1、第一章質點運動學1 -1質點作曲線運動,在時刻t 質點的位矢為r,速度為v ,速率為v,t 至(t t)時間內的位移為r, 路程為s, 位矢大小的變化量為r ( 或稱r),平均速度為,平均速率為(1) 根據上述情況,則必有()(A) r= s = r(B) r s r,當t0 時有dr= ds dr(C) r r s,當t0 時有dr= dr ds(D) r s r,當t0 時有dr= dr = ds(2) 根據上述情況,則必有()(A) = ,= (B) , (C) = , (D) ,= 分析與解(1) 質點在t 至(t t)時間內沿曲線從P 點運動到P點,各量關系如圖所示, 其中路程s P

2、P, 位移大小rPP,而r r-r表示質點位矢大小的變化量,三個量的物理含義不同,在曲線運動中大小也不相等(注：在直線運動中有相等的可能)但當t0 時,點P無限趨近P點,則有drds,但卻不等于dr故選(B)(2) 由于r s,故,即但由于drds,故,即由此可見,應選(C)1 -2一運動質點在某瞬時位于位矢r(x,y)的端點處,對其速度的大小有四種意見,即(1)；(2)；(3)；(4)下述判斷正確的是()(A) 只有(1)(2)正確 (B) 只有(2)正確(C) 只有(2)(3)正確 (D) 只有(3)(4)正確分析與解表示質點到坐標原點的距離隨時間的變化率,在極坐標系中叫徑向速率通常用符號

3、vr表示,這是速度矢量在位矢方向上的一個分量；表示速度矢量；在自然坐標系中速度大小可用公式計算,在直角坐標系中則可由公式求解故選(D)1 -3質點作曲線運動,r 表示位置矢量, v表示速度,a表示加速度,s 表示路程, a表示切向加速度對下列表達式,即(1)d v /dt ；(2)dr/dt v；(3)ds/dt v；(4)d v /dta下述判斷正確的是()(A) 只有(1)、(4)是對的 (B) 只有(2)、(4)是對的(C) 只有(2)是對的 (D) 只有(3)是對的分析與解表示切向加速度a,它表示速度大小隨時間的變化率,是加速度矢量沿速度方向的一個分量,起改變速度大小的作用；在極坐標系

4、中表示徑向速率vr(如題1 -2 所述)；在自然坐標系中表示質點的速率v；而表示加速度的大小而不是切向加速度a因此只有(3) 式表達是正確的故選(D)1 -4一個質點在做圓周運動時,則有()(A) 切向加速度一定改變,法向加速度也改變(B) 切向加速度可能不變,法向加速度一定改變(C) 切向加速度可能不變,法向加速度不變(D) 切向加速度一定改變,法向加速度不變分析與解加速度的切向分量a起改變速度大小的作用,而法向分量an起改變速度方向的作用質點作圓周運動時,由于速度方向不斷改變,相應法向加速度的方向也在不斷改變,因而法向加速度是一定改變的至于a是否改變,則要視質點的速率情況而定質點作勻速率圓

5、周運動時, a恒為零；質點作勻變速率圓周運動時, a為一不為零的恒量,當a改變時,質點則作一般的變速率圓周運動由此可見,應選(B) 1 -5已知質點沿x 軸作直線運動,其運動方程為,式中x 的單位為m,t 的單位為 s求：(1) 質點在運動開始后4.0 s內的位移的大??；(2) 質點在該時間內所通過的路程；(3) t4 s時質點的速度和加速度分析位移和路程是兩個完全不同的概念只有當質點作直線運動且運動方向不改變時,位移的大小才會與路程相等質點在t 時間內的位移x 的大小可直接由運動方程得到：,而在求路程時,就必須注意到質點在運動過程中可能改變運動方向,此時,位移的大小和路程就不同了為此,需根據

6、來確定其運動方向改變的時刻tp ,求出0tp 和tpt 內的位移大小x1 、x2 ,則t 時間內的路程,如圖所示,至于t 4.0 s 時質點速度和加速度可用和兩式計算題 1-5 圖解(1) 質點在4.0 s內位移的大小 (2) 由 得知質點的換向時刻為 (t0不合題意)則所以,質點在4.0 s時間間隔內的路程為 (3) t4.0 s時1 -6已知質點的運動方程為,式中r 的單位為m,t 的單位為求：(1) 質點的運動軌跡；(2) t 0 及t 2時,質點的位矢；(3) 由t 0 到t 2內質點的位移r 和徑向增量r； 分析質點的軌跡方程為y f(x),可由運動方程的兩個分量式x(t)和y(t)

7、中消去t 即可得到對于r、r、r、s 來說,物理含義不同,(詳見題1-1分析).解(1) 由x(t)和y(t)中消去t 后得質點軌跡方程為這是一個拋物線方程,軌跡如圖(a)所示(2) 將t 0和t 2分別代入運動方程,可得相應位矢分別為 , 圖(a)中的P、Q 兩點,即為t 0和t 2時質點所在位置(3) 由位移表達式,得其中位移大小而徑向增量題 1-6 圖1 -7質點的運動方程為式中x,y 的單位為m,t 的單位為試求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向分析由運動方程的分量式可分別求出速度、加速度的分量,再由運動合成算出速度和加速度的大小和方向解(1) 速度的分量式為當t

8、 0 時, v0x -10 m·-1 , v0y 15 m·-1 ,則初速度大小為設v0與x 軸的夾角為,則123°41(2) 加速度的分量式為 , 則加速度的大小為設a 與x 軸的夾角為,則-33°41(或326°19)1 -8一升降機以加速度1.22 m·-2上升,當上升速度為2.44 m·-1時,有一螺絲自升降機的天花板上松脫,天花板與升降機的底面相距2.74 m計算：(1)螺絲從天花板落到底面所需要的時間；(2)螺絲相對升降機外固定柱子的下降距離分析在升降機與螺絲之間有相對運動的情況下,一種處理方法是取地面為參考系,

9、分別討論升降機豎直向上的勻加速度運動和初速不為零的螺絲的自由落體運動,列出這兩種運動在同一坐標系中的運動方程y1 y1(t)和y2 y2(t),并考慮它們相遇,即位矢相同這一條件,問題即可解；另一種方法是取升降機(或螺絲)為參考系,這時,螺絲(或升降機)相對它作勻加速運動,但是,此加速度應該是相對加速度升降機廂的高度就是螺絲(或升降機)運動的路程解1(1) 以地面為參考系,取如圖所示的坐標系,升降機與螺絲的運動方程分別為當螺絲落至底面時,有y1 y2 ,即 (2) 螺絲相對升降機外固定柱子下降的距離為解2(1)以升降機為參考系,此時,螺絲相對它的加速度大小ag a,螺絲落至底面時,有(2) 由

10、于升降機在t 時間內上升的高度為則 題 1-8 圖1 -9質點沿直線運動,加速度a4 -t2 ,式中a的單位為m·-2 ,t的單位為如果當t 3時,x9 m,v 2 m·-1 ,求質點的運動方程分析本題屬于運動學第二類問題,即已知加速度求速度和運動方程,必須在給定條件下用積分方法解決由和可得和如aa(t)或v v(t),則可兩邊直接積分如果a 或v不是時間t 的顯函數,則應經過諸如分離變量或變量代換等數學操作后再做積分解由分析知,應有得 (1)由 得 (2)將t3時,x9 m,v2 m·-1代入(1)、(2)得v0-1 m·-1, x00.75 m于是可

11、得質點運動方程為1 -10一石子從空中由靜止下落,由于空氣阻力,石子并非作自由落體運動,現測得其加速度aA -Bv,式中A、B 為正恒量,求石子下落的速度和運動方程分析本題亦屬于運動學第二類問題,與上題不同之處在于加速度是速度v的函數,因此,需將式dv a(v)dt 分離變量為后再兩邊積分解選取石子下落方向為y 軸正向,下落起點為坐標原點(1) 由題意知 (1)用分離變量法把式(1)改寫為 (2)將式(2)兩邊積分并考慮初始條件,有得石子速度 由此可知當,t時,為一常量,通常稱為極限速度或收尾速度(2) 再由并考慮初始條件有得石子運動方程1 -11一質點具有恒定加速度a 6i 4j,式中a的單

12、位為m·-2 在t0時,其速度為零,位置矢量r0 10 mi求：(1) 在任意時刻的速度和位置矢量；(2) 質點在Oxy 平面上的軌跡方程,并畫出軌跡的示意圖題 1-11 圖分析與上兩題不同處在于質點作平面曲線運動,根據疊加原理,求解時需根據加速度的兩個分量ax 和ay分別積分,從而得到運動方程r的兩個分量式x(t)和y(t)由于本題中質點加速度為恒矢量,故兩次積分后所得運動方程為固定形式,即和,兩個分運動均為勻變速直線運動讀者不妨自己驗證一下解由加速度定義式,根據初始條件t0 0時v0 0,積分可得又由及初始條件t0 時,r0(10 m)i,積分可得由上述結果可得質點運動方程的分量

13、式,即x 103t2y 2t2消去參數t,可得運動的軌跡方程3y 2x -20 m這是一個直線方程直線斜率,33°41軌跡如圖所示1 -12質點在Oxy 平面內運動,其運動方程為r2.0ti (19.0 -2.0t2 )j,式中r 的單位為m,t的單位為s求：(1)質點的軌跡方程；(2) 在t11.0s 到t2 2.0s 時間內的平均速度；(3) t1 1.0時的速度及切向和法向加速度；(4) t 1.0s 時質點所在處軌道的曲率半徑分析根據運動方程可直接寫出其分量式x x(t)和y y(t),從中消去參數t,即得質點的軌跡方程平均速度是反映質點在一段時間內位置的變化率,即,它與時間

14、間隔t 的大小有關,當t0 時,平均速度的極限即瞬時速度切向和法向加速度是指在自然坐標下的分矢量a 和an ,前者只反映質點在切線方向速度大小的變化率,即,后者只反映質點速度方向的變化,它可由總加速度a 和a 得到在求得t1 時刻質點的速度和法向加速度的大小后,可由公式求解(1) 由參數方程x 2.0t,y t2消去t 得質點的軌跡方程：y 19.0 -0.50x2 (2) 在t1 1.00 到t2 2.0時間內的平均速度(3) 質點在任意時刻的速度和加速度分別為則t1 1.00時的速度v(t)t 12.0i -4.0j切向和法向加速度分別為(4) t 1.0質點的速度大小為則1 -13飛機以

15、100 m·-1 的速度沿水平直線飛行,在離地面高為100 m時,駕駛員要把物品空投到前方某一地面目標處,問：(1) 此時目標在飛機正下方位置的前面多遠？ (2) 投放物品時,駕駛員看目標的視線和水平線成何角度？(3) 物品投出2.0后,它的法向加速度和切向加速度各為多少？題 1-13 圖分析物品空投后作平拋運動忽略空氣阻力的條件下,由運動獨立性原理知,物品在空中沿水平方向作勻速直線運動,在豎直方向作自由落體運動到達地面目標時,兩方向上運動時間是相同的因此,分別列出其運動方程,運用時間相等的條件,即可求解此外,平拋物體在運動過程中只存在豎直向下的重力加速度為求特定時刻t時物體的切向加

16、速度和法向加速度,只需求出該時刻它們與重力加速度之間的夾角或由圖可知,在特定時刻t,物體的切向加速度和水平線之間的夾角,可由此時刻的兩速度分量vx 、vy求出,這樣,也就可將重力加速度g 的切向和法向分量求得解(1) 取如圖所示的坐標,物品下落時在水平和豎直方向的運動方程分別為x vt,y 1/2 gt2飛機水平飛行速度v100 m·s-1 ,飛機離地面的高度y100 m,由上述兩式可得目標在飛機正下方前的距離(2) 視線和水平線的夾角為(3) 在任意時刻物品的速度與水平軸的夾角為取自然坐標,物品在拋出2s 時,重力加速度的切向分量與法向分量分別為1 -14為迎接香港回歸，特技演員柯

17、受良在1997年6月1日駕車飛越黃河壺口，如圖所示，柯駕車從跑道東端啟動，到達跑道終端時速度大小為 ，他隨即以仰角沖出，飛越跨度達57 m，安全著陸在西岸木橋上，求：題 1-14 圖（1） 柯飛車跨越黃河用了多長時間？（2） 若起飛點高出河面10 m，柯駕車飛行的最高點距河面為幾米？（3） 西岸木橋和起飛點的高度差為多少？分析 由題意知，飛車作斜上拋運動，對包含拋體在內的一般曲線運動來說，運用疊加原理是求解此類問題的普適方法，操作程序是：建立一個恰當的直角坐標系，將運動分解為兩個相互正交的直線運動，由于在拋體運動中，質點的加速度恒為g，故兩個分運動均為勻變速直線運動或其中一個為勻速直線運動，直

18、接列出相關運動規律方程即可求解，本題可建立圖示坐標系，圖中分別表示飛車的最大高度和飛躍跨度.解 在圖示坐標系中，有 （1） （2） （3） (1) 由式（1），令 m，得飛躍時間 s（2）由式（3），令，得飛行到最大高度所需時間將代入式（2），得飛行最大高度m則飛車在最高點時距河面距離為 m m（3）將 s 代入式（2），得西岸木橋位置為 y = - 4.22 m“-”號表示木橋在飛車起飛點的下方.討論 本題也可以水面為坐標系原點，則飛車在 y方向上的運動方程應為 m + 1 -15如圖所示，從山坡底端將小球拋出，已知該山坡有恒定傾角，球的拋射角，設球被拋出時的速率v0 19.6 m·

19、;-1，忽略空氣阻力，問球落在山坡上處離山坡底端的距離為多少？此過程經歷多長時間？題 1-15 圖分析 求解方法與上題類似，但本題可將運動按兩種方式分解，如圖（a）和圖（b）所示.在圖（a）坐標系中，兩個分運動均為勻減速直線運動，加速度大小分別為-g 和-g ，看似復雜，但求解本題確較方便，因為落地時有y=0,對應的時間t和x的值即為本題所求.在圖（b）坐標系中，分運動看似簡單，但求解本題還需將落地點P的坐標y與x的關系列出來.解 1 由分析知，在圖（a）坐標系中，有 （1） （2）落地時，有y=0，由式（2）解得飛行時間為s將 t 值代入式（1），得m解 2 由分析知，在圖（b）坐標系中，對

20、小球 （1） （2）對點P （3）由式（1）、（2）可得球的軌道方程為 （4）落地時，應有，即解之得落地點P的x坐標為 （5）則 m聯解式（1）和式（5）可得飛行時間 s討論 比較兩種解法，你對如何靈活運用疊加原理有什么體會?1 -16一質點沿半徑為R 的圓周按規律運動,v0 、b 都是常量(1) 求t 時刻質點的總加速度；(2) t 為何值時總加速度在數值上等于b？(3) 當加速度達到b 時,質點已沿圓周運行了多少圈？分析在自然坐標中,s 表示圓周上從某一點開始的曲線坐標由給定的運動方程s s(t),對時間t 求一階、二階導數,即是沿曲線運動的速度v 和加速度的切向分量a,而加速度的法向分量

21、為anv2 /R這樣,總加速度為a aeanen至于質點在t 時間內通過的路程,即為曲線坐標的改變量sst -s0因圓周長為2R,質點所轉過的圈數自然可求得解(1) 質點作圓周運動的速率為其加速度的切向分量和法向分量分別為, 故加速度的大小為其方向與切線之間的夾角為(2) 要使ab,由可得(3) 從t0 開始到tv0 /b 時,質點經過的路程為因此質點運行的圈數為1 -17一半徑為0.50 m 的飛輪在啟動時的短時間內,其角速度與時間的平方成正比在t2.0 時測得輪緣一點的速度值為4.0 m·-1求：(1) 該輪在t0.5的角速度,輪緣一點的切向加速度和總加速度；(2)該點在2.0內所轉過的角度分析首先應該確定角速度的函數關系kt2依據角量與線量的關系由特定時刻的速度值可得相應的角速度,從而求出式中的比例系數k,(t)確定后,注意到運動的角量描述與線量描述的相應關系,由運動學中兩類問題求解的方法(微分法和積分法),即可得到特定時刻的角加速度、切向加速度和角位移解因R v,由題意t2 得比例系數所以 則t0.5 時的角速度、角加速度和切向加速度分別為總加速度在2.0內該點所轉過的角度1 -18一質點在半徑