1、數學建模作業題注意事項：作業共十題，每題十分，全部是比較簡單的建模計算題，題目既是課本上的習題，在課本304315有參考解答，又是在線題庫的題目，在題庫里有更詳細的解答。學員應該先自己動腦筋解決，然后才參考一下課本及題庫的解答。評分高低主要是看完成作業的態度、獨立程度和表達清晰程度。上傳的作業必須是包括全部作業的單獨一份word文檔，必須自己錄入，不允許掃描，不允許直接插入題庫答案中的圖片。嚴重違反者，不及格。請于有效期結束前兩周（11月31日24時之前）提交上傳作業，教師在12月13日第一次批改，請學員在12月45日查看成績，不及格的學員可以在課程答疑欄目提出或者課程論壇提出重交申請，12月

2、67日教師刪除原作業后，這些學員可以在12月15日之前重交作業。每人只有一次重交機會。作業題與考試相關（當然不會一模一樣），認真完成作業的學員，必將在考試取得好成績。一、教材76頁第1章習題1第7題（來自高中數學課本的數學探究問題，滿分10分）表1.17是某地一年中10天的白晝時間（單位：小時），請選擇合適的函數模型，并進行數據擬合.表1.17 某地一年中10天的白晝時間日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日白晝時間5.5910.2312.3816.3917.26日期6月21日8月14日9月23日10月25日11月21日白晝時間19.4016.3412.018.486.13解：根據

3、地理常識，某地的白晝時間是以一年為周期而變化的，以日期在一年中序號為自變量x，以白晝時間為因變量y，則根據表1.17的數據可知在一年（一個周期）內，隨著x的增加，y大約在6月21日（夏至）達到最大值，在12月21日（冬至）達到最小值，在3月21日（春分）或9月21日（秋分）達到中間值。選擇函數作為函數值。根據表1.17的數據，推測A,b和的值，作非線性擬合得，預測該地12月21日的白晝時間為5.49小時。二、教材100頁第2章習題2第1題（滿分10分）繼續考慮第2.2節“汽車剎車距離”案例，請問“兩秒準則”和“一車長度準則”一樣嗎？“兩秒準則”是否足夠安全？對于安全車距，你有沒有更好的建議？解

4、：“兩秒準則”表明前后車距D與車速v成正比例關系，對于小型汽車，“一車長度準則”與“兩秒準則”不一致。由可以計算得到當時有，“兩秒準則”足夠安全，或者把剎車距離實測數據和“兩秒準則”都畫在同一幅圖中，根據圖形指出“兩秒準則”足夠安全的車速范圍。用最大剎車距離除以車速，得到最大剎車距離所需的尾隨時間，并以尾隨時間為依據，提出更安全的準則，如“3秒準則”、“4秒準則”或“t秒準則”等。t秒準則，剎車距離的模型和數據三、教材100頁第2章習題2第3題（滿分10分）繼續考慮第2.3節“生豬出售時機”案例，做靈敏度分析，分別考慮農場每天投入的資金對最佳出售時機和多賺的純利潤的影響.解：（1）考慮每天投入

5、的資金c發生的相對為，則生豬飼養的天數t發生的相對變化是的多少倍，即定義t對c的靈敏度為S（t,c）= 因為c0，所以重新定義t對c的靈敏度為S（t,c）=× 由課本上可知t= 所以t=-,所以t是c的減函數為了使t0，c應滿足rp(0)-g(0)-c>0結合可得S（t,c）= = = 2這個結果表示的意思是如果農場每天投入的資金c增加1%，出售時間就應該提前2% 。（2）同理（1）總收益Q對每天投入資金c的靈敏度為S（Q,c）= ×Qmax= 結合得Qmax= = =4這結果表示的意思是如果每天投入的資金c增加1%，那么最大利潤就會減少4%四、教材143頁第3章習題

6、3第2題（滿分10分）某種山貓在較好、中等及較差的自然環境下，年平均增長率分別為1.68%、0.55%和-4.5%. 假設開始時有100只山貓，按以下情況分別討論山貓數量逐年變化的過程及趨勢：(1) 三種自然環境下25年的變化過程，結果要列表并圖示；(2) 如果每年捕獲3只，山貓數量將如何變化？會滅絕嗎？如果每年只捕獲1只呢？(3) 在較差的自然環境下，如果要使山貓數量穩定在60只左右，每年要人工繁殖多少只？ 解：解記第k年山貓 xk,設自然壞境下的年平均增長率為r，則列式得xk+1=(1+r)xk, k=0,1,2其解為等比數列xk=x0(1+r)k, k=0,1,2當分別取r=0.0168

7、 , 0.0055和-0.0450時，山貓的數量在25年內不同的環境下的數量演變為 年 較好 中等 較差 0 100 100 100 1 102 101 96 2 103 101 91 3 105 102 87 4 107 102 83 5 109 103 79 6 111 103 76 7 112 104 72 8 114 104 69 9 116 105 66 10 118 106 63 11 120 106 60 12 122 107 58 13 124 107 55 14 126 108 52 15 128 109 50 16 131 109 48 17 133 110 46 18 1

8、35 110 44 19 137 111 42 20 140 112 40 21 142 112 38 22 144 113 36 23 147 113 35 24 149 114 33 25 152 115 32從上可以得出結論：（1） 在較好的自然環境下即r=0.0168時，xk單調增趨于無窮大，山貓的數量將無限增長；（2） 在中等的自然環境下即r=0.0055時，xk單調增并且趨于穩定值；（3） 在較差的環境中即r=-0.0450時，xk單調衰減趨于0，山貓將瀕臨滅絕。若每年捕獲3只,b=3，則列式為Xk+1=(1+r)xkb則山貓在25年內的演變為年 較好 中等 較差 0 100 10

9、0 100 1 99 98 93 2 97 95 85 3 96 93 78 4 95 90 72 5 93 88 66 6 92 85 60 7 90 83 54 8 89 80 49 9 87 77 43 10 86 75 39 11 84 72 34 12 83 70 29 13 81 67 25 14 79 64 21 15 78 62 17 16 76 59 13 17 74 56 10 18 73 54 6 19 71 51 3 20 69 48 0 21 67 46 -3 22 65 43 -6 23 63 40 -9 24 61 37 -1125 59 35 -14由圖上可知，

10、無論在什么環境下，如果每年捕獲山貓3只，單調減趨于0，那么最終山貓的數量都會滅絕，在較差的環境中第20年就會滅絕。同理，如果每年人工捕獲山貓1只，那么山貓在不同環境中的演變為年 較好 中等 較差 0 100 100 100 1 101 100 95 2 101 99 89 3 102 99 84 4 103 98 79 5 104 98 75 6 104 97 70 7 105 97 66 8 106 96 62 9 107 96 59 10 107 95 55 11 108 95 51 12 109 94 48 13 110 94 45 14 111 93 42 15 111 93 39 1

11、6 112 92 36 17 113 92 34 18 114 92 31 19 115 91 29 20 116 91 26 21 117 90 24 22 118 90 22 23 119 89 20 24 120 88 18 25 121 88 16如果每年人工捕獲山貓一只，在較好的環境下山貓的數量仍然會一直增加，在中等的環境下，山貓的數量趨于穩定，但會慢慢減少，在較差的環境下，山貓的數量一直在減少，很快就會滅絕。若要使山貓的數量穩定在60只左右，設每年需要人工繁殖b只，到第k年山貓的數量為xk=(1+r)xk-1+b, k=0,1,2 這時 xk= xk-1 =60，r=-4.5%，代

12、入上式得b3 五、教材143頁第3章習題3第4題（滿分10分）某成功人士向學院捐獻20萬元設立優秀本科生獎學金，學院領導打算將這筆捐款以整存整取一年定期的形式存入銀行，第二年一到期就支取，取出一部分作為當年的獎學金，剩下的繼續以整存整取一年定期的形式存入銀行請你研究這個問題，并向學院領導寫一份報告. 報告：摘要：本文主要研究的是基金的最佳使用方案，通過最佳的基金使用計劃來提高每年發給學生的獎金。首先，計算在只有銀行存款的條件下，按照收益最大化原則，把基金存入銀行使每年發放的獎金數目盡可能多，由于銀行存款的期限最長為五年，所以把獎金發放制定成為期五年的發放計劃，第六年即可劃入下一個五年周期的獎金

13、發放計劃中。在滿足基金使用要求的情況下，每年存入銀行的各種存款的數目可以根據約束條件計算，然后分析銀行存款和投資并存情況下各種資金的分配情況。存款與投資同時存在的情況。在不考慮風險的情況下，將投資看作是特殊的存款，其利率用平均收益率近似代替，按照第一步的方法計算此時獎學金發放所產生的資金分配，通過靈敏度分析得出：獎學金發放對投資的靈敏度較高。根據投資越分散風險越低，可知應將基金分散用于投資和存款，不應將基金大量用投資。在考慮風險的情況下，應保證基金收益能夠滿足獎學金的發放要求，期末基金余額應大體與基金初始金額相等。鑒于學校獎學金基金承擔風險能力小，應采取謹慎的投資態度，因此應將學校獎學基金分為

14、兩部分：一部分用于保證獎學金的發放；一部分用于投資。20萬可分為兩部分，分別作為存款和投資資本。一方面銀行存款以20萬遞減的趨勢進行分析得出存款獎學金發放曲線，另一方面投資0萬元開始以遞增趨勢進行分析得出投資獎學金發放曲線，兩者的步長值相等且均為0.1萬元，然后將存款獎學金曲線和投資獎學金曲線在同一圖中合并為一條曲線，即得出總的獎學金發放曲線，存款獎學金曲線和投資獎學金曲線的交點即為獎學金均衡點，此時，存款與投資的比例較為合適，接著分析投資風險，通過分析得出獎學金發放最優的基金使用方式。關鍵詞：動態優化 資金合理分配 投資收益率一、問題分析在只有存款的條件下，可利用迭代法進行計算，用上一年到期

15、存款發放獎學金，發放獎學金后的余額作為剩余資金重新進行下期存款，得出每年應發放的獎學金最大數目及存入下期存款的種類。對于存款與投資同時存在的情況下，由于投資有收益率為負的情況，次種投資可看作為不存在的投資期限作簡化處理，應為投資收益率為動態數據，因此無法進行精確計算，只能進行近似計算，在這種情況下將投資的平均收益率作為投資收益，這樣不僅可以降低風險系數，簡化計算。經過以上簡化，在銀行存款和投資并存的情況下，可以將投資看作是特殊的存款，這樣可以利用與第一種情況相同的方法進行計算，這樣計算出的基金使用方式比較合理，風險比較低，可以保證獎學金的發放。基于以上的條件將銀行存款和投資并存的情況更詳細的分

16、析，把基金分為兩部分，一部分用于投資，一部分用于存款，觀察存款變化時，獎學金變化的情況。以次得到更穩健的資金利用方法。二、模型建立為了盡可能的資金被充分利用，模型中總是把扣除獎學金后所余的現有資金全部用來存款或投資。由于銀行存款和投資最大期限不大于五年，而本問題面對的是一個六年的基金投資計劃，所以針對目標情況，做五年期的投資存款計劃，模型中對相應的參數做了相應的處理。第一種情況下只有銀行存款，可以簡單的將各種條件轉化為約束條件，求出最優解，并將最優解作為只有存款條件下基金使用方案，在此把它看作是模型一。在二種情況下，投資作為一種選擇出現使問題復雜化，問題顯得非常復雜，因此將問題簡化顯得非常有必

17、要，把平均投資收益率看作投資的收益率不失為一種很好的方法，這樣不僅可以簡化模型的復雜性，還可以較好的反映問題的實質。在這種情況下可以求出最優的基金使用模型。三、符號說明：計劃中第n年投資于存款存期為j年的資金j=1,2,3,5：計劃中第n年投資于投資1周期為t1的資金t1=1,3,5.：計劃中第n年投資于投資2周期為t2的資金t2=2，5：存款中存儲周期為j年的實際收益率。N:獎學金發放數目。M：初始時某大學所獲基金的總額。：投資周期為t1的收益率。：投資周期為t2的收益率。四、模型求解第一種情況：只有銀行存款的條件下，銀行存款的存入方式及存入年限。銀行稅后年利率如下表存期1年2年3年5年稅后

18、年利率2.4%3%3.6%4.1%終期銀行利率如下表存款種類一年兩年三年五年終期收益率1.0241.061.1081.205在只存款不投資的情況下，根據我們的模型設計和符號約定，最佳的基金使用計劃應該滿足以下方程組：則在只有存款的情況下，第二年存入銀行的錢數為：第二種情況：在可存款也可投資的情況下，首先根據假設和最大收益的原則，資金在這種情況下是不允許閑置的，即在同一時間內要么存入銀行要么投資。其次。因為投資是有風險的，投資收益率為正態分布函數，因此，投資收益率用平均投資收益率。據此，可以得到彝族方程來刻畫這種情況下的最佳基金使用計劃。（為了充分利用基金，基金將被充分的用于存款和投資，因為只有

19、這樣才能使利潤最大化。） （第二年可用于投資與存款的基金和，與模型一相同，應發獎學金遵循獎學金數目的既定關系。）（第三年初可用于投資和存款的基金和）（第四年關于投資與存款的基金和）（第五年可用于投資和存款的基金和）五、運算數據模型的數據運算主要采用matlab軟件進行求解。現在不再求解。六、建議對上述兩個模型的分析可知，只對捐款進行定期的整存整取風險最低，但獎學金發放的年限也是最少的。對于第二種情況對捐款進行劃分，一部分用來投資，一部分用來存儲，具有一定的風險，但收益較為可觀。對于風險敏感的投資者，存款是最穩健的模型；對于風險愛好者，將資金全部用于投資，模型二為首選。我認為院領導在不考慮風險的

20、情況下，將投資看作是特殊的存款，其利率用平均收益率近似代替，按照第一步的方法計算此時獎學金發放所產生的資金分配。通過靈敏度分析得出：獎學金發放對投資的靈敏度較高。根據投資越分散風險越低，可知應將基金分散用于投資和存款，不應將基金大量用于投資。在考慮風險的情況下，應保證基金收益能夠滿足獎學金的發放要求，期末基金余額應大體與基金初始金額相等。鑒于學校獎學基金承擔風險能力小，應采取謹慎的投資態度，因此應將學校獎學金分為兩部分：一部分用于獎學金的發放；一部分用于投資。20萬元可分為兩部分，分別作為存款和投資資本。一方面銀行存款以20萬遞減的趨勢進行分析得出存款獎學金發放曲線，另一方面投資0萬元開始以遞

21、增趨勢進行分析得出投資獎學金發放曲線，兩者的步長值相等且均為0.1萬元，然后將存款獎學金曲線和投資獎學金曲線在同一圖中合并為一條曲線，即得出總的獎學金發放曲線，存款獎學金曲線和投資獎學金曲線的交點即為獎學金均衡點，此時，存款與投資的比例較為合適。六、教材143頁第3章習題3第5題（滿分10分）有一位老人60歲時將養老金10萬元以整存零取方式（指本金一次存入，分次支取本金的一種儲蓄）存入，從第一個月開始每月支取1000元，銀行每月初按月利率0.3%把上月結余額孳生的利息自動存入養老金. 請你計算老人多少歲時將把養老金用完？如果想用到80歲，問60歲時應存入多少錢？解：記養老金第k月末銀行帳戶余額

22、為元，則列式得：因為 r0，所以 由于月利率為.y=0.3%，月支取b=1000元和本金總額=100000元，必然滿足。所以單調衰減，而且衰減的越來越快，直到=0為止。=0即若養老金用到80歲，則由得所以，如果在60歲存入100000元，每月支取1000元，到120月即70歲恰好用完。如果每月支取1000元，用到80歲，則在60歲時存入170908元。七、教材302頁第7章習題7第1題（滿分10分）對于不允許缺貨的確定性靜態庫存模型，做靈敏度分析，討論參數、和r的微小變化對最優訂貨策略的影響.（1）考慮每次訂貨的固定費用p1發生的相對為p1/ p1,則最優訂貨周期T*發生的相對變化T*/T*是

23、p1/ p1的多少倍，即定義p1對T*的靈敏度為 因為p10，所以重新定義p1對T*的靈敏度為 由課本上可知 中對p1求導式和式代入得S（T*，p1）=0.5同理得S（Q*，p1）=0.5S（T*，p2）=0.5S（Q*，p2）=0.5S（T*，r）=0.5S（Q*，r）=0.5八、教材302頁第7章習題7第2題（滿分10分）習題7第2題. 某配件廠為裝配線生產若干種部件. 每次輪換生產不同的部件時，因更換設備要付生產準備費（與生產數量無關）. 同一部件的產量大于需求時，因積壓資金、占用倉庫要付庫存費. 今已知某一部件的日需求量100件，生產準備費5000元，庫存費每日每件1元. 如果生產能力遠大于需求，并且