1、數學教案函數單調性與奇偶性 函數的單調性教學目的 1.理解函數的單調性和奇偶性的概念,掌握有關證明和判斷的根本方法.(1)理解并區分增函數,減函數,單調性,單調區間,奇函數,偶函數等概念.(2)能從數和形兩個角度認識單調性和奇偶性.(3)能借助圖象判斷一些函數的單調性,能利用定義證明某些函數的單調性;能用定義判斷某些函數的奇偶性,并能利用奇偶性簡化一些函數圖象的繪制過程.2.通過函數單調性的證明,進步學生在代數方面的推理論證才能;通過函數奇偶性概念的形成過程,培養學生的觀察,歸納,抽象的才能,同時浸透數形結合,從特殊到一般的數學思想.3.通過對函數單調性和奇偶性的理論研究,增學生對數學美的體驗

2、,培養樂于求索的精神,形成科學,嚴謹的研究態度.教學建議一、知識構造1函數單調性的概念。包括增函數、減函數的定義，單調區間的概念函數的單調性的斷定方法，函數單調性與函數圖像的關系.2函數奇偶性的概念。包括奇函數、偶函數的定義，函數奇偶性的斷定方法，奇函數、偶函數的圖像.二、重點難點分析p (1)本節教學的重點是函數的單調性,奇偶性概念的形成與認識.教學的難點是領悟函數單調性, 奇偶性的本質,掌握單調性的證明.(2)函數的單調性這一性質學生在初中所學函數中曾經理解過,但只是從圖象上直觀觀察圖象的上升與下降,而如今要求把它上升到理論的高度,用準確的數學語言去刻畫它.這種由形到數的翻譯,從直觀到抽象

3、的轉變對高一的學生來說是比擬困難的,因此要在概念的形成上重點下功夫.單調性的證明是學生在函數內容中首次接觸到的代數論證內容,學生在代數論證推理方面的才能是比擬弱的,許多學生甚至還搞不清什么是代數證明,也沒有意識到它的重要性,所以單調性的證明自然就是教學中的難點.三、教法建議1函數單調性概念引入時,可以先從學生熟悉的一次函數,二次函數.反比例函數圖象出發,回憶圖象的增減性,從這點感性認識出發,通過問題逐步向抽象的定義靠攏.如可以設計這樣的問題:圖象怎么就升上去了?可以從點的坐標的角度,也可以從自變量與函數值的關系的角度來解釋,引導學生發現自變量與函數值的的變化規律,再把這種規律用數學語言表示出來

4、.在這個過程中對一些關鍵的詞語(某個區間,任意,都有)的理解與必要性的認識就可以融入其中,將概念的形成與認識結合起來.2函數單調性證明的步驟是嚴格規定的,要讓學生按照步驟去做,就必須讓他們明確每一步的必要性,每一步的目的,特別是在第三步變形時,讓學生明確變換的目的,到什么程度就可以斷號,在例題的選擇上應有不同的變換目的為選題的標準,以便幫助學生總結規律.函數的奇偶性概念引入時,可設計一個課件,以 的圖象為例,讓自變量互為相反數,觀察對應的函數值的變化規律,先從詳細數值 開場,逐漸讓 在數軸上動起來,觀察任意性,再讓學生把看到的用數學表達式寫出來.經歷了這樣的過程,再得到等式 時,就比擬容易體會

5、它代表的是無數多個等式,是個恒等式.關于定義域關于原點對稱的問題,也可借助課件將函數圖象進展屢次改動,幫助學生發現定義域的對稱性,同時還可以借助圖象(如 )說明定義域關于原點對稱只是函數具備奇偶性的必要條件而不是充分條件.函數的奇偶性教學設計方案教學目的1.使學生理解奇偶性的概念,回 會利用定義判斷簡單函數的奇偶性.2.在奇偶性概念形成過程中,培養學生的觀察,歸納才能,同時浸透數形結合和特殊到一般的思想方法.3.在學生感受數學美的同時,激發學習的興趣,培養學生樂于求索的精神.教學重點,難點重點是奇偶性概念的形成與函數奇偶性的判斷難點是對概念的認識教學用具投影儀,計算機教學方法引導發現法教學過程

6、一.引入新課前面我們已經研究了函數的單調性,它是反映函數在某一個區間上函數值隨自變量變化而變化的性質,今天我們繼續研究函數的另一個性質.從什么角度呢?將從對稱的角度來研究函數的性質.對稱我們大家都很熟悉,在生活中有很多對稱,在數學中也能發現很多對稱的問題,大家回憶一下在我們所學的內容中,特別是函數中有沒有對稱問題呢?(學生可能會舉出一些數值上的對稱問題, 等,也可能會舉出一些圖象的對稱問題,此時老師可以引導學生把函數詳細化,如 和 等.)結合圖象提出這些對稱是我們在初中研究的關于 軸對稱和關于原點對稱問題,而我們還曾研究過關于 軸對稱的問題,你們舉的例子中還沒有這樣的,能舉出一個函數圖象關于

7、軸對稱的嗎?學生經過考慮,能找出原因,由于函數是映射,一個 只能對一個 ,而不能有兩個不同的,故函數的圖象不可能關于 軸對稱.最終提出我們今天將重點研究圖象關于 軸對稱和關于原點對稱的問題,從形的特征中找出它們在數值上的規律.二.講解新課2.函數的奇偶性(板書)老師從剛剛的圖象中選出 ,用計算機打出,指出這是關于 軸對稱的圖象,然后問學生初中是怎樣判斷圖象關于 軸對稱呢?(由學生答復,是利用圖象的翻折后重合來斷定)此時老師明確提出研究方向:今天我們將從數值角度研究圖象的這種特征表達在自變量與函數值之間有何規律?學生開場可能只會用語言去描繪:自變量互為相反數,函數值相等.老師可引導學生先把它們詳

8、細化,再用數學符號表示.(借助課件演示令 比擬 得出等式 ,再令 ,得到 ,詳見課件的使用)進而再提出會不會在定義域內存在 ,使 與 不等呢?(可用課件幫助演示讓 動起來觀察,發現結論,這樣的 是不存在的)從這個結論中就可以發現對定義域內任意一個 ,都有 成立.最后讓學生用完好的語言給出定義,不準確的地方老師予以提示或調整.(1) 偶函數的定義:假如對于函數 的定義域內任意一個 ,都有 ,那么 就叫做偶函數.(板書)(給出定義后可讓學生舉幾個例子,如 等以檢驗一下對概念的初步認識)提出新問題:函數圖象關于原點對稱,它的自變量與函數值之間的數值規律是什么呢?(同時打出 或 的圖象讓學生觀察研究)

9、學生可類比剛剛的方法,很快得出結論,再讓學生給出奇函數的定義.(2) 奇函數的定義: 假如對于函數 的定義域內任意一個 ,都有 ,那么 就叫做奇函數.(板書)(由于在定義形成時已經有了一定的認識,故可以先作判斷,在判斷中再加深認識)例1.判斷以下函數的奇偶性(板書)(1) ; (2) ;(3) ;(5) ; (6) .(要求學生口答,選出1-2個題說過程)解: (1) 是奇函數.(2) 是偶函數.(3) , 是偶函數.前三個題做完,老師做一次小結,判斷奇偶性,只需驗證 與 之間的關系,但對你們的答復我不滿意,因為題目要求是判斷奇偶性而你們只答復了一半,另一半沒有作答,以第(1)為例,說明怎樣解

10、決它不是偶函數的問題呢?學生經過考慮可以解決問題，指出只要舉出一個反例說明 與 不等.如 即可說明它不是偶函數.(從這個問題的解決中讓學生再次認識到定義中任意性的重要)從(4)題開場,學生的答案會有不同,可以讓學生先討論,老師再做評述.即第(4)題中外表成立的 = 不能經受任意性的考驗,當 時,由于 ,故 不存在,更談不上與 相等了,由于任意性被破壞,所以它不能是奇偶性.老師由此引導學生,通過剛剛這個題目,你發如今判斷中需要注意些什么?(假設學生發現不了定義域的特征,老師可再從定義啟發,在定義域中有1,就必有-1,有-2,就必有2,有 ,就必有 ,有 就必有 ,從而發現定義域應關于原點對稱,再

11、提出定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的什么條件?可以用(6)輔助說明充分性不成立,用(5)說明必要性成立,得出結論.(3) 定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要但不充分條件.(板書)由學生小結判斷奇偶性的步驟之后,老師再提出新的問題:在剛剛的幾個函數中有是奇函數不是偶函數,有是偶函數不是奇函數,也有既不是奇函數也不是偶函數,那么有沒有這樣的函數,它既是奇函數也是偶函數呢?假設有,舉例說明.經學生考慮,可找到函數 .然后繼續提問:是不是具備這樣性質的函數的解析式都只能寫成這樣呢?能證明嗎?例2.函數 既是奇函數也是偶函數,求證: .(板書) (試由學生來完成)證明: 既是奇函數也是偶函數,

12、= ,且 ,= . ,即 .證后,老師請學生記住結論的同時,追問這樣的函數應有多少個呢?學生開場可能認為只有一個,經老師提示可發現, 只是解析式的特征,假設改變函數的定義域,如 , , , ,它們顯然是不同的函數,但它們都是既是奇函數也是偶函數.由上可知函數按其是否具有奇偶性可分為四類(4) 函數按其是否具有奇偶性可分為四類: (板書)例3.判斷以下函數的奇偶性(板書)(1) ; (2) ; (3) .由學生答復,不完好之處老師補充.解: (1)當 時, 為奇函數,當 時, 既不是奇函數也不是偶函數.(2)當 時, 既是奇函數也是偶函數,當 時, 是偶函數.(3) 當 時, 于是 ,當 時, ,于是 = ,綜上 是奇函數.老師小結 (1)(2)注意分類討論的使用,(3)是分段函數,當 檢驗 ,并不能說明 具備奇偶性,因為奇偶性是對函數整個定義域內性質的刻畫,因此必須 均有 成立,二者缺一不可.三.小結1.奇偶性的概念2.判斷中注意的問題四.作業 略五.板書設計2.函數的