1、等差數列前項和的最值問題：1、若等差數列的首項，公差，則前項和有最大值。（）若已知通項，則最大；（）若已知，則當取最靠近的非零自然數時最大；2、若等差數列的首項，公差，則前項和有最小值（）若已知通項，則最小；（）若已知，則當取最靠近的非零自然數時最小；數列通項的求法：公式法：等差數列通項公式；等比數列通項公式。已知（即）求，用作差法：。已知求，用作商法：。已知條件中既有還有，有時先求，再求；有時也可直接求。若求用累加法：。已知求，用累乘法：。已知遞推關系求，用構造法（構造等差、等比數列）。特別地，（1）形如、（為常數）的遞推數列都可以用待定系數法轉化為公比為的等比數列后，再求；形如的遞推數列都

2、可以除以得到一個等差數列后，再求。（2）形如的遞推數列都可以用倒數法求通項。（3）形如的遞推數列都可以用對數法求通項。（7）（理科）數學歸納法。（8）當遇到時，分奇數項偶數項討論，結果可能是分段一、典型題的技巧解法1、求通項公式（1）觀察法。（2）由遞推公式求通項。對于由遞推公式所確定的數列的求解，通常可通過對遞推公式的變換轉化成等差數列或等比數列問題。(1)遞推式為an+1=an+d及an+1=qan（d，q為常數）例1、  已知an滿足an+1=an+2，而且a1=1。求an。例1、解  an+1-an=2為常數 an是首項為1，公差為2的等差數列an=1+2（n-1）

3、 即an=2n-1例2、已知滿足，而，求=？（2）遞推式為an+1=an+f（n）例3、已知中，求.解： 由已知可知令n=1，2，（n-1），代入得（n-1）個等式累加，即（a2-a1）+（a3-a2）+（an-an-1） 說明  只要和f（1）+f（2）+f（n-1）是可求的，就可以由an+1=an+f（n）以n=1，2，（n-1）代入，可得n-1個等式累加而求an。(3)遞推式為an+1=pan+q（p，q為常數）例4、中，對于n1（nN）有，求.解法一： 由已知遞推式得an+1=3an+2，an=3an-1+2。兩式相減：an+1-an=3（an-an-1）因此數列an+1-a

4、n是公比為3的等比數列，其首項為a2-a1=（3×1+2）-1=4an+1-an=4·3n-1 an+1=3an+2  3an+2-an=4·3n-1 即 an=2·3n-1-1解法二： 上法得an+1-an是公比為3的等比數列，于是有：a2-a1=4，a3-a2=4·3，a4-a3=4·32，an-an-1=4·3n-2，把n-1個等式累加得： an=2·3n-1-1(4)遞推式為an+1=p an+q n（p，q為常數） 由上題的解法，得： (5)遞推式為思路：設,可以變形為：，想于是an+1-an是

5、公比為的等比數列，就轉化為前面的類型。求。 (6)遞推式為Sn與an的關系式關系；（2）試用n表示an。 上式兩邊同乘以2n+1得2n+1an+1=2nan+2則2nan是公差為2的等差數列。2nan= 2+（n-1）·2=2n2數列求和問題的方法（1）、應用公式法等差、等比數列可直接利用等差、等比數列的前n項和公式求和，另外記住以下公式對求和來說是有益的。 135(2n-1)=n2【例8】 求數列1，（3+5），（7+9+10），（13+15+17+19），前n項的和。解  本題實際是求各奇數的和，在數列的前n項中，共有1+2+n=個奇數，最后一個奇數為：1+n(n+1)

6、-1×2=n2+n-1因此所求數列的前n項的和為（2）、分解轉化法對通項進行分解、組合,轉化為等差數列或等比數列求和。【例9】求和S=1·（n2-1）+ 2·（n2-22）+3·（n2-32）+n（n2-n2）解  S=n2（1+2+3+n）-（13+23+33+n3）（3）、倒序相加法適用于給定式子中與首末兩項之和具有典型的規律的數列，采取把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，然后求和。例10、求和：例10、解 Sn=3n·2n-1（4）、錯位相減法如果一個數列是由一個等差數列與一個等比數列對應項相乘構成的，可把和式的兩端同乘以上面的等比

7、數列的公比，然后錯位相減求和例11、 求數列1，3x，5x2,(2n-1)xn-1前n項的和解  設Sn=1+3+5x2+(2n-1)xn-1    (2)x=0時，Sn=1(3)當x0且x1時，在式兩邊同乘以x得 xSn=x+3x2+5x3+(2n-1)xn，-，得 (1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+2xn-1-(2n-1)xn(5)裂項法：把通項公式整理成兩項(式多項)差的形式，然后前后相消。常見裂項方法：例12、求和注：在消項時一定注意消去了哪些項，還剩下哪些項，一般地剩下的正項與負項一樣多。 在掌握常見題型的解法的同時，也要注重數學思想在

8、解決數列問題時的應用。二、常用數學思想方法1函數思想運用數列中的通項公式的特點把數列問題轉化為函數問題解決。【例13】  等差數列an的首項a10，前n項的和為Sn，若Sl=Sk（lk）問n為何值時Sn最大？此函數以n為自變量的二次函數。a10  Sl=Sk（lk），d0故此二次函數的圖像開口向下 f（l）=f（k）2方程思想【例14】設等比數列an前n項和為Sn，若S3+S6=2S9，求數列的公比q。分析  本題考查等比數列的基礎知識及推理能力。解 依題意可知q1。如果q=1，則S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。由此應推出a1=0與等比數列不符。q1整理得  q3（2q6-q3-1）=0  q0此題還可以作如下思考：S6=S3+q3S3=（1+q3）S3。S9=S3+q3S6=S3（1+q3+q6），由S3+S6=2S9可得2+q3=2（1+q3+q6），2q6+q3=