2024-2025學年八年級（下）期中數學試卷【人教版】考試時間：120分鐘；滿分：120分；考試范圍：第16~18章姓名：___________班級：___________考號：___________考卷信息：本卷試題共25題，單選10題，填空6題，解答9題，滿分120分，限時120分鐘，本卷題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學生掌握本章內容的具體情況！第Ⅰ卷一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（24-25八年級·廣東深圳·期中）下列計算中，正確的是（

）A．2+3=C．12÷3=42．（3分）（24-25八年級·江蘇揚州·期中）如圖，長方形中，AB=3，AD=1，AB在數軸上，若以點A為圓心，AC的長為半徑作弧交數軸于點M，則點M表示的數為（

）A．10 B．10?1 C．5 D．3．（3分）（24-25八年級·吉林長春·期中）如圖，在△ABC中，∠A=38°,AB=AC，點D在AC邊上，以CB、CD為邊作?BCDE，則∠E的度數為（

）A．71° B．61° C．51° D．41°4．（3分）（24-25八年級·山東濟寧·階段練習）要把(2?x)1x?2中根號外的因式移入根號內，下面式子正確的是（A．x?2 B．2?x C．?2?x D．5．（3分）（24-25八年級·河南開封·期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB=3，BC=2，CD=1，AD=12，且∠BCD=90°，則四邊形A．33+22 B．3326．（3分）（24-25八年級·湖北十堰·期中）如圖，矩形ABCD中，AB=6，點E是AD上一點，且DE=2，CE的垂直平分線交CB的延長線于點F，交CD于點H，連接EF交AB于點G．若G是AB的中點，則BC的長是（

）A．6 B．7 C．8 D．97．（3分）（24-25八年級·山東東營·期中）已知三角形的三邊長分別為a，b，c，求其面積問題，中外數學家曾經進行深入研究，古希臘的幾何學家海倫給出求其面積的海倫公式S=pp?ap?bp?c，其中p=a+b+c2，我國南宋時期數學家秦九韶（約A．3158 B．3152 C．8．（3分）（24-25八年級·江蘇南通·期中）已知兩張等寬的紙條交叉疊放在一起，重疊部分構成一個四邊形ABCD，對角線AC=8，BD=6，過點D作DH⊥AB于點H，則DH的長是（

）A．2.4 B．4.8 C．5 D．9.69．（3分）（24-25八年級·四川眉山·期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．如果D、E分別為BC、AB上的動點，那么AD+DE的最小值是（

A．245 B．5 C．27510．（3分）（24-25八年級·浙江金華·期中）圖1是一幅“青朱出入圖”，運用“割補術”，通過三個正方形之間的面積轉化證明勾股定理a2+b2=c2，如圖2，連結HK，GK，HG，記四邊形DHKG與正方形DHIE的面積分別為S1，A．23 B．35 C．12二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（24-25八年級·黑龍江綏化·期中）已知a+b=?8，ab=1，則ba+a12．（3分）（24-25八年級·遼寧沈陽·期中）如圖，點O為數軸的原點，點A和B分別對應的實數是1和2．過點A作射線AD⊥OA，以點O為圓心，OB長為半徑畫弧，交AD于點C；以點A為圓心，AC長為半徑畫弧，交數軸的正半軸于點E，則點E對應的實數是．13．（3分）（24-25八年級·湖北荊州·期中）如圖，平行四邊形ABCD中，E，F是對角線AC上的兩點，有如下四個條件：①DE=BF；②AE=FC；③∠1=∠2；④AF=EC，如果從中選擇一個作為添加條件，使四邊形BEDF是平行四邊形，那么這個添加的條件可以是（填寫序號）．14．（3分）（24-25八年級·四川成都·期中）如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C，D，P都在格點上，連接AP，CP，CD，則∠PAB－∠PCD＝．15．（3分）（24-25八年級·浙江麗水·期中）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD，F為CD上一點，連接AF交BD于點E，AF⊥AB，已知∠BAG=∠ABC=45°，且（1）則AB的長是；（2）若AE=2EF，且∠AGD+∠BCD=180°，則AF=16．（3分）（24-25八年級·浙江金華·期中）如圖，在長方形ABCD中，AB=10，AD=12，點E為邊AD上的一個動點，把△ABE沿BE折疊，若點A的對應點A′剛好落在邊AD的垂直平分線MN上，則AE的長為第Ⅱ卷三．解答題（共9小題，滿分72分）17．（6分）（24-25八年級·山東青島·期中）計算：(1)3(2)218．（6分）（24-25八年級·重慶沙坪壩·期中）如圖，小區A與公路l的距離AC=200米，小區B與公路l的距離BD=400米，已知CD=800米．(1)政府準備在公路邊建造一座公交站臺Q，使Q到A、B兩小區的路程相等，求CQ的長；(2)現要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B兩小區的路程之和最短，求PA+PB的最小值，求出此最小值．19．（6分）（24-25八年級·陜西渭南·期中）如圖，點E是?ABCD對角線AC上的點（不與A，C重合），連接BE，過點E作EF⊥BE交CD于點F．連接BF交AC于點G，BE=AD，∠FEC=∠FCE．(1)求證：?ABCD是矩形；(2)若點E為AC的中點，求∠ABE的度數．20．（8分）（24-25八年級·江蘇淮安·期中）像4?23如：4?23再如：5+26請用上述方法探索并解決下列問題：(1)化簡：9+214=(2)化簡：8?43=(3)若2m?n2=k?62，且21．（8分）（24-25八年級·陜西西安·期中）如圖1是一架移動式小吊機工作示意圖，吊機工作時是利用吊臂的長度和傾斜角的變化改變起升高度和工作半徑．在某次起重作業中，學習興趣小組通過測量和咨詢工人師傅了解到如下信息：如圖2，起重臂AB=1.3m，點B到地面CD的距離BC=DE=2m，點B到AD的距離BE=1.2m，BE⊥AD于E，BC⊥CD，AD⊥CD，求點A地面22．（10分）（24-25八年級·上海浦東新·期中）已知：如圖△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，點E、F分別在邊BC、AC上，且BE=1，AF=3，EF=10

(1)證明：線段EF，(2)當D是邊AB上的中點時，判斷：DF、DE的位置關系．23．（10分）（24-25八年級·河北滄州·期中）嘉琪根據學習“數與式”的經驗，想通過“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運算規律．下面是嘉琪的探究過程，請補充完整：(1)具體運算，發現規律：特例1：1+1特例2：2+1特例3：3+1特例4：______（填寫一個符合上述運算特征的式子）．(2)觀察、歸納，得出猜想：如果n為正整數，用含n的式子表示上述的運算規律為：______．(3)證明你的猜想；(4)應用運算規律：①化簡：2023+1②若a+1b=91b（a24．（12分）（24-25八年級·河北石家莊·期中）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，四邊形OABC為矩形，A0,5，C26,0．點E是OC的中點，動點M在線段AB上以每秒2個單位長度的速度由點A向點B運動（到點B時停止）．設動點M的運動時間為(1)當t為何值時，四邊形MOEB是平行四邊形？(2)若四邊形MOEB是平行四邊形，請判斷四邊形MAOE的形狀，并說明理由；(3)在線段AB上是否存在一點N，使得以O，E，M，N為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．25．（12分）（24-25八年級·廣東廣州·期中）在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O．在線段AO上任取一點P（端點除外），連接PD、PB．點Q在BA的延長線上且(1)如圖1，若四邊形ABCD是正方形．①求∠DPQ的度數；②探究AQ與OP的數量關系并說明理由．(2)如圖2，若四邊形ABCD是菱形且∠ABC=60°．探究AQ與CP的數量關系并說明理由.

2024-2025學年八年級（下）期中數學試卷【人教版】參考答案與試題解析第Ⅰ卷一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（24-25八年級·廣東深圳·期中）下列計算中，正確的是（

）A．2+3=C．12÷3=4【答案】D【分析】本題主要考查二次根式的加法、減法、乘法、除法運算等知識點，明確二次根式加減乘除運算的計算法則是解答本題的關鍵．根據二次根式的加法、減法、乘法、除法運算法則逐項判斷即可．【詳解】解：A．2和3不是同類二次根式，不能相加減，故選項A錯誤，不符合題意；B．32C．12÷D．12×故選：D．2．（3分）（24-25八年級·江蘇揚州·期中）如圖，長方形中，AB=3，AD=1，AB在數軸上，若以點A為圓心，AC的長為半徑作弧交數軸于點M，則點M表示的數為（

）A．10 B．10?1 C．5 D．【答案】B【分析】本題考查了實數與數軸、勾股定理，由題意可得∠ABC=90°，AC=AM，BC=AD=1，再由勾股定理求出AM=AC=10【詳解】解：由題意可得：∠ABC=90°，AC=AM，BC=AD=1，∵AC=A∴AM=AC=10∴點M表示的數為10?1故選：B．3．（3分）（24-25八年級·吉林長春·期中）如圖，在△ABC中，∠A=38°,AB=AC，點D在AC邊上，以CB、CD為邊作?BCDE，則∠E的度數為（

）A．71° B．61° C．51° D．41°【答案】A【分析】本題考查的是等腰三角形的性質，三角形的內角和定理的應用，平行四邊形的性質，掌握等腰三角形的兩個底角相等，平行四邊形的對角相等是解本題的關鍵．根據等腰三角形的性質可求∠C，再根據平行四邊形的性質可求∠【詳解】解：在△ABC中，∠A=38°，AB=AC∴∠C=∵四邊形BCDE是平行四邊形，∴∠E=故選：A．4．（3分）（24-25八年級·山東濟寧·階段練習）要把(2?x)1x?2中根號外的因式移入根號內，下面式子正確的是（A．x?2 B．2?x C．?2?x D．【答案】D【分析】根據非負數才能移入根號內或根號外，變成非負數后，變形化簡即可．本題考查了二次根式的化簡，熟練掌握根式的性質是解題的關鍵．【詳解】解：根據題意，得x?2>故2?x=?1故選：D．5．（3分）（24-25八年級·河南開封·期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB=3，BC=2，CD=1，AD=12，且∠BCD=90°，則四邊形A．33+22 B．332【答案】A【分析】本題主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理，牢記勾股定理和勾股定理的逆定理是解題的關鍵．先由勾股定理求出BD=3，則AB2+BD【詳解】解：∵∠BCD=90°，∴BD=B∵AB=3，AD=12∴AB∴∠ABD=90°，∴S===3故選：A．6．（3分）（24-25八年級·湖北十堰·期中）如圖，矩形ABCD中，AB=6，點E是AD上一點，且DE=2，CE的垂直平分線交CB的延長線于點F，交CD于點H，連接EF交AB于點G．若G是AB的中點，則BC的長是（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】過點E作EP⊥BC于點P，證明四邊形ABPE和四邊形CDEP為矩形，得出CD=EP=6，DE=CP=2，根據證明△AEG≌△BFG，得出AE=BF，又FH垂直平分EC，得出FC=FE，令BC=x，則BP=AE=BF=x?2，進而BP=AE=BF=2x?2，FP=2x?4，EF=FC=2x?2，在Rt△EFP中，E【詳解】解：過點E作EP⊥BC于點P，在矩形ABCD中∠A=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，AB=CD=6，∴四邊形ABPE和四邊形CDEP為矩形，又AB=6，DE=2，∴CD=EP=6，DE=CP=2，∵G是AB的中點，∴AG=GB=3，又∵AD∥∴∠AEG=∠BFG，又∠AGE=∠BGF，∴△AEG≌△BFGAAS∴AE=BF，∵FH垂直平分EC，∴FC=FE，令BC=x，則BP=x?2，又∵AE=BF=BP，∴BP=AE=BF=x?2，∴FP=2x?4，EF=FC=2x?2，在Rt△EFP中，E∴6解得x=6．故選：A．【點睛】本題考查矩形的判定和性質，垂直平分線的性質，勾股定理以及全等三角形的判定和性質，解決本題的關鍵是作輔助線構造直角三角形求邊長．7．（3分）（24-25八年級·山東東營·期中）已知三角形的三邊長分別為a，b，c，求其面積問題，中外數學家曾經進行深入研究，古希臘的幾何學家海倫給出求其面積的海倫公式S=pp?ap?bp?c，其中p=a+b+c2，我國南宋時期數學家秦九韶（約A．3158 B．3152 C．【答案】D【分析】本題考查了二次根式的應用，設a=2，b=3，c=4，則p=92，再根據【詳解】解：設a=2，b=3，c=4，∴p=a+b+c∴S=9故選：D．8．（3分）（24-25八年級·江蘇南通·期中）已知兩張等寬的紙條交叉疊放在一起，重疊部分構成一個四邊形ABCD，對角線AC=8，BD=6，過點D作DH⊥AB于點H，則DH的長是（

）A．2.4 B．4.8 C．5 D．9.6【答案】B【分析】作DF⊥BC，垂足為F，設AC與BD相交于點O，根據菱形的判定與性質可知OB、OA，最后利用菱形面積的兩種表示方法即可解答．【詳解】解：作DF⊥BC，垂足為F，設AC與BD相交于點O，∵兩張等寬的紙條，DH⊥AB，∴DF⊥BC，∴DH=DF，∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵S平行四邊形ABCD∵DH=DF，∴BC=AB，∴四邊形ABCD是菱形，∴OB=OD=12BD=3，OA=OC=∴AB=A∴AB?DH=1∴DH=1答：DH的長是4.8；故選B．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質，菱形的判定與性質，勾股定理，菱形面積的兩種計算方式，掌握菱形的判定與性質是解題的關鍵．9．（3分）（24-25八年級·四川眉山·期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．如果D、E分別為BC、AB上的動點，那么AD+DE的最小值是（

A．245 B．5 C．275【答案】A【分析】延長AC到點F，使得AC=CF，則直線BC是線段AF的垂直平分線，連接DF,BF，于是得到AD=DF，AB=BF，于是AD+DE就變成了DF+DE，根據點到直線的距離以垂線段最短原理，得到DF+DE的最小值就是△ABF的高，過點F作FG⊥AB于點G，求FG即可．此題考查了軸對稱最短路徑問題，垂線段的性質，勾股定理，根據三角形的面積求高等，熟練掌握以上性質是解本題的關鍵．【詳解】解：延長AC到點F，使得AC=CF，∵∠ACB=90°，∴直線BC是線段AF的垂直平分線，連接DF,BF，∴AD=DF，AB=BF，∴AD+DE就變成了DF+DE，根據點到直線的距離以垂線段最短原理，得到DF+DE的最小值就是△ABF的高，過點F作FG⊥AB于點G，∵∠ACB=90°，AC=3，AB=5，∴AF=2AC=6，BC=A∴S△ABF∴6×4=5FG，∴FG=24故選：A．10．（3分）（24-25八年級·浙江金華·期中）圖1是一幅“青朱出入圖”，運用“割補術”，通過三個正方形之間的面積轉化證明勾股定理a2+b2=c2，如圖2，連結HK，GK，HG，記四邊形DHKG與正方形DHIE的面積分別為S1，A．23 B．35 C．12【答案】D【分析】本題主要考查了正方形的性質，矩形的判定與性質，全等三角形的判定與性質等知識點，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．過點H作HM⊥CD于點M，根據題意可得四邊形AHMD是矩形，進而證明Rt△DAH≌Rt△DCEHL，設CE=AH=CG=DM=MG=x，則DA=DC=AB=BC=3x，BH=2x，分別表示出【詳解】解：過點H作HM⊥CD于點M，∵HD=HG，四邊形ABCD是正方形，∴MD=MG，四邊形AHMD是矩形，∴MD=AH，∵四邊形ABCD，四邊形DHIE，四邊形EFGC都是正方形，∴DA=DC=AB=BC，DH=DE=HI=IE，FG=GC=CE=EF，∠DAH=∠DCE=∠DEI=90°，在Rt△DAH和RtDH=DEDA=DC∴Rt∴CE=AH，∴CE=AH=CG=DM=MG，∴CD=CG+DM+MG=3CG=3CE，設CE=AH=CG=DM=MG=x，則DA=DC=AB=BC=3x，BH=2x，∴∠DCE=∠EKI=∠DEI=90°，∴∠DEC+∠IEK=90°，∠EIK+∠IEK=90°，∴∠DEC=∠EIK，又∵DE=EI，∵△DCE≌△EKIAAS∴KE=DC=3x，∴BH=CK=2x，BK=CE=x，∴四邊形DHKG的面積S1正方形DHIE的面積為：S2∴S故選：D．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（24-25八年級·黑龍江綏化·期中）已知a+b=?8，ab=1，則ba+a【答案】8【分析】本題主要考查了二次根式的加減混合運算以及求值，根據a+b=?8，ab=1判斷出a<0,b<0，將ba+ab化簡再進行加減運算，最后將【詳解】解：∵a+b=?8，ab=1，∴a<0,b<0，∴b=?ab=?b=?=?a+b當a+b=?8，ab=1，原式=??8故答案為：8．12．（3分）（24-25八年級·遼寧沈陽·期中）如圖，點O為數軸的原點，點A和B分別對應的實數是1和2．過點A作射線AD⊥OA，以點O為圓心，OB長為半徑畫弧，交AD于點C；以點A為圓心，AC長為半徑畫弧，交數軸的正半軸于點E，則點E對應的實數是．【答案】1+3/【分析】本題考查了勾股定理，實數與數軸，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．由題意可知AE=AC，OC=OB=2，再由勾股定理求出AC=3，則AE=3，然后求出【詳解】解：∵點A和B分別對應的實數是1和2，∴OA=1，OB=2，由題意可知，AE=AC，OC=OB=2，∵AD⊥OA，∴∠OAC=∠BAC=90°，∴AC=O∴AE=3∴OE=OA+AE=1+3即點E對應的實數是1+3故答案為：1+313．（3分）（24-25八年級·湖北荊州·期中）如圖，平行四邊形ABCD中，E，F是對角線AC上的兩點，有如下四個條件：①DE=BF；②AE=FC；③∠1=∠2；④AF=EC，如果從中選擇一個作為添加條件，使四邊形BEDF是平行四邊形，那么這個添加的條件可以是（填寫序號）．【答案】②（或③，或④）【分析】本題考查平行四邊形的判定及性質，全等三角形的判定及性質．若添加添加①，無法證明四邊形BEDF是平行四邊形．若添加條件②，連接BD，交AC于點O，根據平行四邊形的性質得到AO=CO，BO=DO，進而得到EO=FO，根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可得證；若添加條件③，根據平行四邊形的性質可證得△ADE≌△CBFASA，得到DE=BF，∠AED=∠CFB，進而得到DE【詳解】解：若添加添加①，無法證明四邊形BEDF是平行四邊形．若添加條件②AE=FC，可得四邊形BEDF是平行四邊形．理由如下：連接BD，交AC于點O∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=CO，BO=DO，∵AE=FC，∴AO?AE=CO?CF，即EO=FO，∴四邊形BFDE是平行四邊形．若添加條件③∠1=∠2，可得四邊形BEDF是平行四邊形．理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=CB，AD∥∴∠DAE=∠BCF，∵∠1=∠2，∴△ADE≌△CBFASA∴DE=BF，∠AED=∠CFB，∴180°?∠AED=180°?∠CFB，即∠DEF=∠EFD，∴DE∥∴四邊形BEDF是平行四邊形．若添加條件④AF=EC，可得四邊形BEDF是平行四邊形．理由如下：連接BD，交AC于點O∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=CO，BO=DO，∵AF=EC，∴AF?AO=CE?CO，即FO=EO，∴四邊形BFDE是平行四邊形．綜上所述，添加的條件可以是②或③或④．故答案為：②（或③，或④）14．（3分）（24-25八年級·四川成都·期中）如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C，D，P都在格點上，連接AP，CP，CD，則∠PAB－∠PCD＝．【答案】45°【分析】如圖，取CD邊上的格點E，連接AE，PE，易得∠BAE＝∠PCD,證明△APE為等腰直角三角形，從而可得答案．【詳解】如圖，取CD邊上的格點E，連接AE，PE，易得∠BAE＝∠PCD．由題意可得AP2＝PE2＝12+22＝5，AE2＝12+32＝10．∴AE2＝AP2+PE2．∴△APE是等腰直角三角形．∴∠PAE＝45∴∠PAB－∠PCD＝∠PAB－∠BAE＝∠PAE＝45°．【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，勾股定理的逆定理的應用，掌握以上知識是解題的關鍵．15．（3分）（24-25八年級·浙江麗水·期中）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD，F為CD上一點，連接AF交BD于點E，AF⊥AB，已知∠BAG=∠ABC=45°，且（1）則AB的長是；（2）若AE=2EF，且∠AGD+∠BCD=180°，則AF=【答案】106【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的性質和判定、勾股定理、全等三角形的判定和性質等知識，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．（1）延長AF交BC的延長線于點H，易得△ABH是等腰直角三角形，可證△ABG≌△HAC，所以BH=BC+AG=102（2）由條件易證△AGE≌△HCFASA，得到FH=AE=2x，所以AH=5x=10【詳解】解：（1）延長AF交BC的延長線于點H，∵AF⊥AB，∴∠BAH=90∵∠ABC=45∴∠H=90°?∠ABC=45°=∠ABC，∴AB=AH，即△ABH是等腰直角三角形，∴∠AHB=45°=∠BAG∵AC⊥BD，∴∠CAH=90在△ABG和△HAC中，∠BAG=∠AHCAB=AH∴△ABG≌△HACSAS∴CH=AG，∵BC+AG=102∴BC+CH=BH=102在Rt△ABH中，A即2AB∴AB=10；故答案為：10；（2）∵∠AGD+∠BCD=180°，∴∠AGD=∠FCH，∵∠BAG=45°，∠BAG=∠FHC，∴∠EAG=45°=∠FHC，在△AGE和△HCF中，∠EAG=∠FHCAG=CH∴△AGE≌△HCFASA∴FH=AE，設EF=x，則FH=AE=2x，∴AH=AE+EF+FH=5x=10，解得：x=2，∴AF=AE+EF=3x=6．故答案為：6．16．（3分）（24-25八年級·浙江金華·期中）如圖，在長方形ABCD中，AB=10，AD=12，點E為邊AD上的一個動點，把△ABE沿BE折疊，若點A的對應點A′剛好落在邊AD的垂直平分線MN上，則AE的長為【答案】10【分析】由矩形的性質得到BC=AD=12,BC∥AD,∠A=∠ABC=90°，由線段垂直平分線的性質得到AM=6,BN=6，由折疊的性質得到：BA′=AB=10,AE=A′E，由勾股定理求出NA′=BA′2【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴BC=AD=12,BC∥AD,∠A=∠ABC=90°，∵MN垂直平分AD，∴MN垂直平分BC，∴AM=1由折疊的性質得到：BA∴NA∵∠A=∠ABN=∠BNM=90°，∴四邊形AMNB是矩形，∴MN=AB=10，∴MA令AE=x，∴EA∵EA∴x∴x=10∴AE=10故答案為：103【點睛】本題主要考查了矩形的判定與性質，垂直平分線的性質，勾股定理，圖形折疊的性質等知識，熟練掌握折疊的性質以及勾股定理是解題關鍵．第Ⅱ卷三．解答題（共9小題，滿分72分）17．（6分）（24-25八年級·山東青島·期中）計算：(1)3(2)2【答案】(1)13+4(2)11【分析】本題考查二次根式的混合運算，平方差公式，完全平方公式，解題的關鍵是掌握二次根式的混合運算法則．（1）利用平方差公式，完全平方公式計算即可；（2）先計算乘除，再計算加減．【詳解】（1）解：3==27?1?12+4=13+43（2）解：2=2=12=11218．（6分）（24-25八年級·重慶沙坪壩·期中）如圖，小區A與公路l的距離AC=200米，小區B與公路l的距離BD=400米，已知CD=800米．(1)政府準備在公路邊建造一座公交站臺Q，使Q到A、B兩小區的路程相等，求CQ的長；(2)現要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B兩小區的路程之和最短，求PA+PB的最小值，求出此最小值．【答案】(1)475米(2)1000米【分析】本題考查了軸對稱-最短路線問題，坐標與圖形的性質，勾股定理，確定出Q、P的位置是本題的關鍵．（1）設CQ=x，則DQ=800?x，根據AQ=BQ利用勾股定理即可得出結果．（2）作A關于l的對稱點A′，連接A′B，交l于P，由對稱性得PA+PB的最小值為線段A′B的長，作A【詳解】（1）解：如圖1，根據題意得：AQ=BQ，設CQ=x，則DQ=800?x，∴200解得x=475，即CQ的長為475米；（2）如圖，作點A關于直線l的對稱點A′，連接A′B，交直線l則AP=A∴AP+BP=A∴PA+PB的最小值為A′如圖，作A′E⊥BE于點在Rt△A′E=CD=800米，∴A∴PA+PB的最小值為1000米．19．（6分）（24-25八年級·陜西渭南·期中）如圖，點E是?ABCD對角線AC上的點（不與A，C重合），連接BE，過點E作EF⊥BE交CD于點F．連接BF交AC于點G，BE=AD，∠FEC=∠FCE．(1)求證：?ABCD是矩形；(2)若點E為AC的中點，求∠ABE的度數．【答案】(1)證明見解析(2)30°【分析】（1）先由平行四邊形的性質得到AD=BC，則BE=BC，由等邊對等角得到∠ECB=∠CEB，則可證明∠FEB=∠BCD=90°，進而可證明平行四邊形ABCD是矩形；（2）由矩形的性質得到BE=CE=12AC，∠ABC=90°，則可證明△BCE【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，∵BE=AD，∴BE=BC，∴∠ECB=∠CEB，∵∠FEC=∠FCE，∴∠FEC+∠CEB=∠FCE+∠BCE，∴∠BEF=∠BCF，∵EF⊥BE，∴∠FEB=∠BCD=90°，∴平行四邊形ABCD是矩形；（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，點E為AC的中點，∴BE=CE=1∴BE=CE=BC，∴△BCE是等邊三角形，∴∠CBE=60°，∴∠ABE=30°．【點睛】本題主要考查了矩形的性質與判定，等邊三角形的性質與判定，等腰三角形的性質與判定，平行四邊形的性質等等，熟知矩形的性質與判定定理是解題的關鍵：20．（8分）（24-25八年級·江蘇淮安·期中）像4?23如：4?23再如：5+26請用上述方法探索并解決下列問題：(1)化簡：9+214=(2)化簡：8?43=(3)若2m?n2=k?62，且【答案】(1)7(2)6(3)11或19．【分析】此題考查化簡二次根式，完全平方公式的應用，準確變形是解題的關鍵．（1）利用題中復合二次根式借助構造完全平方式的新方法求解；（2）利用題中復合二次根式借助構造完全平方式的新方法求解；（3）利用完全平方公式，結合k、m、n為正整數求解即可．【詳解】（1）解：9+214故答案為：7（2）8?43故答案為：6（3）∵2∴2m∴k=2m∴mn=3又∵k、m、n為正整數，∴m=1,n=3，或者m=3,n=1，∴當m=1,n=3時，k=2m當m=3,n=1時，k=2m∴k的值為：11或19．21．（8分）（24-25八年級·陜西西安·期中）如圖1是一架移動式小吊機工作示意圖，吊機工作時是利用吊臂的長度和傾斜角的變化改變起升高度和工作半徑．在某次起重作業中，學習興趣小組通過測量和咨詢工人師傅了解到如下信息：如圖2，起重臂AB=1.3m，點B到地面CD的距離BC=DE=2m，點B到AD的距離BE=1.2m，BE⊥AD于E，BC⊥CD，AD⊥CD，求點A地面【答案】點A到地面DC的距離AD的長為2.5米【分析】本題主要考查了勾股定理，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理．根據勾股定理求出AE，根據長方形的性質，得出ED=BC，即可得出答案．【詳解】解：由題知：∠AEB=90°，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE=∵ED=BC=2m，AD⊥CD∴AD=ED+AE=2+0.5=2.5m答：點A地面DC的距離AD的長為2.5米．22．（10分）（24-25八年級·上海浦東新·期中）已知：如圖△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，點E、F分別在邊BC、AC上，且BE=1，AF=3，EF=10

(1)證明：線段EF，(2)當D是邊AB上的中點時，判斷：DF、DE的位置關系．【答案】(1)證明見解析；(2)DE⊥DF，理由見解析．【分析】（1）根據勾股逆定理即可求證；（2）延長FD，使得FD=DM，連接BM、EM，證明△ADF≌△BDM，得到∠AFD=∠BMD，AF=BM=3，得到AC∥BM，根據平行線的性質得到∠MBC=90°，由勾股定理得到ME=10本題考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性質，平行線的性質，等腰三角形的性質，正確作出輔助線，構造全等三角形和直角三角形是解題的關鍵．【詳解】（1）證明：∵BE2+A∴BE∴線段EF，（2）解：DE⊥DF．理由：延長FD，使得FD=DM，連接BM、EM，

∵D是邊AB上的中點，∴AD=BD，又∵∠ADF=∠BDM，FD=DM，∴△ADF≌△BDMSAS∴∠AFD=∠BMD，AF=BM=3，∴AC∥∴∠AFB+∠MBC=180°，∵∠ACB=90°，∴∠MBC=180°?90°=90°，∴在Rt△MBE中，ME=∵EF=10∴ME=EF，∵FD=DM，∴ED⊥FM，即ED⊥FD．23．（10分）（24-25八年級·河北滄州·期中）嘉琪根據學習“數與式”的經驗，想通過“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運算規律．下面是嘉琪的探究過程，請補充完整：(1)具體運算，發現規律：特例1：1+1特例2：2+1特例3：3+1特例4：______（填寫一個符合上述運算特征的式子）．(2)觀察、歸納，得出猜想：如果n為正整數，用含n的式子表示上述的運算規律為：______．(3)證明你的猜想；(4)應用運算規律：①化簡：2023+1②若a+1b=91b（a【答案】(1)4+1(2)n+(3)見解析(4)①20242【分析】本題主要考查二次根式的混合運算，掌握其運算法則是解題的關鍵．（1）根據材料提示計算即可；（2）由材料提示，歸納總結即可；（3）運用二次根式的性質，二次根式的混合運算法則計算即可；（4）根據材料提示的方法代入運算即可．【詳解】（1）解：根據材料提示可得，特例4為：4+1故答案為：4+1（2）解：由上述計算可得，如果n為正整數，上述的運算規律為：n+1故答案為：n+1（3）解：n+1等式左邊=n+（4）①解：2023+=2024×=20242②∵a+1∴n+1=9，∴n=a=8，∴a+b=18．24．（12分）（24-25八年級·河北石家莊·期中）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，四邊形OABC為矩形，A0,5，C26,0．點E是OC的中點，動點M在線段AB上以每秒2個單位長度的速度由點A向點B運動（到點B時停止）．設動點M的運動時間為(1)當t為何值時，四邊形MOEB是平行四邊形？(2)若四邊形MOEB是平行四邊形，請判斷四邊形MAOE的形狀，并說明理由；(3)在線段AB上是否存在一點N，使得以O，E，M，N為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)6.5秒(2)四邊形MAOE是矩形，理由見解析(3)線段AB存在一點N，使得以O，E，M，N為頂點的四邊形是菱形，t的值為12.5秒或6秒【分析】（1）根據點C坐標可得OC=26，根據中點定義可得OE=13，根據矩形的性質可得AB=OC，AB∥OC，根據平行四邊形的性質可得MB=OE，即可得出AM的長，根據點（2）如圖，由（1）可得AM=OE=13,AM∥OE，可證明四邊形MAOE是平行四邊形，由∠AOE=90°可得四邊形（3）當點M在點N右側時，根據菱形的性質可