1、第二節第二節 態疊加原理態疊加原理 (State Superposition Principle)(State Superposition Principle)一、態的概念及態的描述一、態的概念及態的描述微觀粒子具有波動性，會產生衍射圖樣。而干涉和衍微觀粒子具有波動性，會產生衍射圖樣。而干涉和衍射的本質在于射的本質在于波的疊加性波的疊加性，因此，同光學中波的疊加，因此，同光學中波的疊加原理一樣，原理一樣，量子力學中也存在波疊加原理量子力學中也存在波疊加原理。因為量子。因為量子力學中的波，即波函數決定體系的狀態，稱波函數為力學中的波，即波函數決定體系的狀態，稱波函數為狀態波函數，所以量子力學的波

2、疊加原理稱為狀態波函數，所以量子力學的波疊加原理稱為態疊加態疊加原理原理。經典波的干涉作用經典波的干涉作用：機械波（振動位移）機械波（振動位移） 電磁波（電磁場量）電磁波（電磁場量）某物理量的疊加某物理量的疊加疊加性是一切類型的波動的共有特征疊加性是一切類型的波動的共有特征二、態疊加原理二、態疊加原理，則其在空，則其在空若空間存在概率波若空間存在概率波tr,1tr,2和和間相遇時產生疊加，疊加態為間相遇時產生疊加，疊加態為trctrctr,2211c1、c2可為復常數或包含時間的變量可為復常數或包含時間的變量tr,也是空間可能存在的概率波也是空間可能存在的概率波描述微觀粒子運動狀態的概率波也具

3、有疊加性。描述微觀粒子運動狀態的概率波也具有疊加性。 如有兩相干波如有兩相干波y1和和y2，當其發生干涉時，當其發生干涉時，干涉態干涉態（疊加態疊加態）可表示為可表示為y1和和y2的線性疊加的線性疊加：y=y1+y2數學表示：數學表示：粒子雙縫衍射實驗粒子雙縫衍射實驗2122212當雙縫同時打開時，當雙縫同時打開時，粒子處于粒子處于 1和和 2的的疊加態疊加態 c1 1 c2 2通過通過單縫單縫1的粒子處于的粒子處于 1態態通過通過單縫單縫2的粒子處于的粒子處于 2態態BS D12P2|W雙縫同時打開時，電子出現在雙縫同時打開時，電子出現在P點的幾率密度為：點的幾率密度為：電子通過單縫電子通過

4、單縫1出現在出現在P點的幾率密度為：點的幾率密度為：2111|CW 說明出現干涉現象說明出現干涉現象)()(1*22*1212222111*22*1212*2221*12122112211CCCCCCCCCCCCWtrctrctr,2211相干項相干項2222| CW 電子通過單縫電子通過單縫2出現在出現在P點的幾率密度為：點的幾率密度為：含義：當粒子處于態含義：當粒子處于態 1和態和態 2的線性疊加態的線性疊加態 時，時， 粒子既處在態粒子既處在態 1，又處在態，又處在態 2一般情況下，當一般情況下，當tr,1tr,2和和是微觀體系可能是微觀體系可能存在的兩個狀態時，則它們的線性疊加存在的兩

5、個狀態時，則它們的線性疊加tr,也也概率波的疊加原理（態疊加原理）概率波的疊加原理（態疊加原理）也是體系可能存在的狀態也是體系可能存在的狀態態疊加原理的更一般表述：態疊加原理的更一般表述：當當1,2, 3,n是體系的可能態時，它們的線性疊是體系的可能態時，它們的線性疊加加也是體系的一個可能狀態。也是體系的一個可能狀態。或者或者當體系處于當體系處于1,2, 3,n的疊加態的疊加態時，體系既可時，體系既可能處于能處于1態，又可能處于態，又可能處于2, 3n態中，且處于態中，且處于各狀態的概率是確定的。各狀態的概率是確定的。數學形式為：數學形式為：nnnnnCCCCC332211量子力學的重要原理之

6、一量子力學的重要原理之一是是“波的疊加性波的疊加性”與與“波函數完波函數完全描述微觀體系的統計狀態全描述微觀體系的統計狀態”兩兩者的高度概括與綜合。者的高度概括與綜合。舉例：電子衍射實驗舉例：電子衍射實驗GU Ni晶體晶體電子槍電子槍9 ()3/21( , )(2)iP rEtPr te d P 電子從晶體表面出射后，既可能處在電子從晶體表面出射后，既可能處在 態，也態，也可能處在可能處在 、 等狀態，按態迭加原等狀態，按態迭加原理，在晶體表面反射后，電子的狀態理，在晶體表面反射后，電子的狀態 可表示成可表示成 取各種可能值的平面波的線性疊加，即取各種可能值的平面波的線性疊加，即 P(r,t)

7、 (, ),Pr t ( , )Pr t P 電子沿垂直方向射到電子沿垂直方向射到單晶表面，出射后將以各單晶表面，出射后將以各種不同的動量運動，出射種不同的動量運動，出射后的電子為自由電子，其后的電子為自由電子，其狀態波函數為平面波。狀態波函數為平面波。10 PP) t , r()P(C) t , r(PdtrPCtrP3),()(),( ,)33/21( )(2)iP r EtC P ed P33/21( , )(2)iP rC P t ed P考慮到電子的動量可以連續變化考慮到電子的動量可以連續變化,33/21( , )( , )(2)iP rC P tr t ed r而而 （2 2）（1

8、 1） 33/21( , )( , )(2)iPrr tC P t ed P即即 衍射圖樣正是這些平衍射圖樣正是這些平面波疊加干涉的結果面波疊加干涉的結果 顯然顯然, ,二式互為二式互為FourerFourer變換式變換式, ,所以所以 與與 一一一對應一對應, ,是同一量子態的兩種不同描述方式。是同一量子態的兩種不同描述方式。),( tr),(tPC11 ( , )( )( , )( )ppr tr drr tr dr dp 若若 歸一化，則歸一化，則 也是歸一化的也是歸一化的 , r t,C r t2| ( , ) |( , )( , )C p tdpCp t C p t dpProve:

9、Prove:( , )( ) ( , )PC p trr t dr ( , ) ( , )( )( )pPr tr trr dp drdr r r ),(tPC),(tr以坐標以坐標 為自變量的波函數，為自變量的波函數，坐標空間（坐標表象）波函坐標空間（坐標表象）波函數數r以動量以動量 為自變量的波函數，為自變量的波函數， 動量空間（動量表象）波函數動量空間（動量表象）波函數P二者描寫同一量子狀態二者描寫同一量子狀態 給出給出t t 時刻粒子動量時刻粒子動量 為為 的幾率的幾率 P2,C P t 給出給出t t 時刻粒子處在時刻粒子處在 位置位置 處的幾率處的幾率 r 2, r t12 ( ,

10、 ) ( , ) ()r tr trr drdr ( , ) ( , )1r tr t dr此顯示出把平面波歸一化為此顯示出把平面波歸一化為 函數的目的函數的目的一維情況下，一維情況下， 與與 的的FourerFourer變換變換關系：關系：( , )x t(, )xC P t1/21( , )( , )(2)iPxx tC P t edP1/21( , )( , )(2)iPxC P tx t edx 如果僅考慮某一給定時刻粒子的兩表象波函數的關如果僅考慮某一給定時刻粒子的兩表象波函數的關系，可取系，可取t t =0=0,33/21( )( )(2)iP rrC Ped P,33/21( )

11、( )(2)iP rC Pr ed r第三節第三節 薛定諤方程薛定諤方程(Schrodinger Equation)(Schrodinger Equation)微觀粒子在時刻微觀粒子在時刻t的狀態由波函數的狀態由波函數(r,t)來描述。來描述。問題？問題？當當t變化時，粒子運動狀態將怎樣隨之變化，變化時，粒子運動狀態將怎樣隨之變化，并隨時間變化其遵從怎樣的規律？并隨時間變化其遵從怎樣的規律？ 薛定諤方程薛定諤方程 Erwin Schrdinger 該方程必須是波函數應滿足的含有對時間微商的微分方程。該方程必須是波函數應滿足的含有對時間微商的微分方程。滿足一些物理條件：滿足一些物理條件：1）方程

12、應是一個線性方程：在方程中只能包含）方程應是一個線性方程：在方程中只能包含xtt,22等項，而不能包含等項，而不能包含,22x等項。當等項。當1和和2為為方程的解時，方程的解時，C1 1+C2 2也為方程的解；也為方程的解；一、薛定諤方程的物理條件：一、薛定諤方程的物理條件：2）方程應該具有粒子各種狀態都能得到滿足的普遍性質，方）方程應該具有粒子各種狀態都能得到滿足的普遍性質，方 程中各系數只能為程中各系數只能為普適恒量普適恒量（如（如h等）和表示粒子等）和表示粒子一般屬性一般屬性 的量的量（如質量等），不能包含只表征某特殊狀態的量（如（如質量等），不能包含只表征某特殊狀態的量（如 能量、動量

13、等）；能量、動量等）；3）波函數）波函數的變量為的變量為r和和t，方程是關于，方程是關于r 和和t的偏微分方程的偏微分方程，規定此微分方程不高于二階；規定此微分方程不高于二階；4）對于）對于自由粒子自由粒子，方程的解應是，方程的解應是平面波平面波；思路：自由粒子得出方程思路：自由粒子得出方程推廣推廣任意波函數滿足的方程任意波函數滿足的方程二、自由粒子的薛定諤方程二、自由粒子的薛定諤方程ppk 1),(EtrpiAetr一個能量為一個能量為E、動量為、動量為 ，即波矢為，即波矢為平面波函數：平面波函數：的自由粒子，的自由粒子，(1)對對t求求偏微商：偏微商： 2EiEiAetEtrPi不是所求方

14、程！不是所求方程！Eti將將(1)對坐標求二次偏微商：對坐標求二次偏微商：EtzPyPxPizyxAetzyx,(1)式改寫為：式改寫為：將將(3)(4)(5)式相加：式相加：222222222222ppppzyxzyxzkyjxi定義算符定義算符(劈形算符劈形算符)： 6222p則得：則得：ypiyzpiz 42222ypy 52222zpz同理：同理：xpix 32222xpx 722pE 自由粒子的能量：自由粒子的能量：為粒子質量為粒子質量 2Eit 6222p 722pE 自由粒子的薛定諤方程自由粒子的薛定諤方程222ti 2Eit 8tiE 6222p 9iippzkyjxi劈形算符

15、劈形算符tiE 10 ip設粒子在力場中的設粒子在力場中的勢能為勢能為U(r),則粒子能量與動量滿足：則粒子能量與動量滿足： 1122rUpE注意：注意：1 1）此方程不是從理論上推出，它的正確性來自實踐）此方程不是從理論上推出，它的正確性來自實踐。2 2）此方程只對）此方程只對 的粒子成立的粒子成立c將將(11)式兩邊同乘以波函數式兩邊同乘以波函數(r,t): rUpE22 rUti222薛定諤波動方程薛定諤波動方程tiE ipEtrpiAetr),(建立建立復數表示式復數表示式薛定諤方程薛定諤方程實數表示式實數表示式trkAcos薛定諤方程薛定諤方程也不是也不是 的解的解222ti結論結論

16、自由粒子的波函數必須用復數形式！自由粒子的波函數必須用復數形式！體系包含體系包含N(N1)個粒子個粒子,多粒子體系的薛定諤方程多粒子體系的薛定諤方程r1,r2,rn表示表示N個粒子的坐標，描述體系狀態的波函數為個粒子的坐標，描述體系狀態的波函數為i第第i個粒子的質量個粒子的質量pi第第i個粒子的動量個粒子的動量i ir ri ixyz0體系的能量體系的能量12,22112NNiiirrrUpE將將(12)兩邊同乘波函數兩邊同乘波函數Nrrr21,并用并用tiEiiip)(iiiizkyjxi代換：代換：UtiiNii2122多粒子體系的薛定諤波動方程多粒子體系的薛定諤波動方程NrrrU,21體

17、系勢能：在外場中的能量和粒子間相互作用能量體系勢能：在外場中的能量和粒子間相互作用能量第四節第四節 粒子流密度和粒子數守恒定律粒子流密度和粒子數守恒定律 (Particle Current Density &Conservation of Particle Number) rUti222反映波函數的時空變化規律反映波函數的時空變化規律tr,描述微觀粒子狀態的波函數描述微觀粒子狀態的波函數 trtrtr,2粒子在粒子在t時刻、空間某點時刻、空間某點r處出現的概率密度：處出現的概率密度：存在一個方程存在一個方程給出概率密度的時空變化規律給出概率密度的時空變化規律推斷推斷設描述粒子狀態的波函數為設描

18、述粒子狀態的波函數為tr,在時刻在時刻t在空間在空間r點周圍單位點周圍單位體積內粒子出現的幾率密度體積內粒子出現的幾率密度 trtrtr,2幾率密度隨時間的變化率幾率密度隨時間的變化率 1ttt由薛定諤方程可得：由薛定諤方程可得： rUiit122 rUiit122將上兩式代入將上兩式代入(1)中：中： rUti222薛定諤方程：薛定諤方程： 22222iit令令 32iJ(2)式寫為：式寫為： 40Jt將將(4)對空間任對空間任一體積一體積V積分：積分： 5VVVdJdtdt將將(5)式右方變為面積分：式右方變為面積分： 6dsJSdJdtSSnVSVds單位時間內體積單位時間內體積V中增加

19、的幾率中增加的幾率 在體積在體積V的邊界面的邊界面S上法向分量的面積分上法向分量的面積分J 6dsJSdJdtSSnVJ幾率流密度矢量幾率流密度矢量單位時間內流過單位時間內流過S面上單位面積的幾率面上單位面積的幾率nJSVds(6)式含義：單位時間內體積式含義：單位時間內體積V中增加的幾率，等于從體積中增加的幾率，等于從體積V 的邊界面的邊界面S流進流進V內的幾率。內的幾率。 40Jt粒子數守恒的微分形式粒子數守恒的微分形式 6dsJSdJdtSSnV粒子數守恒的積分形式粒子數守恒的積分形式表明：伴隨幾率分布隨時間的變化，有幾率在空間表明：伴隨幾率分布隨時間的變化，有幾率在空間 流動，一處幾率減小時，另一處幾率必然增流動，一處幾率減小時，另一處幾率必然增 加，總的幾率不變。幾率的流動是粒子運動加，總的幾率不變。幾率的流動是粒子運動 所引起的，幾率守恒的物理本質是物質守恒。所引起的，幾率守恒的物理本質是物質守恒。以粒子質量以粒子質量乘乘和和J處的質量密度時刻在點是在zyxttzyx,2為質量流密度2iJJ 70JtJ滿足的方程為和單位時間內體積單位時間內體積V內質量的改變，等于內質量的改變，等于穿過穿過V的邊界面的邊界面S流進或流出的質量。流進或流出的質量。量子力學