1、精選優質文檔-傾情為你奉上專題24 平面幾何的定值問題【閱讀與思考】 所謂定值問題，是指按照一定條件構成的幾何圖形，當某些幾何元素按一定的規律在確定的范圍內變化時，與它有關的元素的量保持不變（或幾何元素間的某些幾何性質或位置關系不變）. 幾何定值問題的基本特點是：題設條件中都包含著變動元素和固定元素，變動元素是指可變化運動的元素，固定元素也就是“不變量”，有的是明顯的，有的是隱含的，在運動變化中始終沒有發生變化的元素，也就是我們要探求的定值.解答定值問題的一般步驟是：1.探求定值；2.給出證明.【例題與求解】【例1】 如圖，已知P為正方形ABCD的外接圓的劣弧上任意一點.求證：為定值.解題思路

2、：線段的和差倍分考慮截長補短，利用圓的基本性質，證明三角形全等. 【例2】 如圖，AB為O的一固定直徑，它把O分成上、下兩個半圓，自上半圓上一點C作弦CDAB，OCD的平分線交O于點P，當點C在上半圓（不包括A，B兩點）上移動時，點P（ ） A.到CD的距離保持不變 B.位置不變 C.等分 D.隨C點的移動而移動（濟南市中考試題）解題思路：添出圓中相關輔助線，運用圓的基本性質，用排除法得出結論. 【例3】 如圖，定長的弦ST在一個以AB為直徑的半圓上滑動，M是ST的中點，P是S對AB作垂線的垂足.求證：不管ST滑到什么位置，SPM是一定角.（加拿大數學奧林匹克試題）解題思路：不管ST滑到什么位

3、置，SOT的度數是定值.從探尋SPM與SOT的關系入手. 【例4】 如圖，扇形OAB的半徑OA=3，圓心角AOB=90°.點C是上異于A，B的動點，過點C作CDOA于點D，作CEOB于點E.連接DE，點G，H在線段DE上，且DG=GH=HE.（1）求證：四邊形OGCH是平行四邊形；（2）當點C在上運動時，在CD，CG，DG中，是否存在長度不變的線段？若存在，請求出該線段的長度；（3）求證：CD2+3CH2是定值. （廣州市中考試題）解題思路：延長OG交CD于N，利用題中的三等分點、平行四邊形和三角形中位線的性質，實現把線段ON轉化成線段CH的倍分關系，再以RtOND為基礎，通過勾股定

4、理，使問題得以解決. 【例5】 如圖1，在平面直角坐標系xOy中，點M在x軸的正半軸上，M交x軸于A，B兩點，交y軸于C，D兩點，且C為弧AE的中點，AE交y軸于G點.若點A的坐標為（-2，0），AE=8.（1）求點C的坐標；（2）連接MG，BC，求證：MGBC；（3）如圖2，過點D作M的切線，交x軸于點P.動點F在M的圓周上運動時，的比值是否發 生變化？若不變，求出比值；若變化，說明變化規律. （深圳市中考試題） 解題思路：對于（3）從動點F達到的特殊位置時入手探求定值. （圖1） （圖2）【例6】 如圖，已知等邊ABC內接于半徑為1的圓O，P是O上的任意一點.求證：PA2+PB2+PC2為

5、定值. 解題思路：當點P與C點重合時，PA2+PB2+PC2=2BC2為定值，就一般情形證明.【能力訓練】A級1.如圖，點A，B是雙曲線上的兩點，分別經過A，B兩點向x軸，y軸作垂線段.若S陰影=1，則_.（牡丹江市中考試題） （第1題圖） （第3題圖） （第4題圖）2.從等邊三角形內一點向三邊作垂線段，已知這三條垂線段的長分別為1，3，5，則這個等邊三角形的面積是_.（全國初中數學聯賽試題）3.如圖，OA，OB是O任意兩條半徑，過B作BEOA于E，又作OPAB于P，則定值OP2+EP2為_.4.如圖，在菱形ABCD中，ABC=120°，F是DC的中點，AF的延長線交BC的延長線于點

6、E，則直線BF與直線DE所夾的銳角的度數為（ ）A.30° B.40° C.50° D.60°（武漢市競賽試題）5.如圖，在O中，P是直徑AB上一動點，在AB同側作AB，且=AP，=BP.連接，當點P從點A移動到點B時，的中點的位置（ ）A在平分AB的某直線上移動 B.在垂直AB的某直線上移動C.在弧AMB上移動 D.保持固定不移動（荊門市中考試題） （第5題圖） （第6題圖）6.如圖，A，B是函數圖象上的兩點，點C，D，E，F分別在坐標軸上，且分別與點A，B，O構成正方形和長方形.若正方形OCAD的面積為6，則長方形OEBF的面積是（ ）A.3 B.6

7、 C.9 D.12（海南省競賽試題）7.（1）經過O內或O外一點P作兩條直線交O于A，B和C，D四點，得到如圖所表示的六種不同情況.在六種不同情況下，PA，PB，PC，PD四條線段之間在數量上滿足的關系式可以用同一個式子表示出來.請你首先寫出這個式子，然后只就如圖所示的圓內兩條弦相交的一般情況給出它的證明.（2）已知O的半徑為一定值r，若點P是不在O上的一個定點，請你過點P任作一直線交O于不重合的兩點E，F. PE·PF的值是否為定值？為什么？由此你發現了什么結論？請你把這一結論用文字敘述出來.（濟南市中考試題）8.在平面直角坐標系中，邊長為2的正方形OABC的兩頂點A，C分別在y軸

8、，x軸的正半軸上，點O在原點，現將正方形OABC繞O點順時針旋轉，當A點第一次落在直線上時停止旋轉.旋轉過程中，AB邊交直線于點M，BC邊交x軸于點N.（1）求OA在旋轉過程中所掃過的面積；（2）旋轉過程中，當MN與AC平行時，求正方形OABC旋轉度數；（3）設MBN的周長為P，在正方形OABC旋轉的過程中，P值是否有變化？請證明你的結論.（濟寧市中考試題）9.如圖，AB是半圓的直徑，ACAB，AC=AB.在半圓上任取一點D，作DECD，交直線AB于點E，BFAB，交線段AD的延長線于點F.（1）設弧AD是x°的弧，若要點E在線段BA的延長線上，則x的取值范圍是_.（2）不論點D取在

9、半圓的什么位置，圖中除ABAC外，還有兩條線段一定相等.指出這兩條相等的線段，并予證明.（江蘇省競賽試題） （第9題圖） （第10題圖） （第11題圖）10.如圖，內接于O的四邊形ABCD的對角線AC與BD垂直相交于點K，設O的半徑為R.求證：（1）是定值；（2）是定值.11.如圖，設P是正方形ABCD外接圓劣弧弧AB上的一點，求證：的值為定值.（克羅地亞數學奧林匹克試題）B 級1. 等腰ABC的底邊BC為定長2，H為ABC的垂心.當頂點A在保持ABC為等腰三角形的情況下 改變位置時，面積SABC·SHBC的值保持不變，則SABC·SHBC=_.2.已知A，B，C，D，E是

10、反比例函數（x0）圖象上五個整數點（橫、縱坐標均為整數），分別過這些點向橫軸或縱軸作垂線段，以垂線段所在的正方形邊長為半徑作四分之一圓周的兩條弧，組成如圖所示的五個橄欖形（陰影部分），則這五個橄欖形的面積總和是_（用含的代數式表示）.（福州市中考試題）3.如圖，將六邊形ABCDEF沿直線GH折疊，使點A，B落在六邊形ABCDEF的內部，記CDEF，則下列結論一定正確的是（ ） A. 12900°2 B. 121080°2 C. 12720° D. 12360°（武漢市競賽試題）（第3題圖） （第4題圖）4.如圖，正ABO的高等于O的半徑，O在AB上滾動，

11、切點為T，O交AO，BO于M，N，則弧MTN（ ） A.在0°到30°變化 B.在30°到60°變化 C.保持30°不變 D.保持60°不變5.如圖，AB是O的直徑，且AB=10，弦MN的長為8.若MN的兩端在圓上滑動時，始終與AB相交，記點A，B到MN的距離分別為h1，h2，則h1-h2等于（ ） A.5 B.6 C.7 D.8（黃石市中考試題）（第5題圖） （第6題圖）6.如圖，已知ABC為直角三角形，ACB=90°，AC=BC，點A，C在x軸上，點B坐標為（3，m）（m0），線段AB與y軸相交于點D，以P（1，0）為頂

12、點的拋物線過點B，D.（1）求點A的坐標（用m表示）（2）求拋物線的解析式；（3）設點Q為拋物線上點P至點B之間的一動點，連接PQ并延長交BC于點E，連接BQ并延長交AC于點F.試證明：FC（AC+EC）為定值.（株洲市中考試題）7.如圖，已知等邊ABC內接于圓，在劣弧AB上取異于A，B的點M.設直線AC與BM相交于K，直線CB與AM相交于點N.證明線段AK和BN的乘積與M點的選擇無關.（湖北省選拔賽試題） （第7題圖） （第8題圖）8.如圖，設H是等腰三角形ABC兩條高的交點，在底邊BC保持不變的情況下讓頂點A至底邊BC的距離變小，這時乘積SABC·SHBC的值變小、變大，還是不變

13、？證明你的結論.（全國初中數學聯賽試題）9.如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸的交點為點A，與y軸的交點為點B.過點B作x軸的平行線BC，交拋物線于點C，連接AC.現有兩動點P，Q分別從O，C兩點同時出發，點P以每秒4個單位的速度沿OA向終點A移動，點Q以每秒1個單位的速度沿CB向點B移動.點P停止運動時，點Q也同時停止運動.線段OC，PQ相交于點D，過點D作DEOA，交CA于E，射線QE交x軸于點F.設動點P，Q移動的時間為t（單位：秒）.（1）求A，B，C三點的坐標和拋物線的頂點坐標；（2）當t為何值時，四邊形PQCA為平行四邊形？請寫出計算過程；（3）當時，PQF的面積是否總是

14、定值？若是，求出此值；若不是，請說明理由；（4）當t為何值時，PQF為等腰三角形，請寫出解答過程.（黃岡市中考試題）（第9題圖） （第10題圖）10.已知拋物線C1：，點F（1,1）.（1）求拋物線C1的頂點坐標；（2）若拋物線C1與y軸的交點為A，連接AF，并延長交拋物線C1于點B，求證：.（3）拋物線C1上任意一點P（xP，yP）（0xP1），連接PF，并延長交拋物線C1于點Q（xQ，yQ），試判斷是否成立？請說明理由.11.已知A，B是平面上的兩個頂點，C是位于AB一側的一個動點，分別以AC，BC為邊在ABC外作正方形ACDE和正方形BCFG.求證：不論C在直線AB同一側的任何位置，EG

15、的中點P的位置不變.（四川省競賽試題）專題24平面幾何的定值問題例1 延長PC至E，使CEAP，連結BE，則BCEBAP，及PBE為等腰直角三角形，故 例2 B 提示：連結AC，BC，可以證明P為的中點 例3 SPOP，OMST，S，M，O，P四點共圓，于是SPMSOMSOT為定角 例4 (1)連結OC交DE于M，則OMCM， EMDM，而DG HE，則HMGM故四邊形OGCH是平行四邊形 (2)DG不變DEOCOA3 .DGDE×31 (3)設CDx，延長OG交CD于N，則CNDN x， ， .，而ONCH，故CD23CH2x23(4x2)x212x2為定值例5 C(0，4) 先求

16、得AMCM5，連接MC交AE于N，由AOGANM，得，OG，又BOCGOM，GOMCOB，GMOCBO，得MGBC連結DM，則DMPD，DOPM，DO2OMOP，OP動點F在M的圓周上運動時，從特殊位置探求的值當F與點A重合時，；當點F與點B重合時，；當點F不與點A，B重合時，連接OF、PF、MF，DM2MOMP，FM2MOMP，即，又OMPFMP，MFOMPF，故的比值不變，比值為例6 BPC120°，在BPC中，由余弦定理得BC2PB2PC22PBPCBC2，又由上托勒密定理得BCPAPCAB，而ABBCAC，PAPBPC，從而PA2 PB2 PC2 (PBPC)2 PB2 PC

17、22 (PB2PC2PBPC)2BC22×6故PA2PB2PC2為定值A級 14 提示：S1S陰 S2S陰xy3，S1S22xy2S陰624 2提示：1359是等邊三角形的高3r2提示：先考查OB與OA垂直的情形4D 提示：延長BF交DE于點M，連接BD，則BCD為等邊三角形，BF平分CBDF為CD中點，且ADCE，ADF與ECF關于點F中心對稱CEADCD，CEM=30°，DMF=60°，5D 提示：AB的中點均在O的上半圓的中點處 6B 提示：S正方形OCADODOC6，SOEBFOEOFxByB6 7略 當點P在O內時，過P作直徑CD，則PEPFPDPCr2

18、OP2為定值；當點P在O外時，PEPF為定值結論：過不在圓上的一個定點任作一條直線與圓相交，則這點到直線與圓相交點的兩條線段長的積為定值 8 22.5° P值無變化理由如下：如圖，延長BA交y軸于E點，可證明OAEOCN，得OEON，AECN，又MOEMON45°，OMON，OMEOMN，得MNMEAMAEAMCNPMNBNBMAMCMCNBNBMABAC490x90 BEBF 提示：連接BD，可證明BDFADB，BDEADC 10作OPBD于P，OQAC于Q，連接AO，則AO2，又AKCKBKDK，得AK2BK2CK2DK24R2為定值 作直徑DE，連接AE，BE，CE，

19、AB2CD24R2，AD2BC24R2，故AB2BC2CD2DA28K2為定值 11設正方形的邊長為a，根據托勒密定理，對于四邊形APBC和四邊形APBD，有CPaAPaBP，DPaBPaAP，兩式相加并整理得(CPDP)a(APBP)(a)，從而為定值B級11 提示：不妨設A為銳角，AD，BE，CF為ABC的三條高，H為垂心，由ABAC知HBDHCDHAE，HDCCDA90°，故RtCHDRtACD，即ADHDDC2BC21SABCSHBC 1當A90°時，結論成立21326 提示：A，B，C，DE是反比例函數y(x0)圖象上五個整數點，由圖象可知，這些點的橫坐標分別為1

20、，2，4，8，16五個正方形的邊長分別為1，3，4，2，1這五人橄欖形的面積總和是5108161326 3B 提示：如圖，設FA的延長線與CB的延長線交于點P，GA的延長線與HB的延長線交于點P由對稱性可知12APP，22BPP122APBAPB540°，121080°2 4D 5B 提示：如圖，設AB與MN交于點C，過點O作ODMN于D，連接FO并延長交EB于G由垂徑定理，得OD3由AFOBGO，得AFBG，即h1BG由AFMN，BEMN，得FODFGEEG2OD6，EG6 6A(3m，0) yx22x1 過點Q作QMAC于M，過點Q作QNBC于N，設Q點的坐標為(x，x

21、22x1)，則QMCN(x1)2，MCQN3xQMCE，PQMPEC，即，得EC2(x1)QNCF，BQNBFC，即，得FC又AC4，FC(ACEC) 8為定值 7提示：易證ABKBNA，故AKBNAB2為定值，即AK與BN的乘積與M點的選擇無關 8提示：SABCSHBC BC4，由于BC是不變的，所以當點A至BC的距離變小時，乘積SABCSHBC保持不變 9A(18，0)，B(0，10)，頂點坐標為(4，) 若四邊形PQCA為平行四邊形，由于QCPA，故只要QCPA即可，而PA184t，CQt，故184tt，得t 設點P運動ts，則OP4t，CQt，0t4.5說明P在線段OA上，且不與點O，A重合由于QCOP知QDCPDO，故同理QCAF，故，即，AF4tOPPFPAAFPAOP18又點Q到直線PF的距離d10，SPQFPFd×18×1090于是SPQF的面