyXz(x,y,z), fzyx(x, y

6、, z)在某一點都連續，則在這一點六個混合偏導數都相等xX,< y丿-22“:Z : z 求一2，x :xy2)設 z = f xy, x - y ,-2- 2c zc z求一2，x : xy解：這里z是以x和y為自變量的復合函數,它也可以改寫成如下形式:由復合函數求導公式有=f fexcu extv excu y cv注意，這里f ,f 仍是以u,v為中間變量x, y為自變量的復合函數所以 -U : v鳥 az .r 2r-x:x-2:z:x .y22C f廠=r2fr-rleercuexcucv exy gcu ex-2c f cu=rf 2 uf -2C:f :v 1 ：:f :y

7、 : u: v:y y : vr2x f 1 ：:f-2-V-2C-2uf 2 ;：2f 1;：2f2 2，y : uv y : v1點 f cuy cVcu cyc f cy-2 rcvcy 丿2322y :uv y :v y : v、中值定理R(Xi, yj, F2 (x2, y2) e D 和一切九(0 蘭丸 <1),，恒有卩(人 +人(x2 xi), yi + 入(y2 ) D.定理17.8 (中值定理)設二元函數f在凸開域D R2上連續，在D的所有點內都可微，則對D內任意兩點 P(a, b),Q(a h, b k) int D,存在某 ”0 ： n : 1),，使得f (a h

8、,b k)-f(a,b)= fx(a vh,b 水)h fy(a vh,b vk)k.證：令 G(t)二f(a th,b tk).它是定義在 0,1 上的一元函數，由定理中的條件知G t在0,11上連續，在0,1內可微于是根據一元函數中值定理，存在二(0十<1)使得 門(1)-門(0) ：J("由復合函數的求導法則 ©&) = fx(a rh,b vk)h fy(a vh,b rk)k.定理17.9 (泰勒定理) 若函數f在點P0(X0,y。)的某鄰域U(P。)內有直到n 1階的連續偏導數，則對U(P°)內任一點(人 h,y0 k)，存在相應的 八(

9、0,1)，使得12f (x° h,y°k) = f(x°,y°)(h k)f (x°,y°)(h k )f(x°,y°)excy2!excy(h k )n f (x0,y0)(h k jn 1 f (x0 九y0祐).稱為二元函數f 在點P0的 n 階n!:x：yn 1 !;xjy-m_ m泰勒公式，其中(h k jmf (x°,y°)二為C；市f侃皿舊疋"1.:x: yi 出 ：x : y例4 求f(x, y) =xy在點(1,4)的泰勒公式(到二階為止)解：由于X。=1,y

10、6; =4,n =2,，因此有f (x, y) =xy, f (1,4) =1, fx(x, y) =yxy，fx(1,4) =4, fy(x, y) =xy In x, fy(1,4) =0, fx2 (x, y)二 y(y T)xy，fx2 (1,4) = 12, fxy(x, y)二 xy4 yxy4 In x, fxy(1,4) = 1. fy2(x, y) =xy(lnx f, fy2(1,4) =0.將它們代入泰勒公式，即得xy =1 - 4(x -1) - 6(x -1)2 (x-1)(y -4) o ".三、極值問題定義 設函數f在點Po x°,y0的某鄰域

11、U （F0）內有定義.若對于任何點P x,y - U P°成立不等式f （P）乞f （P。）或f p 一壯丘），則稱函數f在點R取得極大（或極小）值，點P。稱為f的極大（或極小）值點極大值、極小值統稱極值極大值點、極小值點統稱極值點.由定義可見，若f在點xo,y°取得極值，則當固定 y = y°時，一元函數f x, y°必定x = x°在取相同 的極值上同理，一元函數f x0,y在y = y0也取相同的極值于是得到二元函數取極值的必要條件如下：定理17.10 (極值必要條件)若函數f在點P0(x0,y0存在偏導數，且在 P取得極值，則有fx X

12、°,y° go, fy x0,y° =0.反之，若函數f在點R滿足fx x0,y0 = 0, fy x0, y0 =0，則稱點R為f的穩定點定理17.10指出:若f存在偏導數，則其極值點必是穩定點。但穩定點并不都是極值點，如例函數h(x, y)二xy，原點為為其穩定點，但它在原點并不取得極值與一元函數的情形相同，函數在偏導數不存在的點上也有可能取得極值。例如f(x, yH x2 y2在原點沒有偏導數，但 f (0,0) =0是f的極小值.定理17.11 (極值充分條件)設二元函數f在點P0(x0, y0)的某鄰域U(P0)內具有二階連續導數，且P0. 2是f的穩定

13、點.則有(i )當fxx(P。卜0,仃"丫丫 fxy)(P。)>0時，f在點P0取得極小值；(H )當 fxx(R )<0,(fxxfyy )(2 )A0 時，f 在點 R 取得極大值；(iii )當(fxxfyy -蔦)P°：0時，f在點P。不能取得極值；(iv )當(fxxfyy -f：) P。=0時，不能肯定f在點R是否取得極值.例 5 求 f (x, y) = x2 - 5y2 -6x 10y 6 的極值.解:由方程組fx = 2x - 6 = 0,fy = 10y 10 = 0得f的穩定點P0 3,-1 ,由于fxxP°=2,fxyP0= 0, f