1、補充第0章 階躍響應沖擊響應與卷積積分法電路中除電阻元件外，還包含有電容和電感等動態(tài)元件，這樣的電路稱為動態(tài)電路。在動態(tài)電路分析中，激勵和響應都表示為時間的函數(shù)，采用微分方程求解電路和分析電路的方法，稱為時域分析法。本章主要討論一階電路的階躍響應、沖激響應、任意輸入的零狀態(tài)響應，以及二階電路在恒定輸入下的零狀態(tài)響應。 §0-1 階躍響應和沖激響應電路的輸入除恒定不變的常量（即恒定輸入或直流輸入）和按正弦規(guī)律變動的交流量（即正弦輸入）之外，常見的還有另外兩種奇異函數(shù)，即階躍函數(shù)和沖激函數(shù)。本節(jié)就來討論這兩種函數(shù)的定義、性質及作用于線性動態(tài)電路時所引起的響應。單位階躍函數(shù)（unit st

2、ep function）用來表示，它定義為 波形如圖0-1（a）所示，在處，由0躍變至1。如果單位階躍函數(shù)的躍變點不是在處，而是在處，波形如圖0-1（b）所示，則稱它為延遲的單位階躍函數(shù)，用表示，即 圖0-1單位階躍函數(shù)與任一常量的乘積仍是一個階躍函數(shù)，此時階躍的幅度為。單位階躍函數(shù)與任一函數(shù)的乘積將只保留該函數(shù)在階躍點以后的值，而使階躍點以前的值變?yōu)榱悖从?因此，單位階躍函數(shù)可以用來“起始”一個任意函數(shù)，這給函數(shù)的表示帶來了方便。例如對于線性函數(shù)為常數(shù)），由圖0-2(a)、(b)、(c)可以清楚地看出、及的不同。圖0-2應該指出，函數(shù) 與是不同的。前者相當于把向后延遲了時間波形如圖0-2(

3、d)所示，而后者只是在以后才有值。要注意它們的差別。在電路分析中，可以利用單位階躍函數(shù)來表示某些輸入波形。例如對圖0-3(a)中的波形，可以看做是圖(b)中兩個單位階躍函數(shù)的波形合成的結果，從而有 圖0-3同理，可將圖0-4(a)和(b)中的波形分別表示成 圖0-4單位階躍函數(shù)還可以用來“模擬”電路中的開關動作。例如圖0-5(a)中電路的輸入為，其含義與圖0-5(b)中的開關動作是一樣的，即時RC電路被短接，輸入為零；時RC電路被接到電壓源上。與此類似，圖0-6(a)中電路的輸入為，其含義與圖0-6(b)中的換路也是一樣的，即在時RL電路與電流源沒有接通，輸入為零；而在時，RL電路才被接到電流

4、源上。 圖0-5 圖0-6當電路的輸入為（單位）階躍函數(shù)時，相應的響應稱為（單位）階躍響應。應該指出的是，如果電路僅有階躍輸入，則因為換路前輸入為零，故其初狀態(tài)必為零。因此電路的（單位）階躍響應是在（單位）階躍輸入作用下的零狀態(tài)響應。例0-1 求單位階躍電流源作用于RC并聯(lián)電路時的響應（電路如圖0-7所示）。圖0-7解 時由于輸入為零，故時換路，換路后1A電流源作用于電路，可用三要素法分析如下故 考慮到時，故所求響應亦可寫作 而不必再另行標注時間域了。如將上例中的輸入改為延遲的單位階躍函數(shù)，則響應也應延遲，變?yōu)?若把上例中的輸入改為，則根據(jù)零狀態(tài)響應的線性性質，其響應將變?yōu)?綜上所述，如果把某

5、電路對單位階躍輸入的響應記做，則該電路對延遲時刻的單位階躍輸入的響應為，而對輸入為的響應為。例0-2 求單位階躍電壓源作用于RC串聯(lián)電路時的響應（電路如圖0-8所示）。圖0-8解 時，輸入為零，后，1V電壓源作用于電路，所求響應的三要素分別為 故 例0-3 圖0-9(a)所示電路中輸入的波形如圖0-9(b)所示。求。圖0-9解 由例0-2知，所求電容電壓的單位階躍響應為 今輸入可用單位階躍函數(shù)表示為 根據(jù)線性電路的疊加性質和零狀態(tài)響應的線性性質，可由直接寫出此時所求的響應為 該例也可看做二次換路問題，如圖0-9(c)所示，可用三要素法分時間段求得結果如下 兩種解法所得結果表面看起來似不一致，但

6、實際上是一樣的：在時，前一種結果中的第二項為零，故兩結果相同；在時，前一種結果中的兩項均不為零，經(jīng)變換與后一種結果仍然是相同的，即 下面介紹單位沖激函數(shù)（unit impulse function）。在引出單位沖激函數(shù)之前，先介紹一個矩形脈沖函數(shù)（pulse function），其定義如下 由定義可得的波形如圖0-10所示，它表示一個寬度為，高度為的矩形脈沖。由于這一脈沖所圍的面積稱做脈沖的強度為1，故又稱為單位脈沖函數(shù)（unit pulse function）。單位脈沖函數(shù)的特點是，脈沖寬度越小，脈沖高度越大，但脈沖所圍面積即脈沖強度始終為1，保持不變，如圖0-10中所示。當時，將會得到一個

7、寬度為零、高度無限而面積為1的特殊脈沖，我們稱此特殊脈沖為單位沖激，記做，即 圖0-10根據(jù)以上的介紹，我們可以給單位沖激函數(shù)正式定義如下 因為在時，而當時，所以單位沖激函數(shù)不是普通意義下的函數(shù)，而是一種奇異函數(shù)（singular function），其圖形表示如圖0-11(a)所示。箭頭旁注明1表示其強度為1。如果單位沖激函數(shù)不是在時出現(xiàn)，而是在時出現(xiàn)，則稱之為延遲的單位沖激函數(shù)，記做，其圖形表示如圖0-11(b)。如果沖激函數(shù)的強度不是1而是K，則用或表示，其圖形表示如圖0-11(c)。 圖0-11因為時，所以對于在處連續(xù)的任意函數(shù)，將有 并有 同理，對于在處連續(xù)的任意函數(shù)，將有 并有 以

8、上說明，單位沖激函數(shù)有把一個函數(shù)在某一瞬間的值“篩選”或“抽取”出來的本領，稱單位沖激函數(shù)的這一性質為“篩分”性質或“取樣”性質。由的定義式可知 即 （0-1）可見，單位階躍函數(shù)是單位沖激函數(shù)的積分。反過來，單位沖激函數(shù)就是單位階躍函數(shù)的導數(shù)，即 （0-2）當然，從傳統(tǒng)的數(shù)學觀點來看，嚴格地說，沖激函數(shù)的定義及階躍函數(shù)的求導都是值得懷疑的。但在實際中，這兩種函數(shù)及其相互關系卻是十分有用的。在工程實際中，既不存在絕對的沖激，也不存在絕對的階躍，它們都是被理想化、抽象化的結果。事實上，我們可以把一種上升速率極快的波形近似看做階躍；對這種波形求導的結果將會得到一個寬度極為窄小而幅度極大的脈沖，該脈沖

9、便可近似看做沖激。當電路的輸入為（單位）沖激函數(shù)時，相應的響應稱為（單位）沖激響應。下面就以RC并聯(lián)電路接于單位沖激電流源為例（電路如圖0-12所示）討論其響應。圖0-12由于沖激函數(shù)是一種特殊函數(shù)，它的值在時處處為零，且有 因此以沖激函數(shù)作為輸入可把電路的激勵情況分為以下三個階段：時，由于，電路相當于零輸入，故必有；時，也就是在到區(qū)間，此時電路受到激勵，從而使儲能元件電容在這一瞬間獲得了能量，即的值已不為零；時，又有，電路仍相當于零輸入，此時電容電壓應為 以上的分析說明，電路對單位沖激函數(shù)的零狀態(tài)響應實際上包含兩個過程，即由在瞬間給電路建立起一個非零的初始狀態(tài)及由該初始狀態(tài)在時引起的零輸入響

10、應。不難發(fā)現(xiàn)，這里的關鍵問題是的確定。顯然，由于沖激電流源的存在，已不能保證在瞬間電容電流為有限值，因而=即電容電壓在瞬間不發(fā)生躍變的結論在此已不適用，必須另外尋求確定的方法。對我們所考慮的電路，由KCL，有 由于只在到區(qū)間不為零，所以我們對上式兩邊由到取積分，得 式中左邊第二項只有在為沖激函數(shù)時才不為零；但如果為沖激函數(shù)，將為沖激函數(shù)的一階導數(shù)，如此就不能滿足KCL，即上述KCL方程將不能成立。所以為沖激函數(shù)是不可能的，只能是有限值。于是該項積分應為零。從而可得 故 這一結果說明，在單位沖激電流源的作用下，電容電壓在瞬間發(fā)生了躍變，由躍變?yōu)椤Ｇ蟮弥螅憧傻玫诫娐返膯挝粵_激響應為 考慮到時，

11、所以該單位沖激響應可以寫作 由此可進一步求得電容電流 圖0-13畫出了和的變化曲線。其中電容電流在時為一單位沖激電流，正是該電流使電容在一瞬間獲得一庫侖的電量，從而使電容電壓在此一瞬間由零躍變至。時，由于電流源的電流，電源支路相當于開路，電容通過電阻放電，故為負值；電容電壓則由1/C逐漸衰減，最終趨向于零。圖0-13現(xiàn)在，讓我們回過頭來仔細考察RC并聯(lián)電路分別接于單位沖激電流源和單位階躍電流源（例0-1）兩種情況下的響應。為了便于區(qū)別，把單位階躍響應用表示，單位沖激響應用表示，即 則有 即有 （0-3）這一結果告訴我們：一個電路的單位沖激響應是其單位階躍響應對時間的導數(shù)。反過來，單位階躍響應便

12、是其單位沖激響應對時間的積分，即 （0-4）上述結論即式（0-3）和式（0-4）的關系雖然是由一個具體問題得出的，但對線性電路卻是普遍成立的。這是因為對于一個線性電路來說，描述其性狀的電路方程是線性、常系數(shù)的微分方程，當不同的激勵函數(shù)之間存在某種關系時，方程的解即它們所對應的響應之間也必存在同樣的關系。這里，由于激勵和之間有如下關系 故它們所對應的響應之間必存在同樣的關系，即 有了以上關系，當我們要求某一電路的單位沖激響應時，也可以先求出同一電路的單位階躍響應，然后將其對時間求導，便可得到所求的單位沖激響應。例0-4 求RL串聯(lián)接于單位沖激電壓源時（電路如圖0-14所示）的響應。圖0-14 解

13、 方法一時，由于；時，由KVL，有 將該式兩邊由到取積分，得 由于為有限值（如果為沖激函數(shù)，則違反KVL），上式左邊第一項的結果為零，從而有 故 時，由于，電路相當于零輸入，故 考慮到時=0，故所求響應為 方法二 先求的單位階躍響應。當輸入為單位階躍函數(shù)時，因 故的單位階躍響應為 再由便可求得其單位沖激響應即我們所要求的電感電流為 實際上，該例電路是圖0-12電路的對偶電路，此處與圖0-12電路中的為對偶元素，故也可根據(jù)對偶原理由圖0-12電路中的直接寫出結果。 §0-2 卷積積分上節(jié)分別討論了一階電路的階躍響應和沖激響應。本節(jié)將根據(jù)疊加定理，由單位沖激響應導出一階線性電路對任意輸入

14、的零狀態(tài)響應。設圖0-15所示的曲線函數(shù)為電路的任意輸入。我們可以用在時間軸上相繼位移的階梯波來逼近越小就越逼近。現(xiàn)在我們用一系列寬度為的矩形脈沖來描述這一階梯波，如圖0-15所示。當趨向于零時，每個矩形脈沖均趨向于強度等于其面積（高度乘以）的沖激函數(shù)。例如對于處的特定脈沖（圖中陰影區(qū)域），其高度為，當時，該脈沖最終趨近為沖激函數(shù) 圖0-15如果電路對一個在時出現(xiàn)的單位沖激函數(shù)的響應為，則對一個在時出現(xiàn)的強度為的沖激函數(shù)的響應就是。根據(jù)線性電路的疊加原理，電路在某時刻對任意輸入的響應就是對以前所有沖激函數(shù)的響應之和，即 或 （0-5）式（0-5）說明，線性電路對任意輸入的零狀態(tài)響應是它的單位沖

15、激響應與輸入函數(shù)的卷積（這一結論有時被稱為波爾定理）。因此，只要我們知道了電路的單位沖激響應，就可以利用這一卷積積分求得電路對任意輸入的零狀態(tài)響應。這里輸入函數(shù)可能是電壓源的電壓，也可能是電流源的電流。注意式（0-5）中的積分變量是而不是，積分過程中應被視為常量。例0-5 在圖0-16所示的電路中，已知時開關閉合。求時的電路電流。圖0-16解 由例0-4知，電路電流的單位沖激響應為 輸入函數(shù)為 將它們代入式（0-5），可得所求響應 應該再次指出，用卷積積分（0-5）求得的是電路對任意輸入的零狀態(tài)響應。如果電路的初始狀態(tài)不為零，則電路最終的響應還應加上由初始狀態(tài)引起的零輸入響應。例0-6 在圖0-17電路中，已知；開關原來接在的恒壓源上且電路是穩(wěn)定的，時改接到的電壓源上。求時流經(jīng)電阻的電流。圖0-17解 設電容電壓方向如圖，因所求響應，所以只要求出即可求出。下面就來求。換路前 換路后 從而得出電容電壓的零輸入響應為 電容電壓的零狀態(tài)響應可用卷積積分求得如下：電容電壓的單位階躍響應為 其單位沖激響應為 輸入函數(shù) 由式（0-5）可求得電容電壓的零狀態(tài)響應為 電容電壓的全響應為 于是，所求電流 卷積積分是分析線性動態(tài)電路零狀態(tài)響應的常用方法。它不僅對可用解析函數(shù)表示的輸入能夠計算，而且對不能用解析函數(shù)表示的輸入也可以通過圖形或數(shù)值進行計算。有關這方面的知識因篇