1、燕京理工學院高等數學課程教案授課題目§9.1 微分方程的一般概念§9.2一階微分方程（一）課時安排2課時主講人教學目的1. 理解微分方程的基本概念。2. 掌握一階可分離變量方程的解法。教學重點、難點一階可分離變量方程的解法；區分解與通解；分離變量后的積分授課類型：理論課教學方式：講授教學資源：多媒體教學過程備注§9.1 微分方程的一般概念例1 一曲線通過點(1, 2)，且在該曲線上任一點處的切線的斜率為，求這曲線的方程且, ,C=1. 例2 列車在平直線路上以(m/s)的速度行駛，當制動時列車獲得加速成度求開始制動后列車行駛的路程與時間t的函數關系。，定義：含未知

2、函數、未知函數的導數或微分以及自變量之間關系的方程叫做微分方程。微分方程中未知函數的最高階導數稱為微分方程的階。例：指出下列各微分方程的階1. y''+y' 3+xy 4=sin x 2. y'+xy''+(y'')3+2y 5=13. y'+y y'=1+x54. y'''=y注意：在一個微分方程中，自變量x、未知函數y可以不出現，但未知函數的導數或微分不能不出現。定義1任何函數, 代入微分方程（10.1.1）后能使兩端成為恒等式, 則叫作微分方程的解. 例如, 顯函數是微分方程的解; 隱

3、函數是微分方程的解. 定義2：設階微分方程（10.1）的解包含個獨立的任意常數:, 則稱它為通解; 如果微分方程的解不包含任意常數, 則稱之為特解. 定義3：設為定義在數域I內的兩個函數, 如果存在非零常數, 使得. 則稱線性相關; 對任意常數, 如果都不恒等于, 則稱線性無關. 例如, 與, 與, 與線性無關, 與,與線性相關如果一個函數代入微分方程能使之成為恒等式，稱該函數為微分方程的解。如果微分方程的解中含有獨立的任意常數個數與微分方程的階相同，則稱這解為微分方程的通解。用一些條件確定通解中的任意常數而得到的解稱為微分方程的特解。用來確定通解中任意常數的條件叫做初始條件。一階微分方程初始

4、條件的提法為：二階微分方程初始條件的提法為：，例1 驗證是否為微分方程 的通解? 解（其中）, 兩邊求導可得, 即 . 因此它是二階方程的解, 但是該解實質上只含有一個獨立的任意常數, 所以它不是通解, 也不是特解. §9.2 一階微分方程（一）一、可分離變量的微分方程一階微分方程：y'=f (x,y)若能化為y'=h(x)×g(y)，則稱該方程為可分離變量的微分方程。例如：y'=2x+1這是可分離變量的微分方程，解這個微分方程只要方程兩邊積分：y=x2+x+C.又如y'=2xy2這也是可分離變量的微分方程，但這個微分方程就不能兩邊直接積分，

5、這是因為含有未知函數y。但若把上面的微分方程變形為：兩邊積分得：一般地，若y'=h(x)×g(y)把方程變形為：，若y=j(x)是方程的解，則有：兩邊對x積分，左邊利用湊微分法：。即可分離變量的微分方程求解方法是：把變量分離兩邊再積分。例1：求解微分方程： (y+1)2y'+x3=0例2：求解微分方程： y'=e y-2x例3：求解微分方程：x(1+y2)dx-y(1+x2)dy=0在研究幾何、物理、經濟等問題會遇到微分方程，并且有廣泛運用。本章只介紹基本概念，和最簡單的幾種方程的解法。 作業: p410 1、（1），（3），（5），2、（1）（3）（5）（7

6、） 高等數學課程教案授課題目§9.2一階微分方程（二）（三）課時安排2課時主講人教學目的掌握齊次方程和一階線性微分方程的解法。教學重點、難點一階線性微分方程的常數變易法求解線性非齊次方程；齊次方程和一階線性微分方程的解法。授課類型：理論課教學方式：講授教學資源：多媒體教學過程備注（二）可分離變量的方程形如 或 的方程叫做可分離變量的微分方程.解法：用去乘方程的兩邊后再積分便可得到該方程所確定的間的隱函數表達式. 用去除方程(10.2.2)得 兩邊積分, 得其中是任意常數. 的微分方程，則稱該方程為齊次微分方程。例1 求微分方程的通解.例2 解初值問題.例3求微分方程 的通解.（三）一

7、階線性微分方程形如：y'+P(x)y=Q(x)的微分方程稱一階線性微分方程，其中P(x)，Q(x)是x的已知函數。若Q(x)º0，則方程y'+P(x)y=0稱為一階線性齊次微分方程，否則稱之為一階線性非齊次微分方程。為求一階線性微分方程的解，先求y'+P(x)y=0的解，這是可分離變量的微分方程，解得。再令為非齊次方程的解，其中C(x)為待定函數，代入y'+P(x)y=Q(x)得到C(x)的微分方程：，解得，故。例1 求解微分方程：y'cos x+ysin x=1例2 求特解：例3 求特解：例4 求微分方程的通解例5 書P384例8本次課兩種方

8、程以線性方程為重點，求解時掌握方法更為重要。作業: p411 3、（1）（3）（5）（7），4、（2）（4）（6）（8） 高等數學課程教案授課題目§9.3幾種二階微分方程§9.4 二階常系數線性微分方程（一）課時安排2課時主講人教學目的掌握特殊二階微分方程和二階常系數線性齊次方程的解法。教學重點、難點特殊二階微分方程和二階常系數線性齊次方程的解法， 求二階常系數線性齊次方程特征根解法授課類型：理論課教學方式：講授教學資源：多媒體教學過程備注幾種二階微分方程二階微分方程的一般形式為（一）最簡單的二階微分方程形如 的微分方程，是最簡單的二階微分方程。 求解方法就是經過二次積分而

9、求得。 例1 求微分方程 （二）不顯含未知函數y的二階微分方程 （1）解法： 令 則，代入（1）得 （2）這個變為一階微分方程，可以求得通解，則 (和為任意常數)例2 （三）不顯含自變量x的二階微分方程 （3） 令 ，則 于是（3）化為 （4）（4）為一階方程，通解可求出，設為 則有 解出 （1）通解y例3 求微分方程 滿足初始條件的特解（四）二階常系數線性齊次微分方程二階常系數線性微分方程的一般形式為 （5），其中，是（實）常數，是x的已知函數，對應于微分方程（5）的二階常系數線性齊次微分方程是 （6） 定理 9.1 如果與是方程（6）的兩個特解，而且不等于常數，則為方程（6）的通解，其中與

10、為任意常數。令函數為常數，將它代入（6）得 （7）稱為（6）的特征方程，其根稱為（6）特征根.。分別討論特征根 和為相異的實根、重根、和共軛復根三種情況。（1） 相異實根可得特解為， 由不等于常數，線性無關，可得（6）通解為 (和為任意常數)。例4 求方程的通解（2）重根方程（6）的通解為 (和為任意常數)。例5 求方程的通解（3）共軛復根通解為 (和為任意常數)。例6 求方程 的通解. 例7求方程 的通解.例8求方程 的通解. 作業: p411 5、（2）（4）（6）（8）,7, 9，10（2）（4）（6）（8） 授課題目§9.5微分方程復習課時安排2課時主講人教學目的掌握微分方程知識點和典型例題教學重點、難點掌握微分方程知識點和典型例題授課類型：理論課教學方式：講授教學資源：多媒體教學過程備注微分方程練習題一 求下列微分方程的通解 (