1、1數形結合之美2你想知道嗎你想知道嗎? 國慶節前，為了更好觀看閱兵式，國慶節前，為了更好觀看閱兵式，小明媽媽買了一部小明媽媽買了一部42英寸英寸（106厘米厘米）的電視機的電視機.小明量了電視機的屏幕后，發小明量了電視機的屏幕后，發現屏幕只有現屏幕只有85厘米厘米長和長和64厘米厘米寬，他寬，他覺得一定是售貨員搞錯了。你同意他的覺得一定是售貨員搞錯了。你同意他的想法嗎？你能解釋這是為什么嗎？想法嗎？你能解釋這是為什么嗎？探索勾股定理3數學故事鏈接數學故事鏈接 相傳兩千五百年前，一次畢達哥拉斯去相傳兩千五百年前，一次畢達哥拉斯去朋友家作客，發現朋友家用磚鋪成的地面反朋友家作客，發現朋友家用磚鋪成

2、的地面反映直角三角形三邊的某種數量關系，同學們，映直角三角形三邊的某種數量關系，同學們，我們也來觀察下面的圖案，看看你能發現什我們也來觀察下面的圖案，看看你能發現什么？么？探索勾股定理探索勾股定理4數學家畢達哥拉斯的發現：數學家畢達哥拉斯的發現：A、B、C的面積有什么關系？的面積有什么關系？SA+SB=SCABC探索勾股定理5ABCABC A的面積的面積（單位面積）（單位面積） B的面積的面積（單位面積）（單位面積） C的面積的面積（單位面積）（單位面積）圖圖1-1圖圖1-291625163652探索勾股定理6ABCS SA A=a=a2 2S SB B=b=b2 2S SC C=c=c2 2

3、abca2+b2=c2設：直角三角形的三邊長分別是設：直角三角形的三邊長分別是a、b、c猜想猜想:兩直角邊兩直角邊a、b與斜邊與斜邊c 之間的關系？之間的關系？SA+SB=SC探索勾股定理7 如果直角三角形的兩條直角邊如果直角三角形的兩條直角邊長分別為長分別為a,ba,b，斜邊長為，斜邊長為c c，那么，那么c c2 2=a=a2 2+b+b2 2. .猜想猜想abc勾勾股股弦弦探索勾股定理8bacs2s1試一試試一試? 請利用此圖象，證明勾股定理：請利用此圖象，證明勾股定理： a2+b2=c2探索勾股定理9走進數學史10美國第二十任美國第二十任總統伽菲爾德總統伽菲爾德總統巧證勾股定理總統巧證

4、勾股定理aabbccADCBE返回11應用勾股定理ABC選一選選一選12應用勾股定理講一講講一講86ABC求圖中直角三角形的未知邊的長度。求圖中直角三角形的未知邊的長度。1517ABC13勾股定理，想得再多一點0 做一做做一做14勾股定理，想得再多一點 如圖，如圖，受臺風莫拉克影響，受臺風莫拉克影響，一棵樹在離地面一棵樹在離地面4 4米處斷裂，樹的頂部落在離樹跟底部米處斷裂，樹的頂部落在離樹跟底部3 3米處，這棵米處，這棵樹樹折斷前折斷前有多高？有多高？4米米3米米15勾股定理，想得再多一點 國慶節前，為了更好觀看閱兵式，小明國慶節前，為了更好觀看閱兵式，小明媽媽買了一部媽媽買了一部42英寸英

5、寸（106厘米厘米）的電視機）的電視機.小明量了電視機的屏幕后，發現屏幕只有小明量了電視機的屏幕后，發現屏幕只有85厘米厘米長和長和64厘米厘米寬，他覺得一定是售貨員寬，他覺得一定是售貨員搞錯了。你同意他的想法嗎？你能解釋這是搞錯了。你同意他的想法嗎？你能解釋這是為什么嗎？為什么嗎？回頭再看看回頭再看看16內容總結：內容總結：（1）運用勾股定理的條件是什么？）運用勾股定理的條件是什么？（2）勾股定理揭示了直角三角形的什么關系？）勾股定理揭示了直角三角形的什么關系？（3）勾股定理有什么用途？）勾股定理有什么用途？方法總結：方法總結：用直角三角形三邊表示三個正方形面積用直角三角形三邊表示三個正方形

6、面積觀察歸觀察歸納發現勾股定理納發現勾股定理任意畫一個直角三角形，再驗任意畫一個直角三角形，再驗證自己的發現。證自己的發現。17家庭作業：家庭作業：課本課本P55 習題習題2 補充：補充： 1、求下列直角三角形中未知邊的長、求下列直角三角形中未知邊的長: 補充：補充： 1、求下列直角三角形中未知邊的長、求下列直角三角形中未知邊的長: 2 2、如圖所示，一棵大樹在一次強烈臺風中于離地面、如圖所示，一棵大樹在一次強烈臺風中于離地面10米處折斷倒下，米處折斷倒下， 樹頂落在離樹根樹頂落在離樹根24米處米處.大樹在折斷之前高多少？大樹在折斷之前高多少？ 勾股定理的由來這個定理在中國又稱為這個定理在中國

7、又稱為“商高定理商高定理”，在外國稱為，在外國稱為“畢達哥拉畢達哥拉斯定理斯定理”。為什么一個定理有這么多名稱呢？商高是公元前十一世。為什么一個定理有這么多名稱呢？商高是公元前十一世紀的中國人。當時中國的朝代是西周，是奴隸社會時期。紀的中國人。當時中國的朝代是西周，是奴隸社會時期。 在中國古代大約是戰國時期西漢的數學著作在中國古代大約是戰國時期西漢的數學著作周髀算經周髀算經中記中記錄著商高同周公的一段對話。商高說：錄著商高同周公的一段對話。商高說：“故折矩，故折矩，勾廣三，股修勾廣三，股修四，經隅五四，經隅五。“什么是什么是”勾、股勾、股“呢？在中國古代，人們把彎曲成呢？在中國古代，人們把彎曲

8、成直角的手臂的上半部分稱為直角的手臂的上半部分稱為“勾勾”，下半部分稱為，下半部分稱為“股股”。商高那。商高那段話的意思就是說：當直角三角形的兩條直角邊分別為段話的意思就是說：當直角三角形的兩條直角邊分別為3 3（短邊）（短邊）和和4 4（長邊）時，徑隅（就是弦）則為（長邊）時，徑隅（就是弦）則為5 5。以后人們就簡單地把這個。以后人們就簡單地把這個事實說成事實說成“勾三股四弦五勾三股四弦五”。由于勾股定理的內容最早見于商高。由于勾股定理的內容最早見于商高的話中，所以人們就把這個定理叫作的話中，所以人們就把這個定理叫作 商高定理商高定理 。畢達哥拉斯（畢達哥拉斯（PythagorasPytha

9、goras）是古希臘數學家，他是公元前五世）是古希臘數學家，他是公元前五世紀的人，紀的人，比商高晚出生五百多年比商高晚出生五百多年。希臘另一位數學家歐幾。希臘另一位數學家歐幾里德（里德（EuclidEuclid，是公元前三百年左右的人）在編著，是公元前三百年左右的人）在編著幾何原本幾何原本時，認為這個定理是畢達哥達斯最早發現的，所以他就把這個時，認為這個定理是畢達哥達斯最早發現的，所以他就把這個定理稱為定理稱為“畢達哥拉斯定理畢達哥拉斯定理”，以后就流傳開了，以后就流傳開了。（為了慶祝這一定理。（為了慶祝這一定理的發現，畢達哥拉斯學派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個定理又有人叫做的發現，畢達

10、哥拉斯學派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個定理又有人叫做“百牛定理百牛定理”）走進數學史勾股定理的證明方法證法一證法二證法三（鄒元治證明）（鄒元治證明）（趙爽證明）（趙爽證明） 趙爽趙爽:我國古代數學家我國古代數學家走進數學史勾股定理的證明方法證法四證法五證法六（加菲爾德證明）（加菲爾德證明） 加菲爾德加菲爾德:第二十任總統第二十任總統（梅文鼎證明）（梅文鼎證明） 梅文鼎梅文鼎:清代天文、數學家清代天文、數學家（項明達證明）（項明達證明） 項明達項明達:清代數學家清代數學家走進數學史勾股定理的證明勾股定理是幾何學中的明珠，所以它充滿魅力，千百年勾股定理是幾何學中的明珠，所以它充滿魅力，千百年

11、來，人們對它的證明趨之若騖，其中有著名的數學家，也有來，人們對它的證明趨之若騖，其中有著名的數學家，也有業余數學愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權貴，業余數學愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權貴，甚至有國家總統。也許是因為勾股定理既重要又簡單，更容甚至有國家總統。也許是因為勾股定理既重要又簡單，更容易吸引人，才使它成百次地反復被人炒作，反復被人論證。易吸引人，才使它成百次地反復被人炒作，反復被人論證。有資料表明，關于勾股定理的證明方法已有有資料表明，關于勾股定理的證明方法已有500500余種，僅我國余種，僅我國清末數學家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。清末數學家華蘅芳就提供了二十

12、多種精彩的證法。 在這數百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡潔，在這數百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡潔，有的因為證明者身份的特殊而非常著名。有的因為證明者身份的特殊而非常著名。 現在在網絡上看到較多的是現在在網絡上看到較多的是1616種種, ,包括前面的包括前面的6 6種種, ,還有還有: : 歐幾里得證明歐幾里得證明、 利用相似三角形性質證明利用相似三角形性質證明、 楊作玫證明楊作玫證明、 李銳證明李銳證明、 利用切割線定理證明利用切割線定理證明、 利用多列米定理證明利用多列米定理證明、 作直角三角形的內切圓證明作直角三角形的內切圓證明、利用反證法證明利用反證法證明、 辛卜松證

13、明辛卜松證明、 陳杰證明陳杰證明。走進數學史22應用勾股定理abc確定斜邊確定斜邊？acb確定斜邊確定斜邊？bca確定斜邊確定斜邊？23應用勾股定理abc? ? ?靈活運用靈活運用 24復習提問復習提問 1、任意三角形三邊滿足怎樣的關系？2、對于等腰三角形，三邊之間存在怎樣的特殊關系？等邊三角形呢？3、對于直角三角形，三邊之間存在怎樣的特殊關系？252002年在北京召開了第年在北京召開了第24屆國際數學家大屆國際數學家大會，它是最高水平的全球性數學科學學術會，它是最高水平的全球性數學科學學術會議，被譽為數學界的會議，被譽為數學界的“奧運會奧運會”，這就，這就是本屆大會會徽的圖案。是本屆大會會徽

14、的圖案。這個圖案就是我國漢代數這個圖案就是我國漢代數學家趙爽在證明勾股定理學家趙爽在證明勾股定理時用到的，被稱為時用到的，被稱為“趙爽趙爽弦圖弦圖”26相傳相傳2500年前，畢達哥拉斯有一次在朋友年前，畢達哥拉斯有一次在朋友家做客時，發現朋友家的用磚鋪成的地面家做客時，發現朋友家的用磚鋪成的地面中反映了直角三角形的某種數量關系。中反映了直角三角形的某種數量關系。CBA情景引入27探究活動分成四人小組，每個小組課前準備好4個全等的直角三角形和以直角三角形各邊為邊長的3個正方形（如右圖）. 運用這些材料（不一定全用），你能另外拼出一些正方形嗎？試試看，你能拼幾種. 28圖圖圖圖圖圖29復習提問復習

15、提問 1、任意三角形三邊滿足怎樣的關系？2、對于等腰三角形，三邊之間存在怎樣的特殊關系？等邊三角形呢？3、對于直角三角形，三邊之間存在怎樣的特殊關系？302002年在北京召開了第年在北京召開了第24屆國際數學家大屆國際數學家大會，它是最高水平的全球性數學科學學術會，它是最高水平的全球性數學科學學術會議，被譽為數學界的會議，被譽為數學界的“奧運會奧運會”，這就，這就是本屆大會會徽的圖案。是本屆大會會徽的圖案。這個圖案就是我國漢代數這個圖案就是我國漢代數學家趙爽在證明勾股定理學家趙爽在證明勾股定理時用到的，被稱為時用到的，被稱為“趙爽趙爽弦圖弦圖”31相傳相傳2500年前，畢達哥拉斯有一次在朋友年

16、前，畢達哥拉斯有一次在朋友家做客時，發現朋友家的用磚鋪成的地面家做客時，發現朋友家的用磚鋪成的地面中反映了直角三角形的某種數量關系。中反映了直角三角形的某種數量關系。CBA情景引入32ABCABC（圖中每個小方格代表一個單位面積）圖1圖2（1）觀察圖1 正方形A中含有 個小方格，即A的面積是 個單位面積。 正方形B的面積是 個單位面積。正方形C的面積是 個單位面積。99918你是怎樣得到C的面積的？與同伴交流交流。123（2）（）（3）探究活動一：33ABCABC（圖中每個小方格代表一個單位面積）圖1圖2cS正方形143 3182 分割成若干個直角邊為整數的三角形（單位面積） 返回34ABCA

17、BC（圖中每個小方格代表一個單位面積）圖1圖2cS正方形216218（單位面積）把C看成邊長為6的正方形面積的一半 返回35ABCABC（圖中每個小方格代表一個單位面積）圖 1圖 2（2）在圖2中，正方形A，B，C中各含有多少個小方格？它們的面積各是多少？（3）你能發現圖1中三個正方形A，B，C的面積之間有什么關系嗎？ SA+SB=SC 即：以等腰直角三角形以等腰直角三角形兩條直角邊上的正方形面積之和等于斜邊上的正方形的面積36探究活動二：（1）觀察右邊兩幅圖： （2）填表（每個小正方形的面積為單位1）：A的面積B的面積C的面積左圖右圖4 916 9？37（3）你是怎樣得到正方形C的面積的？與

18、同伴交流. 38“割”“補”“拼”39（4）分析填表數據，你發現了什么？ A的面積B的面積C的面積左圖4913右圖16925CBASSS40結論結論2 2 以直角三角形兩直角邊為以直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于以邊長的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長的正方形的面積斜邊為邊長的正方形的面積.41222cba議一議：（1）你能用直角三角形的兩直角邊的長a、b和斜邊長c來表示圖中正方形的面積嗎？（2）你能發現直角三角形三邊長度之間存在什么關系嗎？CBASSS42 勾股定理（gou-gu theorem)如果直角三角形兩直角邊分別為a、b,斜邊為c，那么222abc即 直角三角

19、形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。abc表示為：表示為：RtABC中，中，C=90 則則222cba43議一議：判斷下列說法是否正確,并說明理由： (1)在ABC中,若a=3,b=4,則c=5 (2)在RtABC中，如果a=3，b=4,則c=5. (3)在RtABC中，C=90 , 如果a=3，b=4,則c=5.44探究活動分成四人小組，每個小組課前準備好4個全等的直角三角形和以直角三角形各邊為邊長的3個正方形（如右圖）. 運用這些材料（不一定全用），你能另外拼出一些正方形嗎？試試看，你能拼幾種. 45圖圖圖圖圖圖46方法一：221）（baSS而abbaS214221abcS21422所以ab

20、cabba214214222即222cba，.因為，47方法二：2)baS （正2214cab，化簡得：222cba48方法三：2cS正2)(214abab，化簡得：222cba491.求下列圖中表示邊的未知數x、y、z的值.81144xyz62557614416950比一比看看誰算得快！2.求下列直角三角形中未知邊的長:可用勾股定理建立方程.方法小結:8x171620 x125x51CA.8 米 B.9 米 C.10米 D.14米、如圖,一個長8 米,寬6 米的草地,需在相對角的頂點間加一條小路,則小路的長為 ( ) 8m6m別踩我別踩我, ,我怕疼我怕疼! !52、湖的兩端有A、兩點，從與A方向成直角的BC方向上的點C測得CA=130米,CB=120米,則AB為 ( )ABCA.50米 B.120米 C.100米 D.130米130120?A53某樓房在20米高處的樓層失火，消防員取來25米長的云梯救火，已知梯子的底部離墻的距離是15米。問消防隊員能否進入該樓層滅火？ ? ?ABC1520? ?