1、摘要參數線性規劃是約束條件和目標函數中的價值系數、工藝系數、資源限量中含有一個或多個參數的優化模型，是線性規劃理論的重要組成部分，線性規劃是運籌學的一個重要分支，從解決技術問題的最優化設計，到工業、農業、商業、交通運輸、軍事、經濟等，在許多領域中都有著重要的應用。在生產過程中，由于工藝條件、資源限量、市場需求、市場價格等因素都在不斷的變化，因此，最優解也就帶有一定程度的不確定性。為了及時根據市場動態及數據資料的變化調整決策方案，運用參數線性規劃這一工具，建立參數線性規劃模型，可以更好地指導實際工作，適應市場的變化達到增加收益、降低成本的目的。1947年，Dantzig針對線性規劃提出了單純形法

2、，為線性規劃發展奠定了基礎；1954年，C.萊姆基提出了對偶單純形法；1954年，S.加斯和T.薩迪等人在對偶單純形法的基礎上解決了線性規劃的靈敏度分析和參數規劃問題。近年來，參數線性規劃模型在單純形法和對偶單純形法的基礎上，又產生了搜索法、分塊矩陣法、建立神經網絡模型法等方法，隨著計算機軟件的發展，通過建立仿真模型用計算機解決參數線性規劃問題也成為一種重要的途徑。本文針對價格系數和右端資源數據中同時含有兩個參數的復雜情形，對實際問題建立了參數線性規劃模型，并分析了最優解不變的情況下，參數的變化區間，找到了最優目標函數的變化規律，并用Matlab繪出了三維仿真圖，為求解大型參數線性規劃問題提供

3、了基礎。關鍵詞：參數線性規劃；最優解；區間；對偶；決策變量AbstractParametric linear programming is one kind of optimal modle with some constraint conditions,which there exist one or more parametrics in the objective function,technology factors,or limited resourses.It is widly applicated to many fields from technical problems to

4、 optimization design,such as industrial,agricalfural,transportation,military,economic and so on.In the producing process,the solution of the parametric linear programming often will be some uncertainties,due to the change of technology conditions,resources,market demands,material prices and other fa

5、ctons.So in order to adjust decision schem and meet with the market needs,data must be changed timely and immdiatly.Parametric linear programming has play a important role in dealing with such problems.It has been a very useful tool for us to obtain decision plan and to increase value and reduce cos

6、ts.In 1947, Dantzig proposed a important method,simplex method, laying the foundation for solving linear programming; in 1954, C.Lemke proposed dual simplex method; in 1954, S. Gaston and T. Saadi and others solved the parametric programming based on studing dual simplex method to the problem of the

7、 linear programming. In recent years, many new methods the parameters of linear programming model with the basis of simplex method and the dual simplex method, produced the search method, sub-block matrix method, the establishment of neural network models and other methods. With the development of c

8、omputer software, linear programming problem with parameters can be solved by computer through the establishment of simulation computer model. In this paper, a mathematical model is created in accordance with the practical problem which has two parameters,one is in the price coefficients,anothisin t

9、he right resource data.The interval is obtained in the condition of analysis the optimal solution unchanged to provide the fundation to solve complicated parametric linear programming.By solving optimal solution,we have obtained the fuction with two parametrics.At last,the simulations have been give

10、n by MATLAB.Keywords: Parametric linear programming; the optimal solution; interval; dual; decision variation目錄第一章緒論11.1參數線性規劃的研究背景1什么是線性規劃1參數線性規劃的內容11.2參數線性規劃的研究現狀21.3參數線性規劃研究的意義3第二章 參數線性規劃的理論42.1參數線性規劃研究的常用方法4目標函數的系數含有參數的線性規劃問題4約束條件右端的常數項含有參數的線性規劃問題52.2線性規劃靈敏度分析7什么是線性規劃的靈敏度7價值系數的靈敏度分析7資源限量的靈敏度分析10

11、第三章參數線性規劃的數學建模143.1實際問題的提出143.2實際問題的分析與解決14獲利最大的生產計劃模型14 A產品的利潤變化區間的確定方法16關于開發新產品的決策研究16購入原材料進行擴大再生產的必要性的理論分析17影子價格的含義及分析18第四章 兩參數線性規劃問題的解法204.1兩參數線性規劃的定義204.2兩參數線性規劃問題的求解方法204.3兩參數線性規劃問題的分析與求解22第五章 結論27參考文獻28謝辭29附錄一1附錄二6參數線性規劃的算法研究第一章 緒論1.1參數線性規劃的研究背景什么是線性規劃 線性規劃是運籌學的一個基本的，也是成熟的分支。為了解決二次世界大戰中的后勤供應問

12、題，早在20世紀30年代末期康托洛維奇和希奇柯克等在生產的組織和運輸問題等方面就開始研究應用這一數學方法。10多年后Dantzig等人提出的單純形方法給線性規劃這一數學方法的成熟與發展奠定了堅實的理論基礎。隨著時間的推移，能用線性規劃解決問題的類型在大量的增加。現在幾乎所有的工業領域、商業領域、軍事領域及科學技術的研究領域都在不同程度地運用這一方法。正是由于它的應用，全球每年各個領域節省了上億萬美元的資金，而各個生產部門也創造了大量的經濟效益。我國在建國初期就開始應用線性規劃這一數學方法。線性規劃方法是一種重要的數學方法，線性規劃方法是企業進行總產量計劃時常用的一種定量方法。線性規劃是運籌學的

13、一個最重要的分支，理論上最完善，實際應用得最廣泛。主要用于研究有限資源的最佳分配問題，即如何對有限的資源作出最佳方式地調配和最有利地使用，以便最充分地發揮資源的效能去獲取最佳的經濟效益。由于有成熟的計算機應用軟件的支持，采用線性規劃模型安排生產計劃，并不是一件困難的事情。在總體計劃中，用線性規劃模型解決問題的思路是，在有限的生產資源和市場需求條件約束下，求利潤最大的總產量計劃。該方法的最大優點是可以處理多品種問題，可解決如運輸問題、生產的組織與計劃問題、合理下料問題、配料問題、布局問題、分派問題等。參數線性規劃的內容 在線性規劃的實際應用中，由于某種原因，有時線性規劃問題的目標函數的系數c和約

14、束條件的常數項b的數據不是固定的常數，而有所波動。例如在制訂生產計劃時，一個工廠生產的各種產品的價格，由于原材料的供應價格有所波動，因而也有所波動。這樣，代表總利潤的目標函數中的價格系數c便會隨某個參數（即原材料的價格升降百分數）而改變。又例如，在同樣的問題中，由于供應原材料的單位的生產發生改變，原材料的限制量產生波動時，那么約束條件右端的常數項b也將隨某個參數（即原材料生產增長的百分數）而有所改變。再比如，該工廠的工藝技術條件發生變化，那么原線性規劃問題約束條件的系數矩陣的系數就隨之改變。這樣的一些線性規劃問題，便是所謂的“參數線性規劃”。對于這種線性規劃，我們所關心的時在參數的可能范圍內，

15、求出問題的最優解，即可以用原來數學模型按實際出現的目標函數的系數或約束條件右端的常數項來決策最優方案【2】。在實際的生產或經濟活動中，應用線性規劃方法解決實際問題時，僅僅求出最優解或最佳決策是不夠的，還必須掌握參數變化對最優解或最佳決策的影響，即要做靈敏性分析。依據變化了的情況，采取相應的措施，做好相應預案，爭取更好的經濟利益。否則，如果事先對這方面的情況沒有充分的了解和準確的估計，難免導致決策失誤，造成經濟上的損失。當線性規劃中的工藝系數、價值系數、資源限量中一個量或多個量變成確定或不確定區間里的一個參數時，這時線性規劃模型就變成一個參數線性規劃的模型。當對參數線性規劃模型模型里的參數賦予具

16、體的值的時候，這時又變成了線性規劃模型。線性規劃模型是研究參數線性規劃的依據，所有的參數線性規劃模型的建立于解決都是建立在線性規劃模型的基礎上。但現實中市場瞬息萬變，變化是絕對的，工藝系數、新產品的加入、市場價格、資源需求等因素都在改變，原生產計劃建立的線性規劃模型也就不適用于實際生產中去了，這時候就需要建立參數線性規劃模型，所以參數線性規劃模型較線性規劃模型在實際生產中更有實際意義。1.2參數線性規劃的研究現狀線性規劃作為運籌學的一個重要分支，從解決問題的最優化設計到工業、農業、交通運輸軍事等許多領域都有著重要的應用。參數線性規劃是線性規劃的重要組陳部分之一，幾乎在Dantzig的單純形法出

17、現后不久，就開始了對參數線性規劃的研究。參數線性規劃的研究源于實際問題的需要，比如運輸問題中的單位貨物運價的變化（對應目標函數的價值系數的變化）；資源利用數量的變化（對應約束條件右端的資源限量的變化）；生產工藝改進（對應約束條件的工藝系數的變化）；甚至其中兩者或三者皆變，所以對參數線性規劃的研究有其現實意義。所以在1954年S.加斯和T.薩迪等人在C.萊姆基提出對偶單純形法的基礎上解決了線性規劃的靈敏度分析和參數規劃問題。目前，處理參數線性規劃的主要方法仍然是單純形表上作業法，或是從對偶理論出發建立對偶單純形表進行求解。此類方法屬于對參數線性規劃求解的傳統方法，如當參數線性規劃的決策變量和約束

18、條件都比較多的時候，也就是所謂的規模比較大的時候，單純形表上作業法的缺點就十分突出，處理起來非常困難，甚至求解失敗，得不到最優決策。隨著計算機軟件功能的日漸增強，新的算法設計思想的日益活躍，給計算工作帶來了更多的便利。經過許多科學家的努力，現在參數線性規劃在以單純形表法的基礎上得到許多新的算法。如當參數、約束條件、決策變量都比較多的時候，也就是大型參數線性規劃模型求解時，可以用搜索法確定參數變化區間，從而確定最優決策；分塊矩陣方法求解參數線性規劃；利用進化策略和神經網絡模型建立參數線性規劃的數學模型，采用精英保留策略的方法求的最優解。但是以上各種方法都存在局限性，局部使用，沒有完整的理論體系，

19、所以參數線性規劃的算法研究還有很地方需要改進和努力。1.3參數線性規劃研究的意義線性規劃應用于工業、農業、商業、行政、軍事、公用事業等各個領域，從各種限制條件的組合中，選擇出最為合理的計算方法，建立線性規劃模型從而求得最佳結果。在實際生產、經營、管理等活動中會因各種因素的變化而導致最優決策而改變，所以一般的線性規劃模型為企業管理提供了理論基礎，但該線性規劃下建立的數學模型不適合應用于實際生產活動中去，所以用一些不確定的參數來代表目標函數或約束條件中的不確定因子，從而引出了參數線性規劃的概念。參數線性規劃，在實際工作中有較廣泛的應用價值，解決了參數連續變化時，最優解的變化規律，確定了最優解發生變

20、化的各個的取值，最終解決實際工作中的各類問題。第二章 參數線性規劃的理論2.1參數線性規劃研究的常用方法目標函數的系數含有參數的線性規劃問題一般地，假定線性規劃問題的目標函數的系數向量C變成，其中2-1這時，可行域一般不變化，故原問題的最優解還是新問題的基本可行解。但是，需要修改目標行。新檢驗數為，其中；新目標函數值為。要使原問題的最優解還是新問題的最優解，則要求。 若，則等價于； 若，則等價于。 令2-2則要使成立，便要。與分別稱為B的下特征數和上特征數，而閉區間稱為B的最優區間。 因此對于B的最優區間中的每個所對應的解都是新問題的最優解，目標函數的最大值為，其中。即對于B的最優區間中每個所

21、對應的最優解是相同的，但目標函數的最大值為的函數【1】。 現在考察對于最優區間外的值，最優解的變化情況。 首先，當（為一有限數）時，求解所給線性規劃問題。 假設j=s時，則。于是當時，得。這時，如果單純形表中對應的列沒有正數，則目標函數無上屆，新問題無最優解，否則用單純形方法進行換基迭代,從而得到一個新的最優解。 其次，當（為一有限數）時，求解所給線性規劃問題。 假設j=t時，則。于是當時，得。同上面一樣用單純形方法進行換基迭代，從而得到一個新的最優解，或判明此問題無最優解。約束條件右端的常數項含有參數的線性規劃問題 假定線性規劃問題的約束條件的右端常數項b變成，其中。這時，只需修改右端一列，

22、便可得到新問題的單純形表，新表右端一列為 2-3檢驗數均不改變，故仍然有。要使原問題的最優基還是新問題的最優基，則要求 2-4如果，那么等價于；如果，那么等價于。令 2-5那么要使成立，便要與分別稱為B的上特征數與下特征數，而閉區間稱為B的最優區間。因此對于最優區間中的每個所對應的解2-6都是最優解，這時目標函數的最大值為 2-7其中 2-8與前一種參數線性規劃不同，這里，對于B的最優區間中每個，不但目標函數的最大值是的函數，而是最優解也是的函數。現在我們考察對于最優區間外的其他值，最優解的變化情況。首先，考察的情形。假設是在時達到的，即 2-9于是由得 2-10即 2-11這時如果單純形表中

23、第r行沒有負數,則當時，問題無最優解；如果有負數，則用對偶單純形方法進行換基迭代，從而可得時的一個新的最優解。其次，考察的情形。假設是在時達到的，即2-12于是由得2-13即 2-14這時再用對偶單純形方法進行換基迭代，或判明無最優解。2.2線性規劃靈敏度分析什么是線性規劃的靈敏度當線性規劃問題數據比較準確，約束條件比較完整時，得到的解對指導實際管理的可靠性就大。事實上，在生產過程中，工藝條件、資源數量、市場需求、市場價格等因素都在不斷地變化，有些數據也是通過估計或預測得到的，帶有不確定性，這時得到的解也就帶有一定程度的不準確性。有些數據在一定范圍內變化時，最優解可能改變也可能不變。例如，產品

24、A市場價格為6元/件，一個月降到5元/件，這時產品A的生產量就有可能變化或者由于利潤太低而不生產產品A。又如，原材料供應量變化或者改變工藝、增加新的產品等因素的變化，原決策方案就要隨之改變。這些現象都是客觀存在的。做為企業決策者必須隨時掌握市場動態及數據資料的變化情況，及時調整決策方案，有效的利用線性規劃這一工具，更好地指導實際工作，達到增加效益、降低成本的目的。線性規劃的靈敏度分析（Sensitive Analysis）也稱為敏感性分析，它是研究和分析參數的波動對最優解的影響程度，主要研究下面兩個方面：（1） 參數在什么范圍內變化時，原最優解或最優基不變；（2） 模型發生變化（增減約束、變量

25、，參數變化）時，最優解或最優基有何變化。當模型的參數發生變化后，可以不必對線性規劃問題重新求解，直接在原線性規劃取得的最優結果的基礎上進行分析或求解，既可減少計算量，又可根據參數的變化范圍，及時對原決策做出正確的調整和修正。價值系數的靈敏度分析為使最優解不變，求的變化范圍。設線性規劃其中線性規劃存在最優解，設最優基矩陣為 2-15檢驗數為2-16要使最優解不變，即當變化為后，檢驗數仍然是小于等于零，即2-17這時分是非基變量和基變量的系數兩種情況討論。（1）是非基變量的系數即，當時最優解不變，否則最優解就要改變。（2）是基變量的系數因，當變化為后后同時變化，令當時有，當時有。令2-18要使得所

26、有，有 只要求出上限及下限就可以求出的變化區間。因，故，。具體計算，時可以按的符號分成兩部分，分別求比值，然后在比值為負號中取最大者就是，比值為正號取最小者就是，當出現時，可能無上界或無下界。問題1.已知線性規劃（1）求最優解（2）分別求，的變化范圍，使得最優解不變解 （1）加入松弛變量，用單純形法求解最優表如表2-1所示。表2-1113000013010-21100110001000155150-300-1-2最優解為，最優值Z=50。（2）為非基變量，為基變量，則變化范圍是或對于：表2-1中對應行的系數只有一個負數，有兩個正數及，則有的變化范圍是，或對于：表2-1中對應行，而，則有無上界，

27、即有，的變化范圍是或。對的變化范圍，也可以直接從表退出，將寫成。分別計算非基變量的檢驗數并令其小于等于零，要使，同時小于等于零，解不等式組得，同理，用此方法可求出和的變化區間。資源限量的靈敏度分析 為了使最優基不變，求的變化范圍。設的增量為，的增量,原線性規劃的最優解為X，基變量。3-193-203-21既要滿足3-22當時有，當時有。令3-23因而要使得所有，必須滿足這個公式與求的上、下限的公式類似，比值的分子都小于等于零，分母是中第r列的元素，大于等于比值小于零的最大值，小于等于比值大于零的最小值。當某個時，可能無上界或無下界。問題2.已知線性規劃求，分別在什么范圍內變化時，原最優基不變。

28、由表2-1知，最優基，分別為 對于：比值的分母取的第一列，這里只有，而，則無上界，即，因而在內變化時最優基不變。 對于：比值的分母去的第二列，則即在上變化時最優基不變。 對于：比值的分母取的第三列，有故有，在上變化時最優基不變上述及的最大允許變化范圍是假定其他參數不變的前提下，單個參數的變化范圍，當幾個參數同時在各自范圍內變化時，最優解或最優基有可能改變。第三章 參數線性規劃的數學建模3.1實際問題的提出根據市場要求，某生產單位可生產A、B、C三種產品，其所需專業技人員，材料等有關數據見表3-1。表3-1 產 品資 源A B C可用量（單位）技術力量材料 6 3 5 3 4 54530產品利潤

29、（萬元） 3 1 4根據表3-1的資料，要求計算確定：1） 獲得利潤最大的產品生產計劃；2） 產品A的利潤在什么范圍內變動，前面計算出的最優生產計劃不發生變化；3） 如果開發一種新產品D，單位技術力量消耗是8，材料消耗2單位，每件新產品可獲利3萬元，如果從經濟效益考慮，那么，這種新開發的產品是否值得生產；4)該生產單位的技術力量數量是固定不變的,但生產材料不足時可以從市場購買,每單位購入價為0.4萬元,那么,該單位要不要購入生產材料擴大生產,以購入多少最為適宜？這是一個實際生產的決策問題，下面按要求分別計算最優解，獲取量化的最優決策。3.2實際問題的分析與解決3.2.1獲利最大的生產計劃模型首

30、先，根據表3-1的資料建立數學模型，設A產品生產件B產品生產件C產品生產件那么，最優生產計劃的數學模型可以寫成如下形式：其次，將上述數學模型化為標準形式，以便利用單純形法進行解算。加入松弛變量，得到以下標準形式：用單純形法求出上述線性規劃問題的最優解。見表3-2表3-231400基0045306334551000931400041563-10110-1100034531010100-200經過用單純形法計算求得最優解,即能夠獲利潤最大的生產計劃:A產品生產5件,B產品不生產,C產品生產3件。這樣，可以獲得最大利潤，最大利潤為maxZ=3×5+4×3=27(萬元)產品的利潤變

31、化區間的確定方法產品A的利潤在什么范圍內變化,使得前面求出的最優生產計劃(最大利潤)不變呢?設A產品的利潤為d，將d帶入表3-2中，把的系數換成<d>，很顯然，如果檢驗數，則說明仍為最優解，換而言之，<d>的變化區間求出來了，問題就解決了，仍利用原單純形表重新計算檢驗數。見表3-2最下面一行。根據計算出的檢驗數，有下列結果，如果則最優解不變。解上式得于是，得到這樣的結論：第一臨界值為，第二臨界值為，產品A利潤在范圍內變化時，不會對原最優生產計劃產生影響。關于開發新產品的決策研究按照前面的材料及要求，如果生產新產品D，要消耗單位技術力量8，材料消耗2單位，每件產品利潤為3

32、萬元，從經濟效益考慮是否值得生產？針對這種問題，可以重新建立數學模型，求出最優解，與原最優解對比。以確定是否生產新產品。但實際工作中，尤其是比較復雜的生產決策問題，如果用下面的方法處理，似更簡單直觀。其原理和結果都是一樣的。設：增加新產品D生產件，則，根據原最終表上式中的是原最終表檢驗數的相反數。據此，在原最終表上增加一列，繼續迭代：表3-3314003基34531010120-20345011000根據上述計算結果,代入數學模型,得到以下結論:如果增加新產品D(萬元)而增加產品D獲得利潤為27.5萬元，大于原最大生產利潤0.5萬元（原最大利潤27萬元），從經濟效益考慮，是值得生產的。購入原材

33、料進行擴大再生產的必要性的理論分析由于問題提出的前提是技術力量不變，如果需要時可以增加購買原材料，單位價格0.4萬元，這一問題的實質是確定是否增加投入，購買原材料，擴大生產，那么購買多少最適宜。仍利用原最終表，并將參數直接反映到最終表上，采用對偶單純形法計算見表3-4。表3-431400基3453101010-20（將參數直接反映到最終表）34101010-20049-3101-11000原最終表中最后一列檢驗數“”是影子價格，絕對值為0.6萬元，而0.6>0.4（萬元），故購入原材料是合算的。關于影子價格的含義在后面專門介紹。經過上述計算，得到的結果是：材料市場價格低于影子價格，故可購

34、入，用參數規劃計算，確定購15個單位最佳。影子價格的含義及分析關于影子價格，仍用前例來說明。在表中技術力量可用量為45（單位），材料可用量為30（單位）。從廣義上理解，45和30代表的是不同資源的擁有量，它的對偶變量則代表對第種資源的估價。這種估價不是資源的市場價格，而是根據資源在生產中產生貢獻所作出的估價，它是生產單位的產品所存在的一種特殊的估計價格，在經濟學中稱之為影子價格（shadowprice）【3】。（1）資源的市場價格是已知數，相對而言，是比較穩定的，而影子價格直接受到資源利用情況的影響，因此是未知數。從前面的例子可以知道，如果生產單位的生產任務、產品結構等情況發生變化時，資源的影

35、子價格也會隨之改變。（2）影子價格是一種邊際價格。由對偶問題的性質可知，在利用單純形法每步迭代中，恒有，由于，故。如果原問題中的，都不發生變化，而中只有發生變化，可以預見，若限定在某一范圍內變化時，原問題的最優基B可能保持不變，這里若把最優解對應的目標函數值，看成是的函數，則偏導數3-1即為增加一個單位時所引起的最優值的改變量。（3）資源的影子價格又是一種機會成本。仍以前例來說明，如果購買原材料，其市場價格是0.4萬元，而計算出的影子價格是0.6萬元，當然買進時合算的。鑒此，可以得出這樣的結果：在生產決策中，資源的市場價格低于影子價格，即可買進，反之又可以賣出這種資源。影子價格與市場價格保持同

36、等水平，則處于平衡狀態【3】。（4）由于對偶問題的互補松弛性質中有“當時，當時有”，這表明生產中若某種資源的擁有量未得到充分利用時，該資源的影子價格為0時，表明該種資源在生產中以耗盡。（5）影子價格的計算可以反映出產品的隱含成本，（生產單位產品消耗資源的影子價格的總和即產品的隱含成本）。當產品產值大于隱含成本時，表明生產該種產品有利，反之，說明利用該資源生產其他產品會更有利。此即單純形法中各個檢驗數的經濟意義。（6）一般來說，對線性規劃原問題求解是確定資源的最優配置，而對于對偶問題的求解則是對資源的恰當估價，這種估價對合理利用資源，控制成本，計算最低利潤等都是實用有效的。第四章 兩參數線性規劃

37、問題的解法4.1兩參數線性規劃的定義兩參數線性規劃定義為如下形式的線性規劃（記為） 4-1其中是給定的價值向量，是給定的變化向量，是給定的右端系數向量， 是變化向量，為未知參數。顯然，當時，變成，這就是通常的線性規劃問題。對于，如果改變參數的值，將引起全體價值系數的變化，如果改變參數的，將約束方程右端系數同時發生變化。我們來討論隨著，取值的變化，最優解將發生什么變化【10】。4.2兩參數線性規劃問題的求解方法首先需要用分塊矩陣將的單純形法進行簡化。為如下的線性規劃：4-2設，則矩陣形式為：4-3若是最優基，則單純形法的實施步驟可簡化如下4-4其中I為單位陣，為非基變量的檢驗數，它是非負的。由得

38、最終表4-4可以看出，最優解。下面我們來討論的求解方法。同前一樣，的單純形法可簡化如下：， 4-5其中同前所述，。下面我們分四種情況來討論：情形 當，且時，與有相同的最優基，其最優解為：，。情形 當，且，用單純形法繼續換基即可。具體步驟如下：1） 求的最終表4-5、最優基及。4-62） 在4-5的末行添加，末列添加得到一個新的分塊矩陣4-7對此矩陣試行行的初等變換即得4-7。3） 對4-7施行單純形法，繼續換基就可得最優解、最優值。情形 當且時，用對偶單純形法繼續換基即可。情形 當且時，這就需要引進人工變量，用大法求解。4.3兩參數線性規劃問題的分析與求解討論當，時，下列參數線性規劃問題的最優

39、解：解 將上述模型化為標準型4） 求的最終表由的最終表可得5） 由的最終表可得如下：。3）a當且即，。b.當，時，用對偶單純形法求解，分兩種情況討論：當時，此時以為主元進行換基運算如下：。此時，最優解為，。當時，以為主元換基運算如下：。此時，最優解為， 。c.當，時，這時以為主元進行換基運算如下：此時，最優解為，。d.當，時，用大法求解如下：其中。此時，最優解為，。 綜上，得出該兩參數線性規劃的優化結果是分片函數：其部分仿真結果如圖4-1，4-2。圖4-1圖4-2第五章 結論參數線性規劃理論從提出至今已有五十多年的歷史，期間大量的數學家共同努力研究出許多關于參數線性規劃的算法，針對實際問題建立參數線性規劃模型并求得最優解，解決了大量生產管理和科學技術中的問題。參數線性規劃的研究意義重大，實際處理時可將參數線性規劃模型與線性規劃理論密切聯系，并運用到實際生產活動中，為實際生產活動提供理論指