1、精析由遞推公式求通項的9種方法1. an+1 = an+f (n)型把原遞推公式轉化為an+ 1-a n=f(n),再利用累加法(逐差相加法)求解,即 an= a+ (& a)+ (a3 a2)+ + (an an i)=ai + f (1) +f (2) +f(3) + f (n-1).一，.11,例 1 已知數列an滿足 a1 = 2，an+1 = an + n2-n),求 an., 一,1111解 由條件，知 an+1 an= 7+ n = n_n一 = n h 1,則(a2a。+ (a3a2) + (a4一 a3) + + (an an 1)=11111112 + 23 + 3

2、 4 +十 n所以 an-a1=1-1. n1113 1因為 a1 = 2，所以 an = 2+1 _n = 2n.2. an+ 1 = f(n)an型把原遞推公式轉化為an + 1an 一f(n)再利用累乘法(逐商相乘法).下載可編輯求解，即由史=f(1)a3=f(2),L = f(n1),累乘可得更a1a2an1a1=f (1) f(2) «1).，、-2n ,例 2 已知數列an滿足 a1 = 3, an+1 = n - an,求 an.,nan+1解由 an+1= * a,倚 =n+1an,anan 1故 an= an-1an-2a2n-1一 a1 =xa1nn 2n- 1x

3、 x -x- =.即 an =一,2 3 3n.3n.3. an+ 1=pan+q(其中 p, q 均為常數，pq(p1)*0)型對于此類問題，通常采用換元法進行轉化， 假設將遞推公式改寫為an + 1+t=p(an+ t),比較系數可知t = 可令an+1+ t p 1=怖+ 1換元即可轉化為等比數列來解決.例 3 已知數列 an中，ai = 1, an+i=2an+3,求 an.解 設遞推公式 an+i = 2an+3可以轉化為 an+it = 2( a-t),即an+i=2a t,則t =3.故遞推公式為 an+i + 3=2( an+ 3).入i1bn + i an+1 + 3 -令

4、bn=an + 3,則 bi = ai+3=4,且-= 2.bnan+ 3所以bn是以bi =4為首項，2為公比的等比數列.所以 bn=4X2n_i = 2n+i,即 an=2n+i-3.4. an+ i=pan+qn(其中 p, q 均為常數，pq(pi)*0)型(1) 一般地，要先在遞推公式兩邊同除以qn+得膽= anq q q+ ,引入輔助數列bn其中bn=an ,得bn+i=P bn + 1 ,再用待qqq q定系數法解決；(2)也可以在原遞推公式兩邊同除以pn+:得筆= an + i qp p p p引入輔助數列bn其中bn=an ,得bn+i bn = qn,再利用疊 pp p加法

5、(逐差相加法)求解.例 4 已知數列an中，ai = |, an+i=；an+ 2 n+i,求 an.632解法一：在 an+i = ；an+ J 田兩邊乘以 2n+i,得 2n+i - a+i = 2(2n an) +1. 323n2令 bn= 2 - an,則 bn+i=3bn+1,根據待定系數法，得 bn+1 3 = «(bn 3).354所以數列bn3是以bi3=2X63= 3為首項，2， ，一，一以2為公比的等比數列.3一，4所以 bn 3 =-32*23 n，即 bn=3-2 3 n.曰bn足，an= 21=3 2-2 3n.法二：在 an+1 = ；an+3中兩邊乘以3

6、n+1,得3n+1an+1=3nan+ 2 n+1令 bn= 3n - an,則3bn+1 = bn+ 2-3所以 bn-bn 1= 2,bn 1 bn 2 =b2- b1= 3 2.將以上各式疊加,得 bn b1= 2 2+n- 1十又川目一十萬,所以bn= 1 十萬+2+ 2-1 十33-2 n+1J . 2=2 3 n+1-22 2即 bn=2 3n1-2.故 an=S=3 1 n 2 3 n. 3235. ani+1 = pan+ an+ b( p 中 1,這種類型一般利用待定系數法構造等比數列，即令an+1 +x(n+1)+y=p(an+xn+y),與已知遞推式比較，解出 x, y,

7、從 而轉化為an+ xn + y是公比為p的等比數列.例 5 設數列an滿足 a1 = 4, an= 3an 1+2n-1( n>2),求 an.解 設遞推公式可以轉化為 an + A葉B= 3 an 1 + A(n-1) + B,2A= 2,化簡后與原遞推式比較，得2B 3A= 1,解得A= 1,B= 1.令 bn= an + n + 1.(*)則 bn= 3bn 1,又 b1=6,故 bn=6 , n 1 = 2-3 , 代入(*)式，得 an = 2 3 n-n-1.6. an+ 1=pan(p>0, an>0)型這種類型一般是等式兩邊取對數后轉化為an+1=pa1 +

8、 q型數列，再利用待定系數法求解.12例6 已知數列an中，日=1, an+1=- an(a>0),求數列an的通項公式.a1 ,12,，解 對an+1 = a . an的兩邊取對數，得 lg an+1 = 2lg an+ lg -. =-a令 bn= lg an,則 bn+1=2bn+lg ".a由此得 bn+1+lg =2 bn+ lg - ,記 Cn=bn+lg ，則 Cn+1=2Cn, aaa所以數列Cn是以C1 = b1 + lg1=lg1為首項，2為公比的等比數列. a a所以 Cn=2n 1 - lg J. a所以 bn=Cn- lg a= 2nTlg1 lga

9、a=lg a - 1 2n1 =lga12n, a即 lg an= lg a1 2n, 所以 an = a"2n.Aa7. an+1 = -一7(A, B, C為常數)型 Ba-|- C對于此類遞推數列，可通過兩邊同時取倒數的方法得出關系 式n=1,2,3 ,，求an的通項公式.例7已知數列an的首項a1=3, an+1 = Ja=,52an + 1121=二十 - , an+133an3an斛1 an+1=12an 十 I1_1 1 1an + 13 an1 2又. 1 = 4, ai3 i-i是以3為首項,ia為公比的等比數列, 31_2an 3n3 an=3n+2.8. an 1anf (n)型由原遞推關系改寫成an 2anf(n 1) f(n工然后再按奇偶分類討論即可例8.已知數列an 中，a11, an 1an2n.求 an解析:an 1an 2n.anan 2 an 1即數列an是奇數項和偶數項都是公差為2的等差數列,n, n為奇