1、點差法拋物線中點弦問題中的妙用定理 在拋物線中，若直線與拋物線相交于M、N兩點，點是弦MN的中點，弦MN所在的直線的斜率為，則.證明：設(shè)M、N兩點的坐標(biāo)分別為、，則有，得又.注意：能用這個公式的條件：（1）直線與拋物線有兩個不同的交點；（2）直線的斜率存在.同理可證，在拋物線中，若直線與拋物線相交于M、N兩點，點是弦MN的中點，弦MN所在的直線的斜率為，則.注意：能用這個公式的條件：（1）直線與拋物線有兩個不同的交點；（2）直線的斜率存在，且不等于零.典題妙解例1 拋物線的過焦點的弦的中點的軌跡方程是（ ） A. B. C. D. 解：，焦點在軸上. 設(shè)弦的中點M的坐標(biāo)為.由得：，整理得：.所

2、求的軌跡方程為.故選B.例2 拋物線上一組斜率為2的平行弦中點的軌跡方程是（ ） A. （） B. （） C. （） D. 解：由得，焦點在軸上. 設(shè)平行弦的中點M的坐標(biāo)為.由得：，.在中，當(dāng)時，.點M的軌跡方程為（）.故答案選A.例3 （03上海）直線被拋物線截得的線段的中點坐標(biāo)是_.解：，焦點在軸上. 設(shè)弦MN的中點P的坐標(biāo)為，弦MN所在的直線的斜率為，則由得：，從而.所求的中點坐標(biāo)是.例4 拋物線的頂點在原點，焦點在軸上，它和直線相交，所得的弦的中點在 上，求拋物線的方程.解：設(shè)拋物線的方程為，直線與拋物線的兩個交點為M、N，弦MN的中點P的坐標(biāo)為.由得：，又點在圓上，解之得：或由得：直

3、線與拋物線有兩個不同的交點，0.m，或m0.故所求的拋物線方程為例5.已知拋物線上永遠(yuǎn)有關(guān)于直線對稱的相異兩點，求實數(shù)的取值范圍.解：設(shè)拋物線上A、B兩點關(guān)于直線對稱，且弦AB的中點為.O xyABP根據(jù)題意，點P在直線上，.又，.由，得：，.又由，得：.點在拋物線的開口內(nèi)，.解之得：.故實數(shù)的取值范圍.例6. （05全國文22）設(shè)兩點在拋物線上，是AB的垂直平分線.（）當(dāng)且僅當(dāng)取何值時，直線經(jīng)過拋物線的焦點F？證明你的結(jié)論.（）當(dāng)時，求直線的方程.解：（），.設(shè)線段AB的中點為，直線的斜率為，則.若直線的斜率不存在，當(dāng)且僅當(dāng)時，AB的垂直平分線為軸，經(jīng)過拋物線的焦點F.若直線的斜率存在，則其

4、方程為，.由得：，.若直線經(jīng)過焦點F，則得：，與相矛盾.當(dāng)直線的斜率存在時，它不可能經(jīng)過拋物線的焦點F.綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)時，直線經(jīng)過拋物線的焦點F.（）當(dāng)時，由得：.所求的直線的方程為，即金指點睛1. 已知直線與拋物線交于A、B兩點，那么線段AB的中點坐標(biāo)是_.2. 直線與拋物線交于不同的兩點P、Q，若PQ中點的橫坐標(biāo)是2，則=_.3. 已知拋物線C的頂點在原點，焦點在軸的正半軸上，直線被拋物線C所截得的弦AB的中點M的縱坐標(biāo)為，則拋物線C的方程為_.4. 設(shè)為拋物線的弦，如果這條弦的垂直平分線的方程為，求弦所在的直線方程.5. 過點作拋物線的弦AB，若弦AB恰被Q平分，則AB所在的直線方程

5、為_.6. 已知拋物線上有不同的兩點A、B關(guān)于直線對稱，求實數(shù)的取值范圍.7. （05全國理21）設(shè)兩點在拋物線上，是AB的垂直平分線.（）當(dāng)且僅當(dāng)取何值時，直線經(jīng)過拋物線的焦點F？證明你的結(jié)論.（）當(dāng)直線的斜率為2時，求在y軸上的截距的取值范圍.8. (08陜西文理20) 已知拋物線，直線交C于A、B兩點，M是線段AB的中點，過M作x軸的垂線交C于點N.（）證明：拋物線C在點N處的切線與AB平行；（）是否存在實數(shù)使，若存在，求的值；若不存在，請說明理由.參考答案1. 解：，. 直線的斜率為1.由得：.代入求得.線段AB的中點坐標(biāo)是.2. 解：，. 在中，時，若PQ中點的縱坐標(biāo)是.由得：，即.

6、解之得：或.由得：.直線與拋物線交于不同的兩點，解之得：且.由得：. 即.設(shè)，則.3. 解：，. 由得：. AB所在的直線方程為，即.4. 解：設(shè)拋物線的方程為（m0）. 在中，斜率為，時，. 弦AB的中點M的坐標(biāo)為.由得：，.所求的拋物線的方程為.5. 解：，. 弦所在直線的斜率為1. 設(shè)弦的中點坐標(biāo)為.由得：.弦的中點也在直線上，.弦的中點坐標(biāo)為.弦所在的直線方程為，即.6. 解：設(shè)弦AB的中點為.根據(jù)題意，.又，.由，得：，.又由，得：.點在拋物線的開口內(nèi)，.解之得：. 故實數(shù)的取值范圍.7. 解：（），.設(shè)線段AB的中點為，直線的斜率為，則.若直線的斜率不存在，當(dāng)且僅當(dāng)時，AB的垂直平分線為軸，經(jīng)過拋物線的焦點F.若直線的斜率存在，則其方程為，.由得：，.若直線經(jīng)過焦點F，則得：，與相矛盾.當(dāng)直線的斜率存在時，它不可能經(jīng)過拋物線的焦點F.綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)時，直線經(jīng)過拋物線的焦點F.（）當(dāng)時，由（）知，直線的方程為，它在y軸上的截距，.直線AB的方程為，即.代入并整理得：.直線AB與拋物線有兩個不同交點，0，即0.yO xMBNA故在y軸上的截距的取值范圍是.8.（）證明：，設(shè)點M的坐標(biāo)為. 當(dāng)時，點M在y軸上，點N與原點O重合，拋物線C在點N處的切線為x軸，與AB平行.當(dāng)時，由得：. 得點N的坐標(biāo)為.設(shè)拋物線C在點N處的切線方