1、1計(jì)算下列二重積分：（1），其中D由拋物線與直線所圍成的區(qū)域；（2），其中；（3），其中為圖21-9中陰影部分；（4），其中；解 （1）=（2）=（3）=（4）=2求由坐標(biāo)平面及所圍成的角柱體的體積.解： 角柱體如圖所示，陰影部分為角柱體在平面上的投影區(qū)域. 于是.3（1）計(jì)算二重積分，其中D是由及所圍成的區(qū)域。（2）計(jì)算二重積分，其中D由圍成。（1）解：。（2）解: （結(jié)合圖形）4計(jì)算二重 ，其中是由所圍成的區(qū)域。解：作圖y=-x3分區(qū)域D為D1和D2，利用對(duì)稱性知：，則I=2=2=。5計(jì)算第二型曲線積分，為任意包含原點(diǎn)（不通過(guò)原點(diǎn)）的有界閉區(qū)域的邊界曲線，逆時(shí)針?lè)较颉＝? P=，Q=，所圍

2、區(qū)域D，由于函數(shù)Q和P在區(qū)域D內(nèi)的原點(diǎn)不連續(xù)，且不具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，作，邊界為，規(guī)定方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较颉=, P=且則由格林公式有，由于是逆時(shí)針?lè)较颍睿渲袕?變化到，則6利用Green公式計(jì)算下列積分：，其中L是圓周的上半部分，方向從（0,0）到點(diǎn)（2,0）；解：記O（0，0），A（2, 0）.位于軸上的線段與L合起來(lái)形成封閉曲線，封閉曲線所圍的區(qū)域設(shè)為D，且的方程為記則，于是利用Green公式得=.因此=.7應(yīng)用格林公式計(jì)算下列曲線積分；（1），其中L是以為頂點(diǎn)的三角形，方向取正向；（2），其中m為常數(shù)，AB為由到經(jīng)過(guò)圓上半部的路線.（3）應(yīng)用格林公式計(jì)算曲線積分:其中L為上半圓周從

3、(a,0)到的一段.解 (1)作圖：AB的方程為:,BC的方程為:CA的方程為:,設(shè),則把三角形域分成兩部分和,于是原式=(2)在軸上連接點(diǎn)與點(diǎn)這樣就構(gòu)成封閉的半圓形,且在線段上,于是而.由格林公式得:因此,原式=.（3）解 以為半徑的上半圓域D,應(yīng)用格林公式有=+0=而8驗(yàn)證下列積分與路線無(wú)關(guān)，并求它們的值：（1）（2）（3）沿在右半面的路線；（4）沿不通過(guò)原點(diǎn)的路線；（5）其中為連續(xù)函數(shù)。解 （1）因 P=所以P與Q滿足定理?xiàng)l件，故積分與路線無(wú)關(guān)。于是，取路線為則有（2）因?yàn)樗?故由定理21.12知該積分與路線無(wú)關(guān).因此(3)因，從而.因此,積分與路線無(wú)關(guān),所以(4)當(dāng)時(shí)是全微分,故積分

4、與路線無(wú)關(guān),且原式=(5)因?yàn)檫B續(xù)函數(shù),則與分別是的原函數(shù),于是可見(jiàn),積分與路線無(wú)關(guān),從而9求下列全微分的原函數(shù):(1)(2)(3)（4）解 (1)由于從而積分與路線無(wú)關(guān).故其原函數(shù)為.(2)由于,從而積分與路線無(wú)關(guān),因此被積式為全微分,設(shè)則.(3)為的全微分=（4）曲線積分和路徑無(wú)關(guān)，存在10用極坐標(biāo)計(jì)算下列二重積分:(1),其中;(2),其中;(3),其中為圓域:;(4),其中為圓域:.(5)計(jì)算，其中D是由所圍成的閉區(qū)域解：（1）.(2)應(yīng)用極坐標(biāo)變換后積分區(qū)域從而=(3)由對(duì)稱性有=（4）(5)解：11（1）計(jì)算下列三重積分：其中V是由和 所確定.（2） 其中由曲面=、z=圍成的閉區(qū)域

5、；（3），其中v是由曲面與z=4所圍的區(qū)域；解 (1)由于被積函數(shù)為,因此可以把三重積分化為“先二重后一重”的累次積分。又由于區(qū)域V用平行于xy平面的平面截得的是一個(gè)圓面，即從而（2）解：令x=rcos,y=rsin,z=z（3）解：令x=rcos,y=rsin,z=z12計(jì)算下列第一型曲面積分：（1）其中S是上半球面（2）其中S為立體的邊界曲面；（3）其中S為柱面被平面所截取的部分；（4）其中S為平面在第一卦限中的部分.（5）其中是球面。解 (1)因從而=(2)面積S由兩部分組成,其中它們?cè)贠xy面上的投影區(qū)域都是由極坐標(biāo)變換可得=(3)(4)（5）解：由題意可知，D是關(guān)于x,y,z軸對(duì)稱1

6、3計(jì)算下列第二型曲面積分：（1），其中S為由六個(gè)平面所圍的立方體表面并取外側(cè)為正向；（2），其中S是以原點(diǎn)為中心，邊長(zhǎng)為2的立方體表面并取外側(cè)為正向；（3），其中S是由平面所圍的四面體面并取外側(cè)為正向；解 (1)因?yàn)?,=,=所以,原積分=+=.(2)由對(duì)稱性知須計(jì)算其中之一即可 由于故原積分=(3)由積分對(duì)稱性知 原式14應(yīng)用高斯公式計(jì)算下列曲面積分：（1），其中S是單位球面的外側(cè)；（2），其中S是立方體表面的外側(cè)；（3），其中S是錐面與平面z=h所圍空間區(qū)域的表面，方向取外側(cè)；（4），其中S是單位球面的外側(cè)；（5），其中S是單位球面的外側(cè)。（6）利用高斯公式計(jì)算曲面積分,其中S是邊長(zhǎng)為a的

7、正方體外側(cè)。（7）利用高斯公式計(jì)算曲面積分，其中S是上半球面外側(cè)。（8）利用高斯公式計(jì)算曲面積分，其中S是的上半球面外側(cè)。（9）利用高斯公式計(jì)算曲面積分，其中上的部分，并取上側(cè)。解 （1）（2） （3）解：，利用柱面坐標(biāo)變換：（4）解：利用球面坐標(biāo)變換：（5） 原式（6）解：，（7）解：取，方向向下其中：（因?yàn)椋?）取，方向向下其中：利用球面坐標(biāo)變換：（因?yàn)椋?）解：取，其中：利用柱面坐標(biāo)變換：15求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)域：（1）； （2）；（4）； （5）； （6）；（7）； （8） 解：（1）由于，所以收斂半徑，即收斂區(qū)間為，但當(dāng)時(shí)，有均發(fā)散，所以級(jí)數(shù)在時(shí)也發(fā)散，于是這個(gè)級(jí)數(shù)的

8、收斂區(qū)域?yàn)椤＃?）由于，所以收斂半徑，但當(dāng)時(shí)，由于級(jí)數(shù)收斂，所以級(jí)數(shù)在也收斂，于是這個(gè)級(jí)數(shù)的收斂區(qū)域?yàn)椤＃?）由于，所以收斂半徑，這個(gè)級(jí)數(shù)的收斂區(qū)域?yàn)椤＃?）由于=，所以收斂半徑，于是這個(gè)級(jí)數(shù)的收斂區(qū)域?yàn)椤＃?）由于=，所以收斂半徑，因而級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為，即，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為=收斂，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為，而由于且發(fā)散，故此時(shí)原級(jí)數(shù)發(fā)散，于是可得級(jí)數(shù)的收斂區(qū)域?yàn)椤＃?）因?yàn)椋郑裕瑥亩諗堪霃剑之?dāng)時(shí),，可見(jiàn)級(jí)數(shù)在時(shí)發(fā)散，故這個(gè)級(jí)數(shù)的收斂區(qū)域?yàn)椤?6應(yīng)用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)求積分方法求下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)（應(yīng)同時(shí)指出它們的定義域）：（1）；（2）；（3）（4）解：（1）因?yàn)?，且時(shí)，與都是發(fā)散級(jí)數(shù)，所以冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)域?yàn)椋O(shè)其和函數(shù)為，于是當(dāng)時(shí)，逐項(xiàng)求導(dǎo)數(shù)可得，所以， （）（2）由于=，且當(dāng)時(shí)，這個(gè)冪級(jí)數(shù)發(fā)散，所以冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)域?yàn)椋O(shè)其和函數(shù)為，則=， 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，=所以=，從而 （）（3）因?yàn)椋耶?dāng)時(shí)，這個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散，所以冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)域?yàn)椋O(shè)其和函數(shù)為，則=，因而 = （）所以 （）(4)因?yàn)?=1，所以收斂半徑=1，當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)與都收斂，故這個(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)域是，設(shè)=則當(dāng)時(shí)， ， ，從而可得 因此 故 17確定下列冪級(jí)數(shù)的收斂域，并求和函數(shù)：（1） ； （3） ；解：（1）因?yàn)?= 所以 ，當(dāng) 時(shí)，與都發(fā)散，所以收斂域?yàn)椋?令 則 = ，所以 =（3）設(shè) ，