1、精選優質文檔-傾情為你奉上實際問題與二元一次方程組題型歸納知識點一：列方程組解應用題的基本思想列方程組解應用題是把“未知”轉化為“已知”的重要方法，它的關鍵是把已知量和未知量聯系起來，找出題目中的相等關系. 一般來說，有幾個未知數就列出幾個方程，所列方程必須滿足：(1)方程兩邊表示的是同類量；(2)同類量的單位要統一；(3)方程兩邊的數值要相等.知識點二：列方程組解應用題中常用的基本等量關系1.行程問題：(1)追擊問題：追擊問題是行程問題中很重要的一種，它的特點是同向而行。這類問題比較直觀，畫線段,用圖便于理解與分析。其等量關系式是:兩者的行程差開始時兩者相距的路程；(2)相遇問題:相遇問題也

2、是行程問題中很重要的一種，它的特點是相向而行。這類問題也比較直觀，因而也畫線段圖幫助理解與分析。這類問題的等量關系是：雙方所走的路程之和總路程。(3)航行問題：船在靜水中的速度水速船的順水速度； 船在靜水中的速度水速船的逆水速度； 順水速度逆水速度2×水速。注意：飛機航行問題同樣會出現順風航行和逆風航行，解題方法與船順水航行、逆水航行問題類似。2工程問題：工作效率×工作時間=工作量.3商品銷售利潤問題：(1)利潤售價成本(進價)；(2)；(3)利潤成本（進價）×利潤率；標價成本(進價)×(1利潤率)；(5)實際售價標價×打折率；注意：“商品利潤

3、售價成本”中的右邊為正時，是盈利；為負時，就是虧損。打幾折就是按標價的十分之幾或百分之幾十銷售。（例如八折就是按標價的十分之八即五分之四或者百分之八十）4儲蓄問題：(1)基本概念 本金：顧客存入銀行的錢叫做本金。 利息：銀行付給顧客的酬金叫做利息。 本息和：本金與利息的和叫做本息和。 期數：存入銀行的時間叫做期數。 利率：每個期數內的利息與本金的比叫做利率。 利息稅：利息的稅款叫做利息稅。 (2)基本關系式 利息本金×利率×期數 本息和本金利息本金本金×利率×期數本金× (1利率×期數) 利息稅利息×利息稅率本金×

4、利率×期數×利息稅率。 稅后利息利息× (1利息稅率) 年利率月利率×12 。注意：免稅利息=利息 5配套問題：解這類問題的基本等量關系是：總量各部分之間的比例=每一套各部分之間的比例。6增長率問題：解這類問題的基本等量關系式是：原量×(1增長率)增長后的量；原量×(1減少率)減少后的量.7和差倍分問題：解這類問題的基本等量關系是：較大量較小量多余量，總量倍數×倍量.8數字問題：解決這類問題，首先要正確掌握自然數、奇數、偶數等有關概念、特征及其表示。如當n為整數時，奇數可表示為2n+1(或2n-1)，偶數可表示為2n等，有關

5、兩位數的基本等量關系式為：兩位數=十位數字10+個位數字9濃度問題：溶液質量×濃度=溶質質量.10幾何問題：解決這類問題的基本關系式有關幾何圖形的性質、周長、面積等計算公式11年齡問題：解決這類問題的關鍵是抓住兩人年齡的增長數是相等，兩人的年齡差是永遠不會變的12優化方案問題：在解決問題時，常常需合理安排。需要從幾種方案中，選擇最佳方案，如網絡的使用、到不同旅行社購票等，一般都要運用方程解答，得出最佳方案。注意：方案選擇題的題目較長，有時方案不止一種，閱讀時應抓住重點,比較幾種方案得出最佳方案。知識點三：列二元一次方程組解應用題的一般步驟利用二元一次方程組探究實際問題時，一般可分為以

6、下六個步驟：列二元一次方程組解應用題的一般步驟可概括為“審、找、列、解、答”五步，即：（1）審：通過審題，把實際問題抽象成數學問題，分析已知數和未知數，并用字母表示其中的兩個未知數；（2）找：找出能夠表示題意兩個相等關系；（3）列：根據這兩個相等關系列出必需的代數式，從而列出方程組；（4）解：解這個方程組，求出兩個未知數的值；（5）答：在對求出的方程的解做出是否合理判斷的基礎上，寫出答案.要點詮釋：(1)解實際應用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據應用題的實際意義，檢查求得 的結果是否合理，不符合題意的解應該舍去；(2)“設”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；(3)一般來說，設幾個未知數就應

7、該列出幾個方程并組成方程組. (4)列方程組解應用題應注意的問題 弄清各種題型中基本量之間的關系； 審題時，注意從文字，圖表中獲得有關信息； 注意用方程組解應用題的過程中單位的書寫，設未知數和寫答案都要帶單位，列 方程組與解方程組時，不要帶單位；正確書寫速度單位，避免與路程單位混淆； 在尋找等量關系時，應注意挖掘隱含的條件； 列方程組解應用題一定要注意檢驗。 分類練習：類型一：列二元一次方程組解決行程問題1甲、乙兩地相距160千米，一輛汽車和一輛拖拉機同時由甲、乙兩地相向而行，1小時20分相遇. 相遇后，拖拉機繼續前進，汽車在相遇處停留1小時后調轉車頭原速返回，在汽車再次出發半小時后追上了拖拉

8、機. 這時，汽車、拖拉機各自行駛了多少千米？【變式1】甲、乙兩人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小時，那么他們在乙出發2.5小時后相遇；如果乙比甲先走2小時，那么他們在甲出發3小時后相遇，甲、乙兩人每小時各走多少千米？ 【變式2】兩地相距280千米，一艘船在其間航行，順流用14小時，逆流用20小時，求船在靜水中的速度和水流速度。類型二：列二元一次方程組解決工程問題2一家商店要進行裝修，若請甲、乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成，需付兩組費用共3520元；若先請甲組單獨做6天，再請乙組單獨做12天可完成，需付兩組費用共3480元，問：(1)甲、乙兩組工作一天，商店應各付多少元？(2)已知

9、甲組單獨做需12天完成，乙組單獨做需24天完成，單獨請哪組，商店所付費用最少？ 【變式】小明家準備裝修一套新住房，若甲、乙兩個裝飾公司合作6周完成需工錢5.2萬元；若甲公司單獨做4周后，剩下的由乙公司來做，還需9周完成，需工錢4.8萬元.若只選一個公司單獨完成，從節約開支的角度考慮，小明家應選甲公司還是乙公司？請你說明理由. 類型三：列二元一次方程組解決商品銷售利潤問題3有甲、乙兩件商品，甲商品的利潤率為5%,乙商品的利潤率為4%,共可獲利46元。價格調整后，甲商品的利潤率為4%，乙商品的利潤率為5%，共可獲利44元，則兩件商品的進價分別是多少元？ 【變式1】（2011湖南衡陽）李大叔去年承包

10、了10畝地種植甲、乙兩種蔬菜，共獲利18000元，其中甲種蔬菜每畝獲利2000元，乙種蔬菜每畝獲利1500元，李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了多少畝？ 【變式2】某商場用36萬元購進A、B兩種商品，銷售完后共獲利6萬元，其進價和售價如下表：AB進價（元/件）12001000售價（元/件）13801200（注：獲利 = 售價 進價）求該商場購進A、B兩種商品各多少件；類型四：列二元一次方程組解決銀行儲蓄問題4小明的媽媽為了準備小明一年后上高中的費用，現在以兩種方式在銀行共存了2000元錢，一種是年利率為2.25的教育儲蓄，另一種是年利率為2.25的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，問這

11、兩種儲蓄各存了多少錢？（利息所得稅利息金額×20%，教育儲蓄沒有利息所得稅）【變式1】李明以兩種形式分別儲蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得稅可得利息43.92元.已知兩種儲蓄年利率的和為3.24%，問這兩種儲蓄的年利率各是百分之幾？（注：公民應繳利息所得稅=利息金額×20%） 【變式2】小敏的爸爸為了給她籌備上高中的費用，在銀行同時用兩種方式共存了4000元錢.第一種，一年期整存整取，共反復存了3次，每次存款數都相同，這種存款銀行利率為年息2.25%；第二種，三年期整存整取，這種存款銀行年利率為2.70%.三年后同時取出共得利息303.75元(不計利

12、息稅)，問小敏的爸爸兩種存款各存入了多少元？類型五：列二元一次方程組解決生產中的配套問題5某服裝廠生產一批某種款式的秋裝，已知每2米的某種布料可做上衣的衣身3個或衣袖5只. 現計劃用132米這種布料生產這批秋裝(不考慮布料的損耗)，應分別用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？ 【變式1】現有190張鐵皮做盒子，每張鐵皮做8個盒身或22個盒底，一個盒身與兩個盒底配成一個完整盒子，問用多少張鐵皮制盒身，多少張鐵皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？ 【變式2】某工廠有工人60人，生產某種由一個螺栓套兩個螺母的配套產品，每人每天生產螺栓14個或螺母20個，應分配多少人生產螺栓，多少人生產螺母，才能

13、使生產出的螺栓和螺母剛好配套。 【變式3】一張方桌由1個桌面、4條桌腿組成，如果1立方米木料可以做桌面50個，或做桌腿300條。現有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少張方桌？類型六：列二元一次方程組解決增長率問題6. 某工廠去年的利潤（總產值總支出）為200萬元，今年總產值比去年增加了20%，總支出比去年減少了10%，今年的利潤為780萬元，去年的總產值、總支出各是多少萬元？ 【變式1】若條件不變，求今年的總產值、總支出各是多少萬元？【變式2】某城市現有人口42萬，估計一年后城鎮人口增加0.8%，農村人口增加1.1%，這

14、樣全市人口增加1%，求這個城市的城鎮人口與農村人口。類型七：列二元一次方程組解決和差倍分問題7.（2011年北京豐臺區中考一摸試題）“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠原計劃每周生產帳篷共9千頂，現某地震災區急需帳篷14千頂，兩廠決定在一周內趕制出這批帳篷為此，全體職工加班加點，“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠一周內制作的帳篷數分別達到了原來的1.6倍、1.5倍，恰好按時完成了這項任務求在趕制帳篷的一周內，“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠各生產帳篷多少千頂？ 【變式1】 (2011年北京門頭溝區中考一模試題) “地球一小時”是世界自然基金會在2007年提出的一項倡議號召個人、社區、企業和政府在每年3月最

15、后一個星期六20時30分21時30分熄燈一小時，旨在通過一個人人可為的活動，讓全球民眾共同攜手關注氣候變化，倡導低碳生活中國內地去年和今年共有119個城市參加了此項活動，且今年參加活動的城市個數比去年的3倍少13個，問中國內地去年、今年分別有多少個城市參加了此項活動 【變式2】 游泳池中有一群小朋友，男孩戴藍色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽。如果每位男孩看到藍色與紅色的游泳帽一樣多，而每位女孩看到藍色的游泳帽比紅色的多1倍，你知道男孩與女孩各有多少人嗎？ 類型八：列二元一次方程組解決數字問題8. 兩個兩位數的和是68，在較大的兩位數的右邊接著寫較小的兩位數，得到一個四位數；在較大的兩位數的左邊寫上較

16、小的兩位數，也得到一個四位數，已知前一個四位數比后一個四位數大2178，求這兩個兩位數。【變式1】一個兩位數，減去它的各位數字之和的3倍，結果是23；這個兩位數除以它的各位數字之和，商是5，余數是1，這個兩位數是多少？【變式2】一個兩位數，十位上的數字比個位上的數字大5，如果把十位上的數字與個位上的數字交換位置，那么得到的新兩位數比原來的兩位數的一半還少9，求這個兩位數？【變式3】某三位數，中間數字為0，其余兩個數位上數字之和是9，如果百位數字減1，個位數字加1，則所得新三位數正好是原三位數各位數字的倒序排列，求原三位數。類型九：列二元一次方程組解決濃度問題9現有兩種酒精溶液，甲種酒精溶液的酒

17、精與水的比是37，乙種酒精溶液的酒精與水的比是41，今要得到酒精與水的比為32的酒精溶液50kg，問甲、乙兩種酒精溶液應各取多少？ 【變式1】要配濃度是45%的鹽水12千克，現有10%的鹽水與85%的鹽水，這兩種鹽水各需多少？【變式2】一種35%的新農藥，如稀釋到1.75%時，治蟲最有效。用多少千克濃度為35%的農藥加水多少千克，才能配成1.75%的農藥800千克？類型十：列二元一次方程組解決幾何問題10如圖，用8塊相同的長方形地磚拼成一個長方形，每塊長方形地磚的長和寬分別是多少？ 【變式1】用長48厘米的鐵絲彎成一個矩形，若將此矩形的長邊剪掉3厘米，補到較短邊上去，則得到一個正方形，求正方形

18、的面積比矩形面積大多少？【變式2】一塊矩形草坪的長比寬的2倍多10m，它的周長是132m，則長和寬分別為多少？類型十一：列二元一次方程組解決年齡問題11今年父親的年齡是兒子的5倍，6年后父親的年齡是兒子的3倍，求現在父親和兒子的年齡各是多少？ 【變式1】今年，小李的年齡是他爺爺的五分之一.小李發現，12年之后，他的年齡變成爺爺的三分之一.試求出今年小李的年齡.類型十二：列二元一次方程組解決優化方案問題： 12某地生產一種綠色蔬菜，若在市場上直接銷售，每噸利潤為1000元；經粗加工后銷售，每噸利潤可達4500元；經精加工后銷售，每噸利潤漲至7500元. 當地一家農工商公司收獲這種蔬菜140噸，該公司加工廠的生產能力是：如果對蔬菜進行粗加工，每天可以