1、第3講 行程問題之比例行程例1一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的比依次是1 : 2 : 3，小明走各段路所用的時間的比依次為4 : 5 : 6，已知他上坡時的速度為每小時3千米，路程全長為10千米，問小明走完全程用 小時。解：已知他上坡時的速度為每小時3千米，路程全長為10千米，上坡的路程是千米， t=， 上坡的時間是小時。所以平路的路程是千米，下坡的路程是千米，時間的比依次為4 : 5 : 6，上坡的時間是小時， 所以走完全程的時間是=（小時）。例2甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發，相向而行，甲、乙的速度之比是4 : 3，二人相遇后繼續行進，甲到達B地和乙到達A地后都立即沿原路返

2、回，已知二人第二次相遇的地點距離第一次相遇的地點30千米，則A、B兩地相距多少千米？解：設AB兩地的距離是7x千米，則AC=4x，BC=3x，CD=30，從C點相遇后到第二次相遇于點D，甲走了2BC+CD，乙走了2ACCD，所以(23x+30) : (24x30)=4 : 3，解得x=15，所以AB之間的距離是157=105（千米）。例3小芳從家到學校有兩條一樣長的路，一條是平路，另一條是一半上坡路，一半下坡路，并且小芳上學走這兩條路所用時間一樣多，已知下坡速度為平路的1.6倍，那么上坡速度為平路的 倍。解：設路長為2S，且小芳在平路上的速度為v，則所用的時間是，下坡的速度為1.6v，路程為S

3、，所用的時間是，于是上坡的時間是=，上坡的速度為，上坡速度是平路的倍。例4甲、乙兩班進行越野行軍比賽，甲班以4千米/時的速度走了路程的一半，又以6千米/時的速度走完了另一半；乙班的比賽過程中，一半時間以4千米/時的速度行進，另一半時間以6千米/時的速度行進，問甲、乙兩班哪個班將獲勝？解：設行軍的路程為2S，則甲班用的時間是=，設乙班的平均速度為5千米/時，所用乙班用的時間是， ，所以乙班用的時間少，乙班將獲勝。例5王叔叔開車從北京到上海，從開始出發，車速即比原計劃的速度提高了，結果提前一個半小時到達；返回時，按原計劃的速度行駛了280千米后，將車速提高，于是提前1小時40分鐘到達北京。北京、上

4、海兩市間的距離是 千米。解：設北京到上海的距離為S千米，原計劃用的速度是v，原計劃所用的時間是（小時），=1.5， =15（小時），返程時先走了280千米，后來車速提高了，車速為，+=，所以15+=，解得v=84，所以S=1260（千米）。例6有甲、乙、丙三輛車，各以一定的速度從某地出發同向而行，乙比丙晚出發10分鐘，出發后40分鐘追上丙；甲比乙晚出發20分鐘，出發后1小時40分鐘追上丙，請問：甲出發多少分鐘才能追上乙？解：乙和丙比較，乙走40分鐘時，丙走了50分鐘，他們的速度比是5 : 4， 乙的速度是丙的速度的，甲和丙比較，甲走了100分鐘，丙走了130分鐘，他們的速度比是13 : 10，

5、甲的速度是丙的速度的，所以甲和乙的速度比是26 : 25，時間比為25 : 26，即甲用25分鐘的時間走的路等于乙用26分鐘時間走的路。甲比乙晚出發20分鐘，所以甲追上乙時用的時間是2520=500（分鐘）=8小時20分鐘。 例7甲從A地出發前往B地，乙、丙兩人從B地出發前往A地，甲行了50千米后，乙和丙才同時從B地出發，結果甲和乙相遇在C地，甲和丙相遇在D地，已知甲的速度是丙的3倍，甲的速度是乙的1.5倍，C、D兩地之間的距離是12千米，那么A、B兩地之間的距離是 千米。解：設甲走了50千米之后到達E地，已知甲的速度是丙的3倍，甲的速度是乙的1.5倍，所以ED=3DB，DB=EB；EC=1.

6、5CB，BC=EB，EBEB=12，所以EB=12，EB=80（千米）。所以AB=50+80=130（千米）。例8甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發相向而行，甲車每小時行40千米，乙車每小時行60千米，兩車分別到達B地和A地后，立即返回。返回時，甲車的速度增加二分之一，乙車的速度不變，已知兩車兩次相遇處的距離是50千米，則A、B兩地的距離是 千米。解：設AB兩地之間的距離為a，兩車第一次相遇的地點是C， 甲、乙的速度比是2 : 3，所以AC=a，BC=a，甲到達B點之時，乙已經又從A點出發到了D點，此時甲走了a千米，所以乙走了a千米，所以D點是AB的中點，甲的速度增加二分之一，提高到每小時60

7、千米，與乙一樣快，而他們現在一個人在B點，另一個人在D點，第二次相遇的地點是DB的中點E，EB=a，所以CE=a，a=50，a=（千米）。隨 堂 測 試1一條小船往返于甲、乙兩港之間，已知船在靜水中的速度是每小時9千米，平時順行與逆行所用時間的比是1 : 2，一天因為下暴雨，水流速度是原來的2倍，這條船往返共用10小時，甲、乙兩港之間相距 千米。解：設水流速度為v，順水速度為9+v，逆水速度為9v，9+v=2(9v)，解得v=3，下暴雨后水速為每小時6千米，此時順水速度為9+6=15，逆水速度為96=3，順水速度 : 逆水速度=5 : 1，所以順水用的時間為逆水用的時間之比為1 : 5，往返共

8、用了10小時，所以順水用的時間是小時，逆水用的時間是小時，所以甲、乙兩港之間相距15=25（千米）。2上午8點整，甲從A地出發勻速去B地，8點20分甲與從B地出發勻速去A地的乙相遇；相遇后甲將速度提高到原來的3倍，乙速度不變；8點30分，甲乙兩人同時到達各自的目的地，那么乙從B地出發時是8點 分。解：設甲、乙相遇于點C，則甲用了20分鐘走AC的路程，而乙用10分鐘走完AC路程，所以乙的速度是甲的速度的2倍，甲走BC用的時間是10分鐘，速度是原來的3倍，即如果是原來的速度需要30分鐘，所以BC : AC=3 : 2，乙走AC用10分鐘，所以乙走BC需要1023=15分鐘，所以乙從B地出發的時間是

9、8點5分。3每天小明上學都要經過一段平路AB，一段上坡路BC和一段下坡路CD。已知AB : BC : CD=1 : 2 : 1，并且小明在平路、上坡路、下坡路上的速度比為3 : 2 : 4，如果小明上學與放學所用的時間比是n : m（其中m與n是互質的自然數），那么m+n的值是 。解：上學時平路為a，上坡路為2a，下坡路為a，所用的時間是=，放學時平路為a，下坡路為2a，上坡路為a，所用的時間是=，所以n : m=19 : 16，所以m+n=35.4李明和王亮從同一條跑道的起點同時同向出發，李明說：“我以8米/秒的速度跑全程的，再以6米/秒的速度跑完余下的路程”。王亮說：“前的時間，我的速度是

10、8米/秒，余下的時間，我的速度是6米/秒”。結果李明比王亮晚到終點0.5秒，則跑道長 米。解：設跑道的長為S，則李明用的時間是，若王亮用的時間為t，則，t=，所以， S=208（米）。5從上海開車去南京，原計劃中午11 : 30到達，但出發后車速提高了，11點就到了，第二天返回時，同一時間從南京出發，按原速行駛了120千米后，再將車速提高，到達上海時恰好是11 : 10，上海、南京兩市間的路程是 千米。解：設上海、南京的距離是S，原計劃的車速是v，車速提高到原來的，所用的時間就成了原來的，即，t=4，所以，解得v=72，所以S=288（千米）。解2：從上海開車去南京，原計劃中午11 : 30到

11、達，設原計劃的速度為V，出發后車速提高了，實際車速為V，V : V=8 : 7，時間比是t : t=7 : 8，結果11點就到了，提前了30分鐘，這30分鐘是時間8份中的一份。所以原計劃用時為308=240分鐘。也就是7點30出發。第二天返回時，按原速行駛了120千米后，再將車速提高，實際車速為V，V : V=7 : 6，時間比是t : t=6 : 7，提前了20分鐘，這20分鐘是后半段行程中，所用時間的一份，即后半程用時207=140分鐘，前面的120千米，用時為240分鐘140分鐘=100分鐘，所以原速度為120100=1.2（千米/分鐘）。全程路長為2401.2=288（千米）。6甲、乙

12、兩車分別從A、B兩地同時出發，相向而行，出發時，甲、乙的速度之比是5 : 4，相遇后甲的速度減少20%，乙的速度增加20%，這樣當甲到達B地時，乙離A地還有10千米，那么AB兩地相距 。解：甲、乙的速度之比是5 : 4，設甲、乙在C地相遇，車速分別是5v，4v，則AC : BC=5 : 4，AC=5S，BC=4S，解得，所以S=50，AB=9S=450.7A、B、C三地依次分布在由西向東的同一條道路上，甲、乙、丙分別從A、B、C同時出發，甲、乙向東，丙向西，乙、丙在距離B地18千米處相遇，甲、丙在B地相遇，而當甲在C地追上乙時，丙已經走過B地32千米，那么A、C間的路程是 。解：設乙、丙在D地相遇，乙、丙相遇時，乙行18千米，丙行CD，到甲追上乙時，觀察乙、丙所走過的路程。乙行CD，丙行18+32=50千米，則18：CD=CD：50，CDCD=1850=3030，因此CD的長度是30千米；丙行50+30=80千米，甲行AC，丙行32千米，甲行BC，長30+18=48，則32 : 48=80 : AC，因此AC的長度是80=120千米故答案為：1208如圖，甲、乙分別從A、C兩地同時出發