1、SCH南極數學人教 A版選修2-2第一單元導數及其應用同步教學設計1.1變化率與導數(教學設計)(3)1. 1. 3導數的幾何意義教學目標：知識與技能目標：通過實驗探究，理解導數的幾何意義，體會導數在刻畫函數性質中的作用。過程與方法目標：培養學生分析、抽象、概括等思維能力；通過“以直代曲”思想的具體運用，使學生達到思維方式的 遷移，培養學生科學的思維習慣。情感、態度與價值觀目標：滲透逼近和“以直代曲”思想，能激發學生的學習興趣，培養學生不斷發展、探索知識的精神，引導 學生從有限中認識無限，體會量變和質變的辯證關系，感受數學思想方法的魅力。教學重點：曲線的切線的概念、切線的斜率、導數的幾何意義；

2、教學難點：導數的幾何意義.教學過程：一、復習回顧：導數的概念：從函數y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率是f(Xo LX) - f(Xo)X我們稱它為函數 y = f(x)在X = X0出的導數，記作_ '、'LIf (Xo)或 y Ixr，即f d)=l1m0f(Xo . ：X) - f (Xo)X10說明：(1)導數即為函數 y=f(X)在x=xo處的瞬時變化率(2) Ax =x-x0,當 Axt 0 時,xt x0,所以 f '(x0)=蚣f(x)- f(Xo)x - Xo二創設情景，新課引入：(一)平均變化率、割線的斜率(二)瞬時速度、導數我們知道，導數表示函數

3、y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率，反映了函數y=f(x)在x=x0附近的變化情況, 導數f (X0)的幾何意義是什么呢?三.師生互動，新課講解：(一)曲線的切線及切線的斜率：如圖3.1-2,當Pn(Xn，f(Xn)(n=1,2,3,4)沿著曲線f(x)趨近于點P(% , f (%)時，割線PR的變化趨 勢是什么？圖 3.1-2我們發現，當點R沿著曲線無pM接近點 P即A x- 0時，割線PR趨近于確定的位置， 這個確定位置的直線 PT稱為曲線在點P處的切線.問題：割線 PR的斜率kn與切線PT的斜率k有什么關系？切線PT的斜率k為多少？f(x) f(x) _容易知道，割線PPn的斜率是kn

4、=土絲，當點R沿著曲線無p接近點 P時，kn無限趨近于切線,f (x0：x) - f (x0)PT 的斜率 k ,即 k =幽一0一/二f (x0)說明：(1)設切線的傾斜角為那么當Ax-0時，割線PQ的斜率，稱為曲線在點P處的切線的斜率.這個概念：提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法；切線斜率的本質 一函數在x=x0處的導數.(2)曲線在某點處的切線：1)與該點的位置有關；2)要根據割線是否有極限位置來判斷與求解.如有極限，則在此點有切線，且切線是唯一的；如不存在，則在此點處無切線；3)曲線的切線，并不一定與曲線只有一個交點，可以有多個，甚至可以無窮多個.(二)導數的幾何意義：函數y=f(

5、x)在x=x0處的導數等于在該點(x0 , f (x0)處的切線的斜率，f (x0：x) - f (xO)漢說明：求曲線在某點處的切線方程的基本步驟 求出P點的坐標;求出函數在點x0處的變化率fHo)：鳴f(x0+R)_f(x0)=k，得到曲線在點(%,f(%)的切線的斜率；利用點斜式求切線方程.(二)導函數：由函數f(x)在x=xo處求導數的過程可以看到，當時，f '(%)是一個確定的數，那么，當x變化時，便是x 的一個函數，我們叫它為f(x)的導函數.記作：f'(x)或y',即:f (x) = y =曬f (x x) T (x)Lx注：在不致發生混淆時，導函數也簡稱

6、導數.(三)函數f (x)在點x0處的導數f (%)、導函數f'(x)、導數之間的區別與聯系。1)函數在一點處的導數 f'(x0),就是在該點的函數的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個常 數，不是變數。2)函數的導數，是指某一區間內任意點x而言的，就是函數f(x)的導函數一 _. . _ I . . . . .3)函數f (x)在點x0處的導數f (x0)就是導函數f (x)在x = x0處的函數值，這也是 求函數在點x0處的 導數的方法之一。例1:求曲線y=f(x)=x2+i在點P(1,2)處的切線方程.22.2(1 /x) 1-(11) 2 x :x 。斛：y 1

7、=則0二則 ,X ' 2，所以，所求切線的斜率為 2,因此，所求的切線方程為 y-2 = 2(x-1)即2x-y = 0變式訓練1：求函數y=3x2在點(1,3)處的切線方程。解：因為y |x 4= limx13x2-3 1x -123(x2 -12)=lim ) =lim3( x 1) =6x 1 x -1 x 11.1098765432 Lo.ssaaao,o.01000.10,20.3040.50.60.70.80.9 L0 l.l所以，所求切線的斜率為 6,因此，所求的切線方程為 y3 = 6(x1)即6x y 3=0例2 (課本P7例2)如圖3.1-3,它表示跳水運動中高度隨

8、時間變化的函數 2h(t)=49t +6.5t+10 ,根據圖像，請描述、比較曲線h(t)在片、i、t?附近的變化情況.解：我們用曲線h(t)在t。、t2處的切線，刻畫曲線h(t)在上 述三個時刻附近的變化情況.(1) 當t=t。時，曲線h(t)在t。處的切線l0平行于x軸，所以， 在t =t。附近曲線比較平坦，幾乎沒有升降. 當t=t1時，曲線h(t)在t1處的切線11的斜率h'(t1)<0,所以，在t =t1附近曲線下降，即函數 2h(x) = Y.9x +6.5x+10在1=%附近單調遞減.(3) 當t=t2時，曲線h(t)在t2處的切線l2的斜率h'(t2)<

9、;0,所以，在t =t2附近曲線下降，即函數h(x) = Y.9x2 +6.5x+10 在 t=t2 附近單調遞減.從圖3.1-3可以看出，直線11的傾斜程度小于直線 %的傾斜程度，這說明曲線在G附近比在t2附近下降的 緩慢.例3(課本P8例3)如圖3.1-4,它表示人體血管中藥物濃度c = f(t)(單位：mg/mL)隨時間t (單位：min )變化的圖象.根據圖像，估計t=0.2,0.4,0.6,0.8時，血管中藥物濃度的瞬時變化率(精確到0.1).解：血管中某一時刻藥物濃度的瞬時變化率，就是藥物濃度f(t)在此時刻的導數，從圖像上看，它表示曲線f(t)在此點處的切線的斜率.如圖3.1-4

10、,畫出曲線上某點處的切線，利用網格估計這條切線的斜率，可以得到此時刻藥物濃度瞬時變化率的近似值.作t =0.8處的切線，并在切線上去兩點，如(0. 7 , 0. 9 (1.0,0.48),則它的斜率為： ,0.4 8 0.9 1,k 二 1.41.0 0.7所以 f (0.8) ： -1.4下表給出了藥物濃度瞬時變化率的估計值：t0.20.40.60.8 , 藥物濃度瞬時變化率f (t)0.40-0.7-1.4課堂練習：(見課件)1 .曲線y= 2x2+1在點(0,1)處的切線白斜率是(B )A. 4B. 0 C. 4D.不存在12c 3 ,2、曲線y=-x -2在點(1,一±)處切

11、線的傾斜角為()5 二二(A) 1(B) -(C) -(D)-3 .若曲線y=h(x)在點P(a, h(a)處的切線方程為 2x+y+1 = 0,那么(B ) A. h' (a) = 0B. h' (a)<0 C. h' (a)>0D. h' (a)不確定4 .曲線y=x3在點P處的切線斜率為3,則點P的坐標為(B ),11、A.(-2, -8)B.(1,1), (1, - 1)C.( 2,8) D.( ,)28四.課堂小結，鞏固反思：1 .曲線的切線及切線的斜率；2 .導數的幾何意義五.課時作業：一、選擇題：1、(tb11502101)函數y=f(

12、x)在x=xo年的導致f (xO)的幾何思乂是( C) (A)在點x=x0處的函數4；(B)在點(x0,f(x0)處的切線與x軸所夾銳角的正切值(C)曲線y=f(x)在點(x°,f(x0)年的切線的斜率 (D)點(x0,f(x。)與點(0, 0)連線的斜率3 .下列說法中正確的是()A.和曲線只有一個公共點的直線是曲線的切線B.和曲線有兩個公共點的直線一定不是曲線的切線C.曲線的切線與曲線不可能有無數個公共點D.曲線的切線與曲線有可能有無數個公共點答案 D解析 y= sin x, xCR在點g, 1）處的切線與y=sin x有無數個公共點 .A處的切線斜率為（）A.4答案B.16 C

13、.8 D.2解析f（2人即0 gx尸里）22(2+ Ax)一8口 u一姬一=爐0 (8+2Ax)=8,即k=8.4.若曲線y = x2 + ax+b在點（0, b）處的切線方程是x-y+1 = 0,則()A. a= 1,b=1b= 1C.a= 1,b=- 1D.a= 1,b=- 14 .已知曲線y=f（x） = 2x2上一點A（2,8）,則點答案 A 解析由題意，知k=y' |x=o2f0+Ax 2+af0+Ax 廿 bb=lim*= 1, - a = 1.位-0Ax又（0, b）在切線上，b= 1,故選 A.5.已知曲線1 2 y=2x-2上一點P , , - 2 i,則過點P的切線

14、的傾斜角為（）A.30B.45C.135D.165答案解析y=2x2-2,=lim慶一01, 22(x+ Ax 廣2 2x2xx,1, x+ 2 Ax 尸 x.，y'島=1.，點 P 1,2 ;處切線的斜率為1,則切線的傾斜角為 45。.6.曲線y=4x-x 3在點(-1,-3）處的切線方程是（）A.y=7x+4B.y=7x+2C.y=x-4D.y=x-2【解析】選D.=1+3 Ax-（ Ax）2,所以切線斜率 k=1 ,切線方程為y=x-2 ,故選D.二、填空題：7.已知曲線y=f(x) = 2x2+4x在點P處的切線斜率為16,則P點坐標為 .答案 (3,30)解析設點 P(xo,

15、2x2+4xo),則f' %)=蛔0%產一 2 ,2 f Ax 1 + 4% ,. 4 Ax=財01:M= 4xo + 4，令 4%+4=16得*0=3, .,.P(3,30).1-8 .已知函數y=f(x)的圖象在點 M(1, f(1)處的切線萬程是 y = 2x+2,則f(1) + f' (1)=答案 31解析 由在點M處的切線萬程是y=2x+ 2,15,1得 f(1) = 2X1 + 2 = 5,。(1) = 2.5 1 f(1)+f (1)=5+ 2 = 3.9 .過點P(1,2)且與曲線y=3x2-4x+ 2在點M(1,1)處的切線平行的直線方程是 答案 2x y+4

16、=0 解析 曲線y=3x24x+ 2在點M(1,1)處的切線斜率k= y心產則。3(1+ Ax 24(1 + 攸廣 2 3+42x=lim0 (3Ax+ 2)=2.過點P(1,2)的直線的斜率為2,由點斜式得y-2=2(x+1),即 2x y+4=0.所求直線方程為2x y+4=0.三、解答題：10、已知函數f(x)=Jx,求f(x)在x = 2處的切線。 分析：f(x)在x=2處的切線的斜率就是 f '(2)。解：y _f (2 x)- f (2) _、2 x-，2( 2 x - . 2)(. 2 x. 2)xxx：x( 2x, 2)1所以:12=2.24所以，函數f(x)在x=2年

17、的切線的斜率為：'42所以所求的切線方程：y- 2 =72 (x-2)22即：x-y+ x-y+=011、求函數f(x)=-x2 +x在x =1附近的平均變化率，并求出在該點處的導數.解：工-(-1 M2 (-1"2.3 一x:x:x2_=1呵3 - ：x）=3f（_1）= lim3=Y兇加 一2Lx 0 , x二 x12.求曲線y= x2在點(1,1)處的切線與坐標軸圍成的三角形面積.解由導數定義可得y' |x-=2,曲線y=x2在點(1,1)處的切線方程為y-1 = 2(x-1),即y= 2x 1,設它與兩坐標軸的交點分別為A(0,1- 1), B(2, 0),

18、,c 1 1- S*A AOB 2|OA |OB|= 4.【書本作業，課外完成】1、(課本P10習題1.1 A組NO: 5)2、(課本P10習題1.1 A組NO: 6)- 山南可如* /敢qG-5處梆線的斜率大于零*所以函數件工 /用辿單調建軌 同理可耨.南致“ 一門32,k1附近分別單調遞增.足手沒心叱化.單調遞單調KM "以內代冊”想坦的應用.必第 一函數的圖象比保代線.兒斜中足 卜小于零的楷數.岡此，四9枇 八一的陽欺如知】所 小】第 一雨教的琲效門“恒大F,井11隨赤，的增加.。)的例也住增加1時第"，函 敢.與，小才事時.小小于零，當大產零財.小川大于哥.井口隨椅的增加*八1的他 也住增加.a卜給出滿足上述能什的力函數圖象中的-神.I >說明 4跑總(讓