1、1 DFT基礎知識1.1離散傅立葉變換（DFT）定義 在實際應用中，經常遇到的是有現場的非周期序列，需要知道的是如何獲取有限長序列的離散頻譜。事實上，完全可以借助離散傅里葉級數，來研究有限長序列頻譜的離散化。 可以設x(n)是一個長度為M的有限長序列，則定義x(n)的N點離散傅里葉變換為：正變換：=DFT = = 反變換：=IDFT= 或RN(k)RN(k)x(n)= RN(n) =RN(n)式中，N稱為DFT變換區間長度，NM。DFT隱含有周期性。1.2復共軛序列的DFT設是的復共軛序列，長度為N，則（1）已知DFT則 DFT= 且（2）已知DFT則 DFT= 1.3 DFT的共軛對稱性DF

2、T有對稱性，但由于DFT中討論的序列及其離散傅立葉變換均為有限長序列，且定義區間為0到N-1，所以這里的對稱性是指關于N/2點的對稱性。下面討論DFT的共軛對稱性質。 有限長共軛對稱序列和共軛反對稱序列長度為的有限長序列,若滿足 , （1.1） 稱序列為共軛對稱序列，一般用來表示。若滿足 , （1.2）稱序列為共軛反對稱序列，一般用來表示即=, 0nN-1=, 0nN-1當N 為偶數時，把 代入式（1.1）與式（1.2），得 , （1.3）, （1.4） 式（1.3）與式（1.4）說明共軛對稱序列與其共軛序列以成偶對稱，共軛反對稱序列與其共軛序列以成奇對稱。當N為奇數時，把 代入式（1.1）與

3、式（1.2），得 , （1.6） , （1.6） 式（1.5）與式（1.6）說明共軛對稱序列與其共軛序列以成偶對稱，共軛反對稱序列與其共軛序列以成奇對稱。設一長度為的有限長序列，令則有 （1.7）這說明任一有限長序列，都表示成一個共軛對稱序列與共軛反對稱序列的和，在頻域下同樣有類似結論 （1.8）式中 （1.9） （1.10） 共軛對稱性分析（1）當x(n)為長度N的復數序列時,有 = = (1.11)同理可得 (1.12)即式（1.11）和（1.12）說明復數序列實數部分的離散傅立葉變換是原來序列離散傅立葉變換的共軛對稱分量；復書序列虛數部分的離散傅立葉變換是原來序列離散傅里葉變換的共軛反對

4、稱分量。另一方面，由式（1.7）知有限長序列可分解為共軛對稱分量與共軛反對稱分量，即=+ 可得其離散傅立葉變換 = （1.13）同理可得 = （1.14）即上面兩式說明復序列共軛對稱分量序列的離散傅立葉變換是原來序列離散傅立葉變換的實數部分；復序列共軛對稱分量的離散傅立葉變換是原來序列離散傅立葉變換的虛數部分。綜上可得到有限長復序列的DFT 的共軛對稱性質如下將有限長序列x(n)分成實部與虛部，即： 則：將有限長序列x(n)分成共軛對稱部分和共軛反對稱部分，即=+，則：（2）當x(n)為長度N的實數序列或純虛數序列時,有當x(n)為實序列時，則 又據)的對稱性：有當x(n)為純虛序列時，則 又

5、據)的對稱性：有 離散傅立葉變換的對稱性，在求實序列的離散傅立葉變換中有重要作用。例如，有兩個實數序列和，為求其離散傅立葉變換，可以分別用和作為虛部和實部構造一個復數序列x(n)，求出x(n)的離散傅立葉變換，然后根據式（1.9）和（1.10）得到的共軛對稱分量和，分別對應和，從而實現一次DFT的計算可得到兩個序列DFT的高效算法。而DFT可以通過一次快速FFT變換來實現。2程序設計與分析本次課設計分兩個部分，一個是要驗證N點的DFT的對稱性，另一個是要用一次快速傅立葉變換FFT實現兩個序列的DFT2.1 N點DFT對稱性的驗證程序流程圖由于函數ezplot只能畫出既存在Symbolic Ma

6、th Toolbox中又存在于總matlab工具箱中的函數，而gedc（實信號分解為循環偶分量和循環奇分量）和dft(計算離散付利葉變換)僅存在Symbolic Math Toolbox中，因此需要在自己的工作目錄work下創建。此后可以直接調用這些函數。N點的DFT的對稱性驗證流程圖如圖2-1所示開始求x序列的共軛對稱與反對稱分量畫出共軛對稱與反對稱分量圖形求出X(K)，Xep，Xop畫出real(X(K) ),imag(X(K) )，Xep，Xop的圖形Xep結束圖2-1 驗證對稱性流程圖輸入x序列n=0:N-1 程序編寫與結果分析首先在目錄work下創建gedc的M文件，gedc的M文件

7、是用來生成共軛對稱分量與共軛反對稱分量的，程序如下：function xec,xoc=gedc(x);N=length(x); n=0:(N-1); xec=0.5*(x + x(mod(-n,N)+1); xoc=0.5*(x - x(mod(-n,N)+1);再是在目錄work下創建dft的M文件，dft為離散傅立葉變換，程序如下：function Xk=dft(xn,N);n=0:1:N-1;k=0:1:N-1;WN=exp(-j*2*pi/N);nk=n'*k;WNnk=WN.nk;Xk=xn*WNnk;主程序：N=12，序列為x=2.5 0 1.6 -3 -2 2 1.6 -

8、3 -1 4 4.5 -2 的程序設計與結果分析程序：figure(1)n=0:11;x=input('請輸入序列x=');xep,xop=gedc(x);subplot(2,1,1);stem(n,xep);title('共軛對稱分量')xlabel('n');ylabel('xep');axis(-0.5,12.5,-3,4);subplot(2,1,2);stem(n,xop);title('共軛反對稱分量');xlabel('n');ylabel('xop');axis(-0

9、.5,12.5, -4,4);figure(2)X=dft(x,12) ;Xep=dft(xep,12);Xop=dft(xop,12);subplot(2,2,1);stem(n,real(X);axis(-0.5,12.5,-10,10);title(' real(X)');xlabel('k');subplot(2,2,2);stem(n,imag(X);axis(-0.5,12.5,-17,17);title(' imag(X)');xlabel('k');subplot(2,2,3);stem(n,Xep);axis(-

10、0.5,12.5, -10,10);title('DFTxep(n)');xlabel('k');subplot(2,2,4);stem(n,imag(Xop);axis(-0.5,12.5,-17,17);title('DFTxop(n)');xlabel('k');結果：圖2-2 共軛對稱分量與共軛反對稱分量圖2-3 對稱性的驗證圖形分析：從圖2-3可以看出復數序列實數部分的離散傅立葉變換是原來序列離散傅立葉變換的共軛對稱分量；復數序列虛數部分的離散傅立葉變換是原來序列離散傅立葉變換的共軛反對稱分量。復序列共軛對稱分量序列的離

11、散傅立葉變換是原來序列離散傅立葉變換的實數部分；復序列共軛反對稱分量的離散傅立葉變換是原來序列離散傅立葉變換的虛數部分。從而驗證了DFT的對稱性。2.2 用一次FFT實現兩個序列的DFT 程序流程圖一次快速傅立葉變換FFT實現兩個序列的DFT流程圖如圖2-4所示。開始輸入x=+j調用fft函數得到和結束圖2-4 一次FFT變換實現兩序列的DFT 程序編寫與結果分析程序： x1=input('請輸入序列x1=');x2=input('請輸入序列x2=');N=input('請輸入N=');x=x1+j*x2;X=fft(x,N);k=0:N-1;c

12、=conj(X);Xep=0.5*(X+ c(mod(-k,N)+1);Xop=-j*0.5*(X- c(mod(-k,N)+1);X1=XepX2=Xopsubplot(2,1,1);stem(k,X1);xlabel('k');ylabel('X1');axis(-0.5,7.5,-10,40);subplot(2,1,2);stem(k,X2);xlabel('k');ylabel('X2');axis(-0.5,7.5,-10,40);結果：當運行程序時，會出現提示，按提示輸入x1=1 3 5 2 4 6 3 5 2 6，

13、x2=1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1，N=10,程序運行結果如下：X1和X2分別為x1,x2的離散傅立葉變換，X1和X2的圖形如圖2-7所示圖2.5 X1，X2的離散傅立葉變換當直接調用DFT時，程序運行結果和上面的是相同的，從而實現了用一次FFT實現了兩個序列的DFT。 3 課程設計心得體會本次課程設計主要是運用本學期所學到的數字信號處理的基礎知識來設計一個符合要求的matlab程序來進行DFT對稱性的驗證以及應用，本次設計不僅要求我們要掌握數字信號處理課程的基礎知識，還要求我們對matlab編程有深刻的理解和掌握。用新的語言去解決工程問題根本不需要先掌握某一門語言，有效的

14、方法是先了解那門語言的一些基本函數，然后熟悉界面，就可以開始編了。拿到一個課題，不要急于坐在電腦前開始編程，因為當你坐在電腦前都不知道該干什么時，你就是對課題了解得不夠。你首先需要的是透徹分析課題，把你要解決的問題寫下來和列出各種可能情況。接下來，就考慮看用什么樣的算法去解決，等到這一切都定下來后就可以開始著手編程了，如果你不熟悉語言的話，過程中會碰到很多問題，例如，不知道用什么樣的函數去實現，這時你就可以根據實際情況去找資料，看幫助文件。等到程序完成后，調試是非常關鍵的一步，看到出錯沒有關系，利用debug去分析，相信一定可以找到問題的所在，然后逐個改正。經過這么一次以后，你會發現，你已經對本來不熟悉的語言已經有了很大的了解，而且可以解決實際問題，這樣你就不會覺得學語言很枯燥，而是覺得很有趣。相信經過多次反復，一定可以很快掌握一門語言的基本技巧。雖然我現在已經初步學會了如何設計符合要求的matlab程序，但是離真正能夠利用已學的知識自由設計matlab程序的還有很長的一段的距離。課設的這段時間我確實受益匪淺，不僅是因為它發生在特別的實踐，更重要的是我的專業知識又有了很大的進步，進步總是讓人快樂的。參考文獻1 劉泉等主編. 信號與系統. 高等教育出版社，2006年2 趙