1、高中數學數列及等差數列的概念一、考點突破知識點課標要求題型說明數列及等差數列的概念1. 了解數列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項公式）；2. 理解數列的通項公式和遞推公式；3. 能夠求簡單的數列的通項公式；4. 掌握等差數列的概念選擇題填空題數列和等差數列的概念是數列的基礎，注意數列是特殊的函數這一特征二、重難點提示重點：數列和等差數列的判斷。難點：求簡單的數列的通項公式。考點一：數列的概念（1）定義：按照一定次序排列的一列數稱為數列，數列中的每個數叫做這個數列的項，第項記做。 （2）通項公式：如果數列an的第n項an與序號n之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式叫做這個數列

2、的通項公式。【核心突破】 數列的通項公式實際上是一種定義域特殊的函數解析式，即。 并非所有的數列都能寫出它的通項公式。例如的不足近似值，按精確的程度可形成，它就沒有通項公式。 如果一個數列有通項公式，在形式上可以不止一個。換言之，一個數列的通項公式可以有多種形式。例如：數列的通項公式可以寫成，還可以寫成其中。 數列中的項必須是數，它可以是實數，也可以是復數（待以后學習）。 用符號an表示數列，只不過“借用”集合的符號，它們之間有本質的區別：a. 集合中的元素是互異的，而數列中的項可以是相同的。b. 集合中的元素是無序的，而數列中的項必須按一定順序排列，必須是有序的。（3）數列的分類 按照項數有

3、限還是無限來分：有窮數列和無窮數列. 按照項與項之間的大小關系來分：遞增數列、遞減數列、擺動數列、常數列。 按照任何一項的絕對值是否小于某一正數來分：有界數列和無界數列。（4）數列的表示法數列可以用解析式、列表或圖象來表示。（5）數列遞推公式數列的第項與它前面相鄰一項（或相鄰幾項）所滿足的關系式叫遞推公式。（6）數列的前n項和公式數列an的前項和與的關系可用一個公式表示，則這個公式叫做數列的前項和公式。 考點二：數列與函數的關系（1）數列與函數的關系：（2）數列的通項公式可用來代替。數列的一般形式為，簡記為an。（3）數列是一個特殊的函數，其圖象是一系列的點。考點三：等差數列的概念如果一個數列

4、從第二項起，每一項與它的前面相鄰的項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差。符號語言：若an中，（為常數），則an為等差數列。注意：等差數列的定義既是一種判定方法，也是一種性質。例題1（利用觀察法求數列的通項公式）寫出下列數列的一個通項公式。（1），；（2）1，；（3），3，；（4）9，99，999，9999，。思路分析：觀察歸納an與n的關系驗證結論得出答案。答案：（1）根據題意分析可知：分子為2的倍數，即為2n，分母比分子的平方小1，所以an。（2）該數列的各項符號是負正交替變化，而各項的絕對值為，所以an。（3）該數列的各項都可以寫成根式，即，所以an

5、。（4）因為91011，991021，9991031，9 9991041，所以an10n1。技巧點撥：1. 本題中探尋數列中的項與項數n之間的關系時應注意：（1）對于分式的分母分子應分別考慮，各個擊破；（2）正負項交替出現時要引入控制符號的因式（1）n。2. 此類問題主要靠觀察（觀察規律）、比較（比較已知數列）、歸納、轉化（轉化為特殊數列）、聯想（聯想常見的數列）等方法，將數列進行整體變形以便能呈現出與序號n相關且便于表達的關系，具體方法為：（1）分式中分子、分母的特征；（2）相鄰項的變化特征；（3）拆項后的特征；（4）各項的符號特征和絕對值特征。例題2（等差數列的證明）已知數列an滿足：a1

6、4，an4（n2），bn。求證數列bn是等差數列。思路分析：常數bn1bn常數數列bn是等差數列。答案：因為an4（n2），所以an122，所以（n1），故（n1），即bn1bn（nN*）。所以數列bn是等差數列。技巧點撥：本題中，對條件的轉化使用是個難點，應掌握對條件的恰當轉化。靈活設元求解等差數列已知四個數成等差數列，且四個數之和為26，第二個數與第三個數之積為40，求這個等差數列。思路分析：若設四個數分別為a，ad，a2d，a3d，列出方程組可以求解，但解方程時較麻煩，若對稱設四個數分別為a3d，ad，ad，a3d，則解方程時會很簡單。答案：設這四個數分別為a3d，ad，ad，a3d，由題設知解得 或所以這個數列為2，5，8，11或11，8，5，2。技巧點撥：1. 本題利用對稱設法設出數列中的四個數，由四數之和為定值，可直接求出未知量a，進一步可以很方