1、2018屆高三年級第一次模擬考試(三)數(shù)學(滿分160分，考試時間120分鐘)一、 填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分 1. 已知集合A2，0，1，3，B1，0，1，2，則AB_ 2. 已知x，yR，則“a1”是“直線axy10與直線xay10平行”的_條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分又不必要”) 3. 函數(shù)y3sin圖象兩相鄰對稱軸的距離為_ 4. 設復數(shù)z滿足5i，其中i為虛數(shù)單位，則|z|_ 5. 已知雙曲線的左焦點與拋物線y212x的焦點重合，則雙曲線的右準線方程為_ 6. 已知正四棱錐的底面邊長為2，側棱長為，則該正四棱錐的體積為_ 7. 設

2、等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若a12，S69S3，則a5的值為_ 8. 已知銳角滿足tancos，則_ 9. 已知函數(shù)f(x)x2kx4，對任意x1，3，不等式f(x)0恒成立，則實數(shù)k的最大值為_10. 函數(shù)ycosxxtanx的定義域為，則其值域為_11. 已知圓C與圓x2y210x10y0相切于原點，且過點A(0，6)，則圓C的標準方程為_12. 已知點P(1，0)，直線l：yxt與函數(shù)yx2的圖象交于A，B兩點，當最小時，直線l的方程為_13. 已知a，bR，ab4，則的最大值為_14. 已知k為常數(shù)，函數(shù)f(x)若關于x的方程f(x)kx2有且只有四個不同解，則實數(shù)k的取值構成的集

3、合為_二、 解答題：本大題共6小題，共計90分解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15. (本小題滿分14分)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcosAacosB2ccosC.(1) 求角C的大小；(2) 若b2a，且ABC的面積為2，求c的值16. (本小題滿分14分)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D為BC的中點，ABAC，BC1B1D.求證：(1) A1C平面ADB1；(2) 平面A1BC1平面ADB1.17. (本小題滿分14分)如圖，準備在墻上釘一個支架，支架由兩直桿AC與BD焊接而成，焊接點D把桿AC分成AD，CD兩段其中兩固定點A，B間距離為1米，A

4、B與桿AC的夾角為60，桿AC長為1米若制作AD段的成本為a元/米，制作CD段的成本是2a元/米，制作桿BD的成本是4a元/米設ADB，制作整個支架的總成本記為S元(1) 求S關于的函數(shù)表達式，并指出的取值范圍；(2) 問AD段多長時，S最小？18. (本小題滿分16分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓E：1(ab0)的離心率為，左焦點F(2，0)，直線l：yt與橢圓交于A，B兩點，M為橢圓E上異于A，B的點(1) 求橢圓E的方程；(2) 若M(，1)，以AB為直徑的圓P過點M，求圓P的標準方程；(3) 設直線MA，MB與y軸分別相交于點C，D，證明：OCOD為定值19. (本小題滿分

5、16分)已知b0，且b1，函數(shù)f(x)exbx，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)(1) 如果函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，求實數(shù)b的值，并求此時函數(shù)f(x)的最小值；(2) 對滿足b0，且b1的任意實數(shù)b，證明：函數(shù)yf(x)的圖象經(jīng)過唯一定點；(3) 如果關于x的方程f(x)2有且只有一個解，求實數(shù)b的取值范圍20. (本小題滿分16分)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，對任意正整數(shù)n，總存在正數(shù)p，q，r，使得anpn1，Snqnr恒成立；數(shù)列bn的前n項和為Tn，且對任意正整數(shù)n，2Tnnbn恒成立(1) 求常數(shù)p，q，r的值；(2) 證明：數(shù)列bn為等差數(shù)列；(3) 若b22，記Pn，是否存在正整數(shù)k，使得

6、對任意正整數(shù)n，Pnk恒成立？若存在，求正整數(shù)k的最小值；若不存在，請說明理由2018屆高三年級第一次模擬考試(三)數(shù)學附加題(本部分滿分40分，考試時間30分鐘)21. 【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩小題，并作答若多做，則按作答的前兩小題評分解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟A. 選修41：幾何證明選講(本小題滿分10分)如圖，四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形，BCBD，BA的延長線交CD的延長線于點E，延長CA至點F.求證：AE是DAF的平分線B. 選修42：矩陣與變換(本小題滿分10分)已知矩陣M，其中a，b均為實數(shù)，若點A(3，1)在矩陣M的變換作用下得到點B

7、(3，5)，求矩陣M的特征值C. 選修44：坐標系與參數(shù)方程(本小題滿分10分)在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(ab0，為參數(shù))，且曲線C上的點M(2，)對應的參數(shù)，以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系(1) 求曲線C的普通方程；(2) 若曲線C上的A，B兩點的極坐標分別為A(1，)，B，求的值D. 選修45：不等式選講(本小題滿分10分)已知函數(shù)f(x)|xa|xa|，若對任意xR，不等式f(x)a23恒成立，求實數(shù)a的取值范圍【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟22. (本小題滿分10分)如圖，ACBC，O為AB的

8、中點，且DC平面ABC，DCBE.已知ACBCDCBE2.(1) 求直線AD與CE所成角；(2) 求二面角OCEB的余弦值23. (本小題滿分10分)某學生參加4門學科的學業(yè)水平測試，每門得A等級的概率都是，該學生各學科等級成績彼此獨立規(guī)定：有一門學科獲A等級加1分，有兩門學科獲A等級加2分，有三門學科獲A等級加3分，四門學科全獲A等級則加5分記1表示該生的加分數(shù)，2表示該生獲A等級的學科門數(shù)與未獲A等級學科門數(shù)的差的絕對值(1) 求1的數(shù)學期望；(2) 求2的分布列2018屆鎮(zhèn)江高三年級第一次模擬考試數(shù)學參考答案1. 0，12. 充要3. 4. 15. x6. 7. 328. 329. 41

9、0. ，111. (x3)2(y3)21812. yx13. 14. (e，1)15. 解析：(1) 由正弦定理，且bcosAacosB2ccosC得(2分)sinBcosAsinAcosB2sinCcosC，所以sin(BA)2sinCcosC.(3分)因為A，B，C為三角形的內(nèi)角，所以BAC，所以sinC2sinCcosC.(4分)因為C(0，)，所以sinC0.(5分)所以cosC，(6分)所以C.(7分)(2) 因為ABC的面積為2，所以absinC2.(8分)由(1)知C，所以sinC，所以ab8.(9分)因為b2a，所以a2，b4，(11分)所以c2a2b22abcosC22422

10、2428，(13分)所以c2.(14分)16. 解析：(1) 設A1BAB1E.因為ABC-A1B1C1為直三棱柱，所以AA1B1B為矩形，所以E為A1B的中點(1分)因為D為BC的中點，所以DE為BA1C的中位線，(2分)所以DEA1C，且DEA1C.(3分)因為A1C平面ADB1，DE平面ADB1，(5分)所以A1C平面ADB1.(7分)(2) 因為ABAC，D為BC的中點，所以ADBC.(8分)因為ABCA1B1C為直三棱柱，所以BB1平面ABC.因為AD平面ABC，所以BB1AD.(9分)因為BC平面BCC1B1，BB1平面BCC1B，BCBB1B，所以AD平面BCC1B1.(10分)

11、因為BC1平面BCC1B1，所以ADBC1.(11分)因為BC1B1D，AD平面ADB1，B1D平面ADB1，ADB1DD，所以BC1平面ADB1.(13分)因為BC1平面A1BC1，所以平面A1BC1平面ADB1.(14分)17. 解析：(1) 在ABD中，由正弦定理得，(1分)所以BD，AD，(3分)則Sa2a1()4aa，(6分)由題意得.(7分)(2) 令Sa0，設cos0.0cosS0S單調遞減極小單調遞增(11分)所以當cos時，S最小，此時sin，AD.(12分)18. 解析：(1) 因為e且c2，所以a2，b2.(2分)所以橢圓方程為1.(4分)(2) 設A(s，t)，則B(s

12、，t)，且s22t28.因為以AB為直徑的圓P過M點，所以MAMB，所以0，(5分)因為(s，t1)，(s，t1)，所以6s2(t1)20.(6分)由解得t或t1(舍)，所以s2.(7分)因為圓P的圓心為AB的中點(0，t)，半徑為|s|，(8分)所以圓P的標準方程為x2.(9分)(3) 設M(x0，y0)，則lAM的方程為yy0(xx0)，若k不存在，顯然不符合條件令x0得yC；同理yD，(11分)所以OCOD|yCyD|(13分)4為定值(16分)19. 解析：(1) 由f(1)f(1)得eb，解得be(舍)，或b，(1分)經(jīng)檢驗f(x)ex為偶函數(shù)，所以b.(2分)因為f(x)ex2，當

13、且僅當x0時取等號，(3分)所以f(x)的最小值為2.(4分)(2) 假設yf(x)過定點(x0，y0)，則y0ex0bx0對任意滿足b0，且b1恒成立(5分)令b2得y0ex02x0；令b3得y0ex03x0，(6分)所以2x03x0，即1，解得唯一解x00，所以y02，(7分)經(jīng)檢驗當x0時，f(0)2，所以函數(shù)yf(x)的圖象經(jīng)過唯一定點(0，2)(8分)(3) 令g(x)f(x)2exbx2為R上的連續(xù)函數(shù)，且g(0)0，則方程g(x)0存在一個解(9分)(i) 當b0時，g(x)為增函數(shù)，此時g(x)0只有一解(10分)(ii) 當0b0，01，lnb0，令h(x)，h(x)為單調增

14、函數(shù)，所以當x(，xe)時，h(x)0，所以g(x)0，所以g(x)0，g(x)為單調增函數(shù)，所以g極小(x)g(x0)因為g(x)定義域為R，所以gmin(x)g(x0)(13分)若x00，g(x)在(，x0)上為單調減函數(shù)，g(x0)0，所以當x(x0，ln2)時，g(x)至少存在另外一個零點，矛盾(14分)若x00，g(x)在(x0，)上為單調增函數(shù)，g(x0)0，所以g(x)在(logb2，x0)上存在另外一個解，矛盾(15分)當x0log(lnb)0，則lnb1，解得b，此時方程為g(x)ex20，由(1)得，只有唯一解x00，滿足條件綜上所述，當b1或b時，方程f(x)2有且只有一

15、個解(16分)20. 解析：(1) 因為Snqnr，所以Sn1qn1r，(n2)得SnSn1qnqn1，即anqnqn1，(n2)，(1分)因為anpn1，所以pn1qnqn1，(n2)，當n2時，pq2q；當n3時，p2q3q2.因為p，q為正數(shù)，所以pq2.(3分)因為a11，S1qr，且a1S1，所以r1.(4分)(2) 因為2Tnnbn，當n2時，2Tn1(n1)bn1，得2bnnbn(n1)bn1，即(n2)bn(n1)bn1，(6分)方法一：由(n1)bn1nbn，得(2n2)bn(n1)bn1(n1)bn1，(7分)即2bnbn1bn1，所以bn為等差數(shù)列(8分)方法二：由(n2

16、)bn(n1)bn1，得，當n3時，所以bnb2(n1)，所以bnbn1b2.(6分)因為n1時，由2Tnnbn得2T1b1，所以b10，則b2b1b2，(7分)所以bnbn1b2對n2恒成立，所以bn為等差數(shù)列(8分)(3) 因為b10，b22，由(2)知bn為等差數(shù)列，所以bn2n2.(9分)又由(1)知an2n1，所以Pn，Pn1，所以Pn1Pn，(12分)令Pn1Pn0得12n24n2n0，所以2n30，即P2P1，(13分)當n2時，因為2n4，33，即12n24n2n0，此時Pn1P3P4，(14分)所以Pn的最大值為Pn，(15分)若存在正整數(shù)k，使得對任意正整數(shù)n，Pnk恒成立

17、，則kPmax，所以正整數(shù)k的最小值為4.(16分)21. A. 解析：因為四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形，所以DAEBCD，F(xiàn)AEBACBDC.(4分)因為BCBD，所以BCDBDC，(6分)所以DAEFAE，(8分)所以AE是四邊形ABCD的外角DAF的平分線(10分)B. 解析：由題意得，即(3分)解得所以M.(5分)令f()(2)(1)60，(7分)解得1或4，(9分)所以矩陣M的特征值為1和4.(10分)C. 解析：(1) 將M(2，)及對應的參數(shù)，代入(ab0，為參數(shù))，得所以所以曲線C1的普通方程為1.(5分)(2) 曲線C1的極坐標方程為1，將A(1，)，B代入得1，1，所以.

18、(10分)D. 解析：因為對任意xR，不等式f(x)a23恒成立，所以fmin(x)a23.(2分)因為|xa|xa|xa(xa)|2a|，所以|2a|a23，(4分)方法一：即|a|22|a|30，解得1|a|3，(8分)所以3aa23，或2aa23，(6分)由得1a3；(7分)由得3a1，(8分)所以3a3.(10分)22. 解析：(1) 因為ACCB，且DC平面ABC，則以C為原點，CB為x軸正方向，CA為y軸正方向，CD為z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系(1分)因為ACBCBE2，所以C(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，2，0)，O(1，1，0)，E(2，0，2)，D(0，0，2)，(0，2，2)，(2，0，2)(2分)所以cos，.(4分)所以AD和CM的夾角為60.(2) 平面BCE的一個法向量為n(0，1，0)，設平面OCE的一個法向量為n(x0，y0，z0)(6分)由(1，1，0)，(2，0，2)，