1、一、復習回顧一、復習回顧: 數列的定義數列的定義【定義】【定義】按自然數按自然數, 3 , 2 , 1編號依次排列的一列數編號依次排列的一列數 ,21nxxx (1) 稱為稱為無窮數列無窮數列, ,簡稱簡稱數列數列. .其中的每個數稱為數列其中的每個數稱為數列的的項項, ,nx稱為稱為通項通項( (一般項一般項) ). .數列數列(1)(1)記為記為 nx. . 【例如例如】;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n二、情境引入二、情境引入1：項號項號項項這一項與這一項與0的差的絕對值的差的絕對值123456782 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 1

2、128 1 256 1 5.0|021| 25.0|041| 125.0|081| 0625.0|0161| 03125.0|0321| 015625.0|0641| 0078125.0|01281| 00390625.0|02561| 0 三國時的劉徽提出的三國時的劉徽提出的 的方法的方法.他把圓他把圓周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、 這樣這樣繼續分割下去繼續分割下去,所得多邊形的周長就無限接近于圓的周長所得多邊形的周長就無限接近于圓的周長. 割之彌細，割之彌細，所失彌少，割所失彌少，割之又割，以至之又割，以至于不可割，則于不可割，則與

3、圓合體而無與圓合體而無所失矣所失矣. .二、情境引入二、情境引入2：12345678項號項號 邊數邊數內接多邊形周長內接多邊形周長圓的半徑圓的半徑21 R241263 2.5980762113533.000000000000 3.105828541230 3.13262861328148 3.13935020304796 3.141031950891192 3.141452472285384 3.141557607912 nb0814183218543871x1 na nb0 02143871234nn從從1的左側無限趨近的左側無限趨近1是什么？是什么？的變化趨勢分別的變化趨勢分別和和的無限增

4、大，的無限增大，隨著項數隨著項數nnban0814183218543871x na從從0的右側無限趨近的右側無限趨近0表示的點的變化趨勢表示的點的變化趨勢和和nnba121 n1211 n0-131 21 ，n1013101310132（1） ，1433221nn（2） ，nn)1(3111（3）分析當分析當n無限增大無限增大時，下列數列的項時，下列數列的項 的變化趨勢及的變化趨勢及共同特征共同特征:na . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .共同特性：共同特性：不論這些變化趨勢如何，隨著項數不論這些變化趨勢如何，隨著項數

5、 n 的的無限增大無限增大，數列的項，數列的項 無限地趨近于無限地趨近于常數常數 ana3遞減遞減無限趨近無限趨近1遞增遞增無限趨近無限趨近0無限趨近無限趨近擺動擺動三、講授新課：三、講授新課：n 趨向于無窮大趨向于無窮大aann lim數列極限的描述性定義數列極限的描述性定義 na一般地，如果當項數一般地，如果當項數 無限增大時，無窮數列無限增大時，無窮數列的項的項 無限地趨近于某個常數無限地趨近于某個常數 ，nnaa那么就說數列那么就說數列 以以 為極限，或者說為極限，或者說 naaa na是數列是數列 的極限的極限 na（1） 是無窮數列是無窮數列n（2） 無限增大時，無限增大時， 不是

6、一般地趨近于不是一般地趨近于 ，而是，而是naa“無限無限”地趨近于地趨近于 a（3）數值變化趨勢：遞減的、遞增的、擺動的）數值變化趨勢：遞減的、遞增的、擺動的讀作讀作 “當當n 趨向于無窮大時，趨向于無窮大時， 的極限等于的極限等于a ”na或或 “lim 當當n 趨向于趨向于 無窮大時等于無窮大時等于a ”na若數列nx及常數 a 有下列關系 :,0,N正數當 n N 時, 總有記作此時也稱數列收斂 , 否則稱數列發散 .幾何解釋 :aaa)(axan)(Nn 即),(axn)(Nn axnnlim或)(naxn1Nx2Nxaxn則稱該數列nx的極限為 a ,機動 目錄 上頁 下頁 返回

7、結束 極限定義的精確描述極限定義的精確描述例如例如,1,43,32,21nn1nnxn)(1n,) 1(,43,34,21,21nnnnnxnn1) 1()(1n,2,8,4,2nnnx2)(n,) 1( ,1,1,11n1) 1(nnx趨勢不定收 斂發 散機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1、考察下面的數列，寫出它們的極限：、考察下面的數列，寫出它們的極限：（1）；， 31271811n（2）；， n1057995.695.65 .6； ,)2(1,81,41,21n（3） 解解：（：（1）數列）數列 的項隨的項隨n 的增大而減小，但大于的增大而減小，但大于0，且，且當當n 無限增大時

8、，無限增大時， 無限地趨近于無限地趨近于0，因此，數列，因此，數列 的極限的極限是是0 31n31n 31n70四、例題講解：四、例題講解：0課堂練習課堂練習1：0021limnn111limnnn00) 1(limnnn例例2、求常數數列、求常數數列-1，-1，-1，-1，的極限的極限 解：這個無窮數列的各項都是解：這個無窮數列的各項都是-1，當項數，當項數n 無限增大時，無限增大時，數列的項數列的項 始終保持同一個值始終保持同一個值-1，因此，因此na. 1)1(lim n一般地，任何一個一般地，任何一個常數常數數列的數列的極限極限都是都是這個這個常數本身常數本身，即，即CCn lim（C

9、 是常數）是常數）例例3、用計算器計算、用計算器計算,99. 01000,99. 05000,99. 020000,99. 010000由此猜想數列由此猜想數列 的極限（保留兩位有效數字）的極限（保留兩位有效數字）99. 0n解：由計算器可算得解：由計算器可算得51000103 . 499. 0 225000105 . 199. 0 4410000102 . 299. 0 8820000101 . 599. 0 由此猜想由此猜想099. 0lim nn一般地，如果一般地，如果 ，那么，那么 1| a. 0lim nna)( lim)2(是是常常數數CCn nn1lim)1(0C, )3(時時當當1 a0lim nan01lim1111nnaaaaa不存在或 觀察思考觀察思考：考察以下數列的考察以下數列的 變化趨勢變化趨勢(1)(2)(5)(4)(3)010無無無無aan nna lim數列數列是否存是否存在極限在極限若存在極限若存在極限 99. 0nna 100)(n 1 nannna)1( 14nnan aann lim存在存在不存在不存在存在存在存在存在不存在不存在4 1n000數列的極限是唯一的數列的極限是唯一的有窮數列沒有極限有窮數列沒有極限 99