1、微分中值定理的證明與應用 B09030124 孫吉斌一 中值定理及證明：1. 極值的概念和可微極值點的必要條件:定理 ( Fermat ) 設函數在點的某鄰域內有定義，且在點可導，若點為的極值點，則必有 羅爾中值定理：若函數滿足如下條件：（i）在閉區間a，b上連續；（ii）在開區間（a，b）內可導；（iii），則在（a，b）內至少存在一點，使得（）=0。證明：因為在a,b上連續，所以有最大值與最小值，分別用M與m表示，現分兩種情況討論：(i)若M = m , 則 在a,b上必為常數，從而結論顯然成立。(ii)若m M，則因 (a)=(b)，使得最大值M與最小值m至少有一個在(a,b)內某點處取

2、得，從而是的極值點，由條件(ii) 在點處可導，故由費馬定理推知=0.注1：羅爾定理的幾何意義：在每一點都可導的一段連續曲線上，如果曲線的兩端點高度相等，則至少存在一條水平切線。注2：習慣上把結論中的稱為中值，羅爾定理的三個條件是充分而非必要的，但缺少其中任何一個條件，定理的結論將不一定成立。例如： 易見，F在x=-1不連續，在x=±1不可導，F(-2)F（2）, 即羅爾定理的三個條件均不成立，但是在（-2，2）內存在點 , 滿足 注3：羅爾定理結論中的值不一定唯一，可能有一個，幾個甚至無限多個，例如：在 -1，1 上滿足羅爾定理的條件，顯然在（-1，1）內存在無限多個 = 使得=0

3、。2、拉格朗日（Lagrange）中值定理：若函數 滿足如下條件：i)在閉區間上連續；ii）在開區間()內可導；則在（a，b）內至少存在一點，使得證明此定理要構造輔助函數 ，使得滿足羅爾定理的條件（i）-(iii) 且，從而推得證明：作輔助函數顯然，F（a）=F(b)（=0），且F在a，b上滿足羅爾定理的另兩個條件，故存在點(a，b)，使得 即 注1°羅爾定理是拉格朗日中值定理時的特例注2°幾何意義：在滿足拉格朗日中值定理條件的曲線上至少存在一點，該曲線在該點處的切線平行于曲線兩端點的連線AB，我們在證明中引入的輔助函數，正是曲線 與直線AB,之差，事實上，這個輔助函數的引

4、入相當于坐標系統原點在平面內的旋轉，使在新坐標系下，線段AB平行于新軸（F（a）=F（b）。注3°此定理的證明提供了一個用構造函數法證明數學命題的精彩典范；同時通過巧妙地數學變換，將一般化為特殊，將復雜問題化為簡單問題的論證思想，也是數學分析的重要而常用的數學思維的體現。注4°拉格朗日中值定理的結論常稱為拉格朗日公式，它有幾種常用的等價形式，可根據不同問題的特點，在不同場合靈活采用： 注5°拉格朗日中值定理的兩個條件彼此有關，并不彼此獨立，因為：在（a,b）可導可以推出在（a，b）連續，但反之不成立。把這兩個條件的“重疊”部分去掉，改成“函數在（a，b）可導且在a

5、右連續在b左連續”這樣，兩個條件互相獨立，但文字累贅且不便記憶，因此一般不這樣敘述。 3、拉格朗日中值定理的幾個重要推論推論1 函數在區間I上可導且為I上的常值函數. 證明： 任取兩點 （設），在區間 上應用拉格朗日中值定理，存在 （）I，使得推論2 函數和在區間I上可導且推論3（導數極限定理）設函數在點的某鄰域U（）內連續，在U°（）內可導，且極限存在，則在點可導，且證明：分別按左右導數來證明上式成立（1） 任取，在上滿足拉格朗日中值定理條件，則存在，使得由于，因此當時隨之有，對上式兩邊取極限，使得 （2）同理可得因為=存在，所以=，從而即注1°由推論3可知：在區間I上的

6、導函數在I上的每一點，要么是連續點，要么是第二類間斷點，不可能出現第一類間斷點。注2°導數極限定理適合于用來求分段函數的導數。推論4 ( 導函數的介值性 ) 若函數在閉區間上可導, 且 ( 證 )二 應用舉例:1可微函數單調性判別法：1.1 一階函數與單調性的關系：(1) 設函數在區間內可導. 則在內(或) 在內 ( 或 ).證 ) ) 證.(2) 設函數在區間內可導. 則在內( 或) > 對 有 ( 或; > 在內任子區間上2 可微極值點判別法: 極值問題: 極值點, 極大值還是極小值, 極值是多少.2.1 可微極值點的必要條件: Fermat定理函數的駐點和(連續但)

7、不可導點統稱為可疑點, 可疑點的求法.2.2 極值點的充分條件: 對每個可疑點, 用以下充分條件進一步鑒別是否為極值點.(充分條件) 設函數在點連續, 在鄰域和內可導. 則 > 在內 在內時, 為的一個極小值點; > 在內 在內時, 為的一個極大值點; > 若在上述兩個區間內同號, 則不是極值點. (充分條件) 設點為函數的駐點且存在.則 > 當時, 為的一個極大值點; > 當時, 為的一個極小值點.證法一 當時, 在點的某空心鄰域內與異號,證法二 用Taylor公式展開到二階, 帶Peano型余項.(充分條件 ) 設,而.則 > 為奇數時, 不是極值點;

8、> 為偶數時, 是極值點. 且對應極小; 對應極大.2.3 利用單調性證明不等式: 原理1: 若, 則對, 有不等式.例4 證明: 對任意實數和, 成立不等式 證 取在內.于是, 由 , 就有 , 即 .不等式原理: 設函數在區間上連續,在區間內可導,且; 又 則 時, (不等式原理的其他形式.) 凸性的定義及判定：（1）凸性的定義：由直觀引入. 強調曲線彎曲方向與上升方向的區別.定義 設函數在區間上連續. 若對, 恒有 , 或. 則稱曲線在區間上是凹(或凸)的. 若在上式中, 當時, 有嚴格不等號成立, 則稱曲線在區間上是嚴格凹(或嚴格凸)的. 凹和凸也分別稱為上凸和下凸.(2) 凸性

9、的幾何意義: 倘有切線, 與切線的位置關系; 與弦的位置關系; 曲線的彎曲方向. 利用二階導數判斷曲線的凸向: 設函數在區間內存在二階導數, 則在內 在內嚴格上凸; 在內嚴格下凸.該判別法也俗稱為“雨水法則”.證法一 ( 用Taylor公式 ) 對 設, 把在點展開成具Lagrange型余項的Taylor公式, 有 .其中和在與之間. 注意到 , 就有 , 于是 若有 上式中, 即嚴格上凸. 若有 上式中, 即嚴格下凸.證法二 ( 利用Lagrange中值定理. ) 若 則有, 不妨設,并設 ,分別在區間和上應用Lagrange中值定理, 有,.有 又由 ， <, ， 即 ， 嚴格下凸.可類證的情況.凸區間的分離: 的正、負值區間分別對應函數的下凸和上凸區間. 曲線的拐點: 拐點的定義.例8 確定函數的上凸、下凸區間和拐點. 解 的定義域為 . 令, 解得 .在區間內的符號依次為，. 拐點為: 倘若注意到本題中的是奇函數, 可使解答更為簡捷.3 函數的最值: 設函數在閉區間上連續且僅有有限個可疑點. 則 =; . 函數最值的幾個特例:> 單調函數的最值:> 如果函數在區間上可導且僅有一個駐點, 則當為極大值點時, 亦為最大值點; 當為極小值點時, 亦為最小值點.> 若函數在內可導且僅有一個