1、步驟規(guī)范練空間向量與立體幾何(建議用時：90分鐘)一、選擇題1已知a，b是平面內(nèi)的兩個不相等的非零向量，非零向量c在直線l上，則c·a0且c·b0是l的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析若l，則l與a，b所在的直線垂直，ca，cb，c·a0，c·b0，是必要條件；ab，當a與b同向(或反向)時，由c·a0且c·b0可以推出ca且cb，但不能推出l，不是充分條件答案B2已知二面角l的大小為，m，n為異面直線，且m，n，則m，n所成的角為()A.B.C.D.解析設m，n的方向向量分別為m，n.由m

2、，n知m，n分別是平面，的法向量|cos<m，n>|cos，<m，n>或.但由于兩異面直線所成的角的范圍是，故異面直線m，n所成的角為.答案B3在正四面體PABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結(jié)論中不成立的是()ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PDF平面ABCD平面PAE平面ABC解析若平面PDF平面ABC，則頂點P在底面的射影在DF上，又因為正四面體的頂點在底面的射影是底面的中心，因此假設不成立，故C不成立答案C4(2013·濰坊二模)已知m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，給出四個命題：若m，n，nm，則；若m，m，則；若

3、m，n，mn，則；若m，n，mn，則.其中正確的命題是()ABCD解析命題中，與不一定垂直，不正確；垂直于同一條直線的兩個平面平行，命題正確；易知，命題正確，命題不正確故選B.答案B5在以下命題中，不正確的個數(shù)為()|a|b|ab|是a，b共線的充要條件；若ab，則存在唯一的實數(shù)，使ab；對空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，若22，則P，A，B，C四點共面；若a，b，c為空間的一個基底，則ab，bc，ca構成空間的另一個基底；|(a·b)·c|a|·|b|·|c|.A2 B3 C4 D5解析|a|b|ab|a與b共線，但a與b共線時|a|b|ab|

4、不一定成立，故不正確；b需為非零向量，故不正確；因為2211，由共面向量定理知，不正確；由基底的定義知正確；由向量的數(shù)量積的性質(zhì)知，不正確答案C6如圖所示，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F(xiàn)分別是CC1，AD的中點那么異面直線OE和FD1所成的角的余弦值等于()A.B.C.D.解析建立如圖所示的空間直角坐標系，則O(1,1,0)，E(0,2,1)，D1(0,0,2)，F(xiàn)(1,0,0)，(1，1,1)，(1,0,2)，·3，|，|，cos<，>.即OE與FD1所成的角的余弦值為.答案D7已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都

5、相等，A1在底面ABC內(nèi)的射影為ABC的中心，則AB1與底面ABC所成角的正弦值等于()A.B.C.D.解析設A1在面ABC內(nèi)的射影為O，過O作OHBC交AB于點H，以O為坐標原點，OA，OH，OA1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系設ABC邊長為1，則A，B1，.面ABC的法向量n(0,0,1)，則AB1與底面ABC所成角的正弦值為sin |cos<，n>|.答案B8如圖為棱長是1的正方體的表面展開圖，在原正方體中，給出下列三個命題：點M到AB的距離為；三棱錐CDNE的體積是；AB與EF所成的角是其中正確命題的個數(shù)是()A0 B1 C2 D3解析依題意可作出正方體的直觀圖如

6、圖，顯然M到AB的距離為MC，正確；而VCDNE××1×1×1，正確；AB與EF所成的角等于AB與MC所成的角，即為，正確答案D9正ABC與正BCD所在平面垂直，則二面角ABDC的正弦值為()A.B.C.D.解析取BC中點O，連接AO，DO.建立如圖所示坐標系，設BC1，則A，B，D.，.由于為平面BCD的一個法向量，可進一步求出平面ABD的一個法向量n(1，1)，cos<n，>，sin<n，>.答案C10正三棱柱ABCA1B1C1的棱長都為2，E，F(xiàn)，G為AB，AA1，A1C1的中點，則B1F與平面GEF所成角的正弦值為()A.

7、B.C.D.解析如圖，取AB的中點E，建立如圖所示空間直角坐標系Exyz.則E(0,0,0)，F(xiàn)(1,0,1)，B1(1,0,2)，A1(1,0,2)，C1(0，2)，G.(2,0，1)，(1,0,1)，設平面GEF的一個法向量為n(x，y，z)，由得令x1，則n(1，1)，設B1F與平面GEF所成角為，則sin |cos<n，>|.答案A二、填空題11在正方體ABCDA1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的余弦值為_解析如圖所示，建立空間直角坐標系，且設正方體的棱長為1，DB1平面ACD1，取平面ACD1的法向量n(1,1,1)，又(0,0,1)，若設BB1與平面ACD1

8、所成角為，則sin |cos<n，>|，cos .答案12(2014·南京一模)P是二面角AB棱上的一點，分別在平面，上引射線PM，PN，如果BPMBPN45°，MPN60°，那么二面角AB的大小為_解析不妨設PMa，PNb，如圖，作MEAB于E，NFAB于F.EPMFPN45°，PEa，PFb，·()·()····abcos 60°a×bcos 45°abcos 45°a×b0，二面角AB的大小為90°.答案90°

9、;13如圖，在矩形ABCD中，AB3，BC1，EFBC且AE2EB，G為BC的中點，K為AF的中點沿EF將矩形折成120°的二面角AEFB，此時KG的長為_解析如圖，過K作KMEF，垂足M為EF的中點，則向量與的夾角為120°，<，>60°.又，2222·112×1×1×cos 60°3.|.答案14(2014·梅州模擬)如圖，在三棱錐SABC中，SBASCA90°，ABC是斜邊ABa的等腰直角三角形，給出以下結(jié)論：異面直線SB與AC所成的角為90°；直線SB平面ABC；平

10、面SBC平面SAC；點C到平面SAB的距離是a.其中正確結(jié)論的序號是_解析由題意知AC平面SBC，故ACSB，SB平面ABC，平面SBC平面SAC，正確；取AB的中點E，連接CE，可證得CE平面SAB，故CE的長度即為C到平面SAB的距離，為a，正確答案三、解答題15如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，PB與底面成的角為45°，底面ABCD為直角梯形，ABCBAD90°，PABCAD1.問：在棱PD上是否存在一點E，使得CE平面PAB？若存在，求出E點的位置，若不存在，請說明理由解分別以，的方向為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖則P(0,0,1)，C(

11、1,1,0)，D(0,2,0)，設E(0，y，z)，則(0，y，z1)，(0,2，1)，y(1)2(z1)0，(0,2,0)是平面PAB的法向量，(1，y1，z)，由CE平面PAB，可得.(1，y1，z)·(0,2,0)2(y1)0.y1，代入式得z.E是PD的中點，即存在點E為PD中點時，CE平面PAB.16(2013·福建卷節(jié)選)如圖，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，側(cè)棱AA1底面ABCD，ABDC，AA11，AB3k，AD4k，BC5k，DC6k(k0)(1)求證：CD平面ADD1A1；(2)若直線AA1與平面AB1C所成角的正弦值為，求k的值(1)證明取CD的中

12、點E，連接BE，如圖1.圖1ABDE，ABDE3k，四邊形ABED為平行四邊形，BEAD且BEAD4k.在BCE中，BE4k，CE3k，BC5k，BE2CE2BC2，BEC90°，即BECD，又BEAD，CDAD.AA1平面ABCD，CD平面ABCD，AA1CD.又AA1ADA，CD平面ADD1A1.(2)解以D為原點，的方向為x，y，z軸的正方向建立如圖2所示的空間直角坐標系，則A(4k,0,0)，C(0,6k,0)，B1(4k,3k,1)，A1(4k,0,1)，于是(4k,6k,0)，(0,3k,1)，(0,0,1)設平面AB1C的法向量n(x，y，z)，則由得取y2，得n(3,

13、2，6k)設AA1與平面AB1C所成角為，則sin |cos<，n>|，解得k1，故所求實數(shù)k的值為1.17(2014·濟南質(zhì)檢)如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC45°，PAAD2，AC1.(1)證明：PCAD；(2)求二面角APCD的正弦值；(3)設E為棱PA上的點，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長(1)證明如圖，以點A為原點建立空間直角坐標系，依題意，得A(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0,1,0)，B，0，P(0,0,2)易得(0,1，2)，(2,0,0)，于是·0，所以P

14、CAD.(2)解(0,1，2)，(2，1，0)設平面PCD的法向量n(x，y，z)，則即不妨令z1，可得n(1,2,1)可取平面PAC的法向量m(1,0,0)于是cos<m，n>，從而sin<m，n>.所以二面角APCD的正弦值為.(3)解設點E的坐標為(0,0，h)，其中h0,2由此得.由(2，1,0)，故cos<，>所以cos 30°，解得h，即AE.18(2013·廣東卷)如圖1，在等腰直角三角形ABC中，A90°，BC6，D，E分別是AC，AB上的點，CDBE，O為BC的中點將ADE沿DE折起，得到如圖2所示的四棱錐ABCDE，其中AO.(1)證明：AO平面BCDE；(2)求二面角ACDB的平面角的余弦值(1)證明在折疊前的圖形中，等腰直角三角形ABC中，因為BC6，O為BC的中點，所以ACAB3，OCOB3，又因為CDBE，所以ADAE2.如圖1，連接OD，在OCD中，由余弦定理可得OD.在折疊后的圖形中，