1、一、坐標系1、數軸 它使直線上任一點P都可以由惟一的實數x確定2、平面直角坐標系 在平面上，當取定兩條互相垂直的直線的交點為原點，并確定了度量單位和這兩條直線的方向，就建立了平面直角坐標系。它使平面上任一點P都可以由惟一的實數對（x,y）確定。3、空間直角坐標系 在空間中，選擇兩兩垂直且交于一點的三條直線，當取定這三條直線的交點為原點，并確定了度量單位和這三條直線方向，就建立了空間直角坐標系。它使空間上任一點P都可以由惟一的實數對（x,y,z）確定。二、平面直角坐標系的伸縮變換定義：設P（x，y）是平面直角坐標系中的任意一點，在變換 的作用下，點P（x，y）對應到點P（x，y），稱為平面直角坐

2、標系中的坐標伸縮變換，簡稱伸縮變換。三例題講解例1 在平面直角坐標系中，求下列方程所對應的圖形經過伸縮變換后的圖形。 （1）2x+3y=0； （2）x2+y2=1三、極坐標系1、極坐標系的建立：在平面上取一個定點O，自點O引一條射線OX，同時確定一個單位長度和計算角度的正方向（通常取逆時針方向為正方向），這樣就建立了一個極坐標系。（其中O稱為極點，射線OX稱為極軸。）2、極坐標系內一點的極坐標的規定對于平面上任意一點M，用 r 表示線段OM的長度，用 q 表示從OX到OM 的角度，r 叫做點M的極徑， q叫做點M的極角，有序數對（r，q）就叫做M的極坐標。特別強調：由極徑的意義可知r0;當極角

3、q的取值范圍是0,2)時,平面上的點(除去極點)就與極坐標（r，q）建立一一對應的關系 .們約定,極點的極坐標是極徑r=0,極角是任意角.3、負極徑的規定在極坐標系中，極徑r允許取負值，極角q也可以去任意的正角或負角當r0時，點M （r，q）位于極角終邊的反向延長線上，且OM=。M （r，q）也可以表示為 4、數學應用例1 寫出下圖中各點的極坐標A（4，0）B（2 ）C（ ）D（ ）E（ ）F（ ）G（ ）規定：極點的極坐標是=0，可以取任意角。變式訓練 在極坐標系里描出下列各點A（3，0） B（6，2）C（3，）D（5，）E（3，）F（4，）G（6，）例2 在極坐標系中，（1） 已知兩點P（

4、5，），Q，求線段PQ的長度；（2） 已知M的極坐標為（r，q）且q=，r，說明滿足上述條件的點M 的位置。變式訓練1、若的的三個頂點為2、若A、B兩點的極坐標為求AB的長以及的面積。（O為極點）例3 已知Q（r，q），分別按下列條件求出點P 的極坐標。（1） P是點Q關于極點O的對稱點；（2） P是點Q關于直線的對稱點；（3） P是點Q關于極軸的對稱點。變式訓練1.在極坐標系中,與點關于極點對稱的點的一個坐標是 ( ) 2在極坐標系中，如果等邊的兩個頂點是求第三個頂點C的坐標。四、極坐標與直角坐標的互化直角坐標系的原點O為極點，軸的正半軸為極軸，且在兩坐標系中取相同的長度單位。平面內任意一點

5、P的直角坐標與極坐標分別為和，則由三角函數的定義可以得到如下兩組公式： 說明1上述公式即為極坐標與直角坐標的互化公式2通常情況下，將點的直角坐標化為極坐標時，取0，。3 化公式的三個前提條件1. 極點與直角坐標系的原點重合;2. 極軸與直角坐標系的x軸的正半軸重合;3. 兩種坐標系的單位長度相同.三、數學應用例1（1）把點M 的極坐標化成直角坐標； （2）把點P的直角坐標化成極坐標。變式訓練在極坐標系中,已知求A,B兩點的距離例2若以極點為原點,極軸為軸正半軸,建立直角坐標系.(1) 已知A的極坐標求它的直角坐標,(2) 已知點B和點C的直角坐標為求它們的極坐標.0,02)變式訓練把下列個點的

6、直角坐標化為極坐標(限定0,0)例3在極坐標系中,已知兩點.求A,B中點的極坐標.變式訓練在極坐標系中,已知三點.判斷三點是否在一條直線上. 五、常用曲線的極坐標方程 1、若直線經過且極軸到此直線的角為，求直線的極坐標方程。變式訓練：直線經過且該直線到極軸所成角為，求此直線的極坐標方程。 2、若圓心的坐標為，圓的半徑為，求圓的方程。運用此結果可以推出哪些特殊位置的圓的極坐標方程。3、 在圓心的極坐標為，半徑為4的圓中，求過極點O的弦的中點的軌跡。三、鞏固與練習在極坐標系中，已知圓的圓心，半徑，（1）求圓的極坐標方程。（2）若點在圓上運動，在的延長線上，且，求動點的軌跡方程。 1、圓錐曲線的統一

7、方程 設定點的距離為，求到定點到定點和定直線的距離之比為常數的點的軌跡的極坐標方程。分析：建系 設點 列出等式用極坐標、表示上述等式，并化簡得極坐標方程說明：為便于表示距離，取為極點，垂直于定直線的方向為極軸的正方向。表示離心率，表示焦點到準線距離。2、例題講解 例12003年10月1517日，我國自主研制的神舟五號載人航天飛船成功發射并按預定方案安全、準確的返回地球，它的運行軌道先是以地球中心為一個焦點的橢圓，橢圓的近地點（離地面最近的點）和遠地點（離地面最遠的點）距離地面分別為200km和350km，然后進入距地面約343km的圓形軌道。若地球半徑取6378km，試寫出神舟五號航天飛船運行的橢圓軌道的極坐標方程。 例2求證：過拋物線的焦點的弦被焦點分成的兩部分的倒數和為常數。變式訓練 設P、Q是雙曲線上的兩點，若。 求證：為定值； 三、鞏固與練習已知拋物線的焦點為。 （1）以為極點，軸正方向為極軸的正方向，寫出此拋物線的極坐標方程；（2）過取作直線交拋物線于A、B兩點，若|AB|16，運用拋物線的極坐標方程，求直線的傾斜角。基礎訓練1直線 的斜率是 2極坐標方程表示的曲線是 3曲線和的交點坐標 4在極坐標系中與圓相切的一條直線方程為 （ ） A、 B、 C、 D、5橢圓的長軸長 二、講解新課： 例1求曲線