1、與一元二次方程有關的競賽題一、降次(一)直接用方程降次f-1.當 x -1994時，多項式(4x31997x 1994)2001的值為。2分析與解：2.若 3x2x 1,則 9x412x32x27x 2005 的值等于_ 。分析與解：3._設 x2.7x 7 0,則 49 7x2x4=_。分析與解：(二)用根的關系式降次4.已知，是方程 x2x 10 的兩個根，貝 U43 的值為_ 。分析與解：5.設 x1, x2是二次方程 x2x 3 0 的兩個根，求 X；4xf19 的值。分析與解：二、用根的判別式解題6.已知 a, b, c 是整數，且 a 2b 4,ab c210,求a b c的值。分

2、析與解：7.已知 a,b,c 均為實數，且a b 4, 2 c2ab 4-.3c 10,求ab的值。分析與解：8.已知 a, b 為整數，且 x2ax 3 b 0 有兩個不相等的實數根；x2(6 a)x 7 b 0 有兩個相等的實數根；x2(4 a)x (5 b) 0 沒有實數根，則a b=_。分析與解：9.m 為整數時，關于 x 的方程 x24(m 1)x (3m22m 2k) 0 的根是有理數，求k的值。分析與解：10.證明：已知關于 x 的一元二次方程 Ax22Bx c 0 Bx22Cx A 0 cx22Ax B 0中，至少有一個方程有實數根。分析與解:11.設pi、P2、qi、q2為實

3、數，且 PiP22(qiq?),證明方程 x2PiXqi0 和x2P2X q?0 中至少有一個實數根。分析與解：12.求方程 2x2xy y2x 2y 10 的整數解。分析與解：三、用韋達定理解題213.若ab 1，且有 5a 2003a 920 及 9b 2003b 50,則-的值是b分析與解：14.已知 xi, x2是 3x2x i 0 的兩根，不解方程。求(i) 3x；(X2i)的值；(2) 9x；6x；6x2的值。分析與解：四、構造一元二次方程解題15._已知實數 a, b 滿足 a2ab b2i,且 t ab a2b2，那么 t 的取值范圍是_。16.若 a, b,c 均為實數，且

4、a b c 0, abc 2,那么| a | b | |c|的最小值可達到.。J5 i17._已知p、q是有理數，x 一滿足 x3px q 0,則p q的值是_ 。a18._若ab i，且有 5a2200ia 9 0 及 9b2200ib 5 0 ,則的值是_ 。b19.已知實數 a, b, c 滿足 a b c 2, abc 4.(1)求 a,b,c 中的最大者的最小值；(2)求|a| |b| |c|的最小值。分析與解：1b c20.已知一(b c)2(a b)(c a)且a 0,貝 U4a分析與解：21.已知實數a、b、c滿足a b，且 1999(a b) 1999(b c) (c a)

5、0,求 b)(c2a)(a b)的值。分析與解：22._已知實數x、y、z滿足 x y 5 及 z2xy y 9，貝Ux 2y 3z=_。23當 x 變化時，分式3x2 6x 5的最小值是。1 2 .x x 12124.已知x_ 3,則 x43x316x23x17 的值等于。x25.E、F分別在矩形ABCD的邊BC和CD上，若CEF ABE ADF的面積分別是3,4,5,求AEF的面積 So分析與解：26.已知實數a b，且滿足(a 1)23 3(a 1),3(b 1)3 (b 1)2，求 bbaa的V a b值。分析與解：五、一元二次方程的整數根的探究27.已知方程 a2x2(3a28a)x 2a213a 15 0 (其中 a 是非負整數)至少有一個整數根，那么，a=_。28.設關于 x 的二次方程(k26k 8)x2(2k26k 4)x k24 的兩根都是整數。求滿足條件的所有實數k的值。分析與解：29.設 m 為整數且4 m 40，方程 x22(2m 3)x 4m214m 8 0 有兩個整數根，求 m 的值及方程的根。分析與解：30.已知方程 x2(k 3)x k20 的根都是整數，求整數k的值及方程的根。分析與解：31.一直角三角形的兩直角邊長為整數，且滿足方