1、分析方法選講論文 題目：定積分計算的總結(jié)學(xué)院：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)號：090501401069姓名：范梅梅定積分計算的總結(jié)摘要：定積分這一節(jié)的內(nèi)容在整個教材中占著很重要的地位，它不僅是我們作為一個數(shù)學(xué)專業(yè)必須掌握的內(nèi)容，而且也是其他專業(yè)的學(xué)生必須掌握的知識，正因為有了它的計算，很多問題就會迎刃而解，特別實在物理學(xué)中積分的運算解決了很多問題，所以它在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中占據(jù)著主導(dǎo)地位.這種新數(shù)學(xué)思想的特點是非常成功地運用了無限過程的運算即極限運算.而其中的微分和積分這兩個過程，則構(gòu)成系統(tǒng)微積分的核心.并奠定了全部分析學(xué)的基礎(chǔ).而定積分是微積分學(xué)中的一個重要組成部分. 而在定積分的計算中

2、,常用的計算方法有四種：（1）定義法、（2）牛頓萊布尼茨公式、（3）定積分的分部積分法、（4）定積分的換元積分法.關(guān)鍵詞：定義、牛頓萊布尼茨公式、分部積分、換元.正文在我們開始接觸定積分時，書上給出兩個實例來引出，一是曲邊梯形的面積，二是物體運動的路程，盡管它們的實際意義完全不同，但是從抽象的數(shù)量關(guān)系來看，它們的分析結(jié)構(gòu)完全相同，都是函數(shù)在區(qū)間上具有特定結(jié)構(gòu)和式的極限。那么，究竟什么是定積分呢？我們給定積分下一個定義：設(shè)函數(shù)在有定義，任給一個分法T和一組，有積分和，若當(dāng)時，積分和存在有限極限，設(shè)，且數(shù)與分法T無關(guān)，也與在的取法無關(guān)，即有，則稱函數(shù)在可積，是函數(shù)在的定積分，記為.其中，a與b分別

3、是定積分的下限與上限；是被積函數(shù)；是被積表達(dá)式；x是積分變量.若當(dāng)時，積分和不存在極限，則稱函數(shù)在不可積.定積分的幾何意義也就是表示x軸，與圍成的曲邊梯形的面積.但是我們知道并不是所有的被積函數(shù)都是可積的，這就涉及到定積分的三類可積函數(shù)：1、函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù),則函數(shù)在閉區(qū)間可積.2、函數(shù)在閉區(qū)間有界,且有有限個間斷點,則函數(shù)在閉區(qū)間可積.3、若函數(shù)在閉區(qū)間單調(diào),則函數(shù)在閉區(qū)間可積.在定積分的計算中，常用的有四種方法,在不同的情況下用的方法也是不同的.一、按照定義計算定積分.定積分的定義法計算是運用極限的思想,簡單的來說就是分割求和取極限.以為例：任意分割,任意選取作積分和再取極限.任意分割任意

4、取所計算出的I值如果全部相同的話，則定積分存在.如果在某種分法或者某種的取法下極限值不存在或者與其他的分法或者的取法下計算出來的值不相同，那么則說定積分不存在.如果在不知道定積分是否存在的情況下用定義法計算定積分是相當(dāng)困難的，涉及到怎樣才是任意分割任意取.但是如果根據(jù)上述三類可積函數(shù)判斷出被積函數(shù)可積，那么就可以根據(jù)積分和的極限唯一性可作的特殊分法，選取特殊的，計算出定積分.第一步：分割.將區(qū)間分成n個小區(qū)間，一般情況下采取等分的形式.，那么分割點的坐標(biāo)為，.，在上任意選取，但是我們在做題過程中會選取特殊的，即左端點，右端點或者中點.經(jīng)過分割將曲邊梯形分成n個小曲邊梯形.我們近似的看作是n個小

5、長方形.第二步：求和.計算n個小長方形的面積之和，也就是.第三步：取極限.，即，也就是說分的越細(xì)，那么小曲邊梯形就越接近小長方形，當(dāng)n趨于無窮之時，小曲邊梯形也就是小長方形，那么小長方形的面積和即為曲邊梯形的面積，也就是定積分的積分值.例1 用定義法求定積分.解：因為在連續(xù) 所以在可積 令將等分成n個小區(qū)間，分點的坐標(biāo)依次為取是小區(qū)間的右端點，即于是所以，二、微積分基本公式：牛頓-萊布尼茨公式牛頓-萊布尼茨公式很好的把定積分與不定積分聯(lián)系在一起。利用此公式，可以根據(jù)不定積分的計算計算出定積分。這個公式要求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必須連續(xù)。求連續(xù)函數(shù)的定積分只需求出的一個原函數(shù)，再按照公式計算即可.定理:

6、若函數(shù)在區(qū)間連續(xù)，且是的原函數(shù)，則.證明：因為是的原函數(shù)，即有 積分上限函數(shù)也是的原函數(shù) 所以 所以 令有即 再令有我們知道，不定積分與定積分是互不相關(guān)的，獨立的.但是在連續(xù)的條件下，微積分基本定理把這兩個互不相關(guān)的概念聯(lián)系起來，這不僅給定積分的計算帶來極大的方便，在理論上把微分學(xué)與積分學(xué)溝通起來，這是數(shù)學(xué)分析的卓越成果，有著重大的意義.例2 用牛頓萊布尼茨公式計算定積分（1）.解： 原式=(2) .解：已知=，有= = = 同樣的一道題目，有了牛頓-萊布尼茨公式，只需求出f(x)的一個原函數(shù)，然后按照公式，求連續(xù)函數(shù)的定積分問題就轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)的原函數(shù)明顯比定義法簡單，容易計算.三、定積分

7、的分部積分法公式：函數(shù)，在有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則證明：因為，在有連續(xù)導(dǎo)函數(shù) 所以 所以 即 或例3求定積分.解：四、定積分的換元積分法應(yīng)用牛頓-萊布尼茨公式求定積分，首先求被積函數(shù)的原函數(shù)，其次再按公式計算.一般情況下，把這兩步截然分開是比較麻煩的，通常在應(yīng)用換元積分法求原函數(shù)的過程中也相應(yīng)交換積分的上下限，這樣可以簡化計算.定理：若函數(shù)在區(qū)間連續(xù)，且函數(shù)在有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時，有則： 證明： 即這個公式有兩種用法：（1）若計算.選取合適的變換，由a,b通過，分別解出積分限與.把代入得到.計算.例4計算定積分.解：設(shè)有 時，；時， （2）計算，其中把湊成的形式.檢查是否連續(xù).根據(jù)與通過求出左邊的積分限a,

8、b.、計算.例5 計算定積分.解：令，則， 當(dāng)時，；當(dāng)時， 所以原式=總結(jié)：上面這四種方法就是定積分計算中最常用的四種方法，本文通過舉例分析定積分的幾種計算方法，來體現(xiàn)定積分的計算.定積分的計算類型很多，要熟練地進(jìn)行定積分的各種運算，就要對定積分的運算技巧不斷熟悉和掌握.其實，在實際計算中，遇到的題目不一樣，用的計算方法也不一樣.定義法一般不常用，計算起來比較困難，所以一般不會用定義法計算.常用的就是其他三種，即牛頓-萊布尼茨公式，分部積分法和換元積分法.在這三種方法中，牛頓-萊布尼茨公式比較常用，通過連續(xù)把定積分轉(zhuǎn)換成為不定積分再進(jìn)行計算即可.但是轉(zhuǎn)換成為不定積分后，有的被積函數(shù)不能直接用現(xiàn)成的公式計算，那么就要用不定積分的分部積分或者換元積分法求出一個原函數(shù)再代入上下限進(jìn)行計算，就復(fù)雜化了.因此，如果被積函數(shù)連續(xù)且可以用公式直接求出原函數(shù)，那么就用牛頓-萊布尼茨公式進(jìn)行計算.如果不能直接用公式