1、概率論統計學復習摘要：本課程要求學生具有微積分、概率論和線性代數的基礎。這里對其中概率論統計學的重要概念進行簡單的復習。1、概率論的復習在現實生活中，我們常常遇到許多事先不能確定結果的現象，例如拋硬幣，拋之前無法確定是正面還是負面。世界的許多方面都存在隨機性，所謂“隨機性”就是事前無法知道結果，而一旦被揭示就會取定一個實現值，概率理論提供了有用的數學工具對隨機性進行描述和定量分析。1.1 隨機變量與概率分布l 樣本空間所有可能結果組成的集合，通常記為；在樣本空間的每一個可能結果稱為基本事件，記為w。l 隨機變量定義在樣本空間上的單值函數，即C(w)，通常簡化為C。l 事件樣本空間的一個子集，即

2、一個可能結果或多個可能結果組成的集合就稱為隨機事件，簡稱事件。樣本空間是其本身的子集，稱為必然事件；空集Æ也是的子集，稱Æ為不可能事件。通常用隨機變量的取值或者取值范圍表示隨機事件，例如。l 概率描述事件發生可能性大小的數量指標。事件A的概率記為P(A)。通常研究隨機變量各種取值情況的概率。隨機變量的全部概率特征稱為隨機變量的概率分布。l 離散隨機變量的概率分布通常用一個二維表格直觀描述離散隨機變量X的概率分布XP其中，l 連續隨機變量的概率分布用密度函數描述；累計分布函數 ；l 概率分布的數字特征期望 記為或 對于離散變量，；對于連續變量，。方差 記為或 運算規則：給定任

3、意常數，；.標準差 或 矩 稱為變量X的階矩，時就是X的期望。1.2 聯合分布、條件分布與獨立性本課程的計量經濟學就是以客觀經濟系統中具有隨機性質的經濟關系為研究對象，也就是說我們研究的是帶有隨機性的經濟變量的關系。那么如何描述隨機變量之間的關系呢？l 聯合分布兩個隨機變量的聯合分布的密度函數為；X的邊際密度函數定義為；Y的邊際密度函數定義為。注意：如果是離散變量，則積分變為求和，密度函數變為離散變量的概率分布即可。l 條件分布給定X，Y的條件密度函數定義為；同理給出X的條件密度函數。l 獨立性若，那么稱這兩個變量獨立。這等價于。l 聯合分布的數字特征協方差用于度量兩個變量的線性相關程度，記為

4、或； .意味著兩個變量同方向變動，稱之為正相關；稱之為負相關；稱之為不相關。相關系數 ；.如果獨立，那么，.l 條件分布的數字特征條件期望協方差和相關系數衡量的是兩個隨機變量之間的線性相關關系，兩個變量在協方差和相關系數的定義公式中是對稱的。在經濟學研究中，我們更感興趣的是用一個變量X去解釋另一個變量Y；而且Y和X的關系很有可能是非線性的。在前面已經引入了“給定一個變量X，Y的條件密度函數”的概念，從條件分布我們可以知道變量X的變動如何影響變量Y的分布。然而，研究變量的分布很復雜，一個好的辦法就是用一個簡單的數字特征“給定X，Y的條件期望”來總結出這個分布。條件期望在現代計量分析中扮演了一個很

5、重要的角色，本課程的全部內容都是講解如何在條件期望上進行系數估計和假設檢驗。給定X，Y的條件期望定義為 .條件期望的性質：1）對于任意的函數，；2）對于任意的函數和，；3）若X和Y獨立，那么；4)若，那么5）若以及某一函數有，那么；其中6）（迭代期望法則，LIE）.條件方差如果X和Y獨立，那么.1.3 各種常見分布l 正態分布通常記為xN(m,s)，其密度函數為；令，那么服從標準正態分布N(0,1)，l 卡方分布假設n個變量XiN(0,1)，那么；l t-分布假設兩個獨立的隨機變量ZN(0,1)， y ，那么l F-分布假設和是兩個獨立的卡方分布，那么2、統計學的復習l 總體、參數、隨機樣本所

6、謂總體就是一個隨機變量X（或一個隨機向量）；X的分布函數通常記為；其中就是待估計的參數。在計量經濟學中，也稱數據生成過程。在進行n次重復獨立實驗后，得到總體X的n個觀察值，而在實驗之前，實際上是相互獨立均與總體X同分布的n個隨機變量。稱為總體X的容量為n的簡單隨機樣本，簡稱樣本；稱為樣本的觀察值，簡稱樣本值。l 統計量如果是的連續函數，且其中不含有任何未知參數，則稱為一個統計量。常見的統計量有：樣本均值 ；樣本方差；樣本標準差；樣本k階原點矩 ；樣本k階中心矩。假設，是某個X和Y聯合分布的樣本，那么樣本協方差 樣本相關系數 注意! 相關系數只衡量了X和Y的線性關系，不能反映非線性關系。可以先用散點圖觀察兩者的大概關系。圖1 圖2圖3 圖4l 樣本分布任何一個統計量W都是一組隨機變量的函數，因此W也是一個隨機變量，對應著某一特定的概率分布，把這些概率分布稱為樣本分布