1、有源功率因數校正電路中電壓、電流放大器補償網絡元件之計算引言眾所周知，在臨界導通或連續導通的有源功率因數校正（APFC）IC電路中，都有運算放大器作電壓放大器或電流放大器，并且為了使放大器滿足一定的頻率響應的要求，在放大器的外接電路中還要加反饋網絡（或稱補償網絡）。反饋網絡一般有兩種接法：一是接在放大器的輸入與輸出之間；二是接在輸出與地之間，視運算放大器的類型而定。前一種接法中電路的形式如圖1所示，圖中為補償網絡的RC元件。在后一種接法中，運算放大器是跨導型的，補償網絡接在輸出與地之間，但補償網絡的形式不變。如何選擇和計算補償元件的參數，是一個在設計電子鎮流器中功率因數校正電路時必須解決的問題

2、。在一般的文獻資料中，通常是根據對放大器的電壓傳輸函數（或頻率響應）隨頻率變化的要求，即輸出電壓/輸入電壓比依賴于頻率的關系來選擇的。其中，電壓傳輸特性多用波特圖和零點、極點來表示。但一般從事節能燈及電子鎮流器設計的技術人員對這方面知識了解不多，而現有資料介紹得又比較簡略，往往只給出結論，沒有必要的說明。因此本文準備先復習一下有關線性系統的傳輸函數、零點、極點、波特圖等基本知識，然后再討論放大器反饋（補償）網絡元件的計算方法，使相關技術人員能夠合理地選擇元件，避免盲目性。此外，由于現有網上提供的各種技術了中，對反饋（補償）網絡元件的計算公式，不同公司所給出的方法不盡相同，有的文獻中所給出的元件

3、參數差別很大，有時會達到1個數量級之多，使人有莫衷一是的感覺。所以，溯本追源，從根本上對反饋（補償）網絡元件的計算公式加以推到是很有必要的，這對閱讀電子鎮流器IC的有關技術資料、理解放大器反饋（補償）網絡的計算公式是很有意義的。1 線性系統的傳輸函數、極點和零點、波特圖在線性系統中，當系統受到輸入量的作用后，其輸出為。將輸入量和輸出量經拉普拉斯變換后，分別用、表示。則可以定義輸出量與輸入量拉氏變換之比為系統的傳輸函數，記作，即：式中，、是以最高冪分別為,表示的多項式。對于任何一個系統，知道了它的傳輸函數和輸入量并將其變換為拉氏變換式，就可以按上式求出它的輸出量的拉氏變換式，進而求出輸出量。根據

4、輸入量、輸出量可以為電壓或電流的不同形式，傳輸函數有4種形式，在這里我們只給出電壓傳遞函數，即以、分別表示系統的輸入、輸出電壓時，輸出電壓與輸入電壓之比稱為系統的電壓傳輸函數：（1）將傳輸函數的分子、分母多項式分別進行因式分解，則可以表示為：（2）式中，是分子多項式等于0的根，叫做零點，表示第k個零點。是分母多項式等于0的根，叫做極點，表示第i個極點。稱為標尺因子。因為分子、分母多項式的最高冪分別為m和n，所以有m個零點和n個極點。通常將分母多項式的最高冪n稱為傳輸函數的階，如n=2，則稱傳輸函數為二階函數，n=3，則稱為三階函數，以此類推。在式(2)中，如以代替s，則傳輸函數變為式(3)的形

5、式：(3)它是線性系統在簡諧信號(正弦信號)作用下的電壓傳輸函數。對于線性系統為電壓放大器來說，電壓傳輸函數習慣上又稱為頻率響應特性，它表示放大器的電壓增益及其相移隨頻率變化的情況。傳輸函數式(3)進一步還可以表示為：(4)式中，是時頻率特性函數的值，為常數。以和分別代表分子和分母的一個因子，則式(4)的分子是、的連乘式，分母是、的連乘式，如式(4)的最右邊的等式所示。頻率響應特性的幅模A可表示為：(5)式中，、分別代表每一個因子、的幅模。如果對式(5)的兩邊取對數，就變成一些對數的代數和，分子的對數為正，而分母的對數為負，即：式中右邊第一項為一個常量，加上它，相對于幅頻特性在縱軸上垂直移動該

6、常量值。后面的一些項表示所有的極點和零點對頻率響應特性的貢獻的代數和。這樣，對于多極點和零點的系統，我們只要分析和求出1個極點和1個零點對頻率特性幅模和相位的貢獻，就不難求出每一個極點和零點對頻率響應特性的貢獻，最后將所有零極點對頻率響應的貢獻取代數和就可以了。為使討論簡單，在以下的分析中，我們只討論極點和零點均為負實數的情況，因為對于一個穩定的系統，其極點只能為負實數或實部為負的共軛復數。令：、均為正的實數。由此得到：1個零點的因子表達式為：，1個極點的因子表達式為：。它們的幅模隨頻率變化可分別表示為：；(6)取對數后變為：(7)它們的相角隨頻率變化可分別表示為：(8)根據式(7)、(8)可

7、以分別作出一個零點和極點的幅頻特性和相頻特性。幅頻特性曲線的縱坐標為增益，以分貝表示，而不直接以放大倍數表示；橫軸為頻率，以它的對數值表示，即按10倍頻均勻變化。用這種方法做出的頻率特性曲線叫做波特圖，或稱為對數幅頻特性曲線和對數相頻特性曲線。2 單零點、單極點的幅頻特性和相頻特性的近似曲線、波特圖示例2.1 單個零點的幅頻特性、相頻特性波特圖由上述分析可知，對任何一個復雜系統，只要分析個零點和個極點，最后將所有零、極點對頻率響應的貢獻取代數和就可以得到整個系統的頻率響應。由式(7)，當時，個零點的幅頻特性可近似表示為：。在橫軸、縱軸均按對數刻度的坐標系中，它是1條與橫軸交于零點頻率為處、斜率

8、為20dB/10倍頻（即頻率每增加10倍、增益就增加10dB）的斜線，這條直線就是頻率時單個零點隨頻率變化的幅頻特性曲線的漸近線。由式(7)還可以知道，當時，該式可近似表示為0，即放大倍數為1，輸出基本上等于輸入。當時，輸出等于輸入。 按上述分析，可以求出單個零點的幅頻特性及相頻特性的波特圖，如圖2所示。圖2(a)中橫坐標為頻率，按0.1、1、10、100均勻等值變化；縱坐標為增益，用分貝表示，按10、20、30分貝均勻變化。圖2(a)實線為幅頻特性的近似曲線，虛線為幅頻特性的實際曲線。根據類似討論，可以得到單個零點的相頻特性，如圖2(b)所示，實現為相頻特性的近似曲線，虛線為相頻特性的實際曲

9、線。2.2 單個極點的幅頻特性、相頻特性波特圖根據類似的方法，還可以畫出單個極點的幅頻特性及相頻特性的波特圖。如圖3所示。1個極點的幅頻特性曲線是：當時，它是1條與橫軸交于極點頻率處、斜率為-20dB/10倍頻（即頻率每增加10倍、增益就減少20dB） 的斜線，而當時，它靠橫軸很近，即放大倍數接近于1，輸出差不多等于輸入。當時，它與橫軸重合，輸出等于輸入。圖3 單個極點的幅頻特性及相頻特性的波特圖3 一些RC電路的幅頻特性畫法舉例下面舉一些例子，來說明如何計算一個具體電路的幅頻特性，并畫出波特圖，以增加讀者對如何用波特圖表示電路的幅頻特性的感性認識。3.1 例1 求圖4所示的頻率特性并畫出其波

10、特圖3.1.1 圖4(a)電路的頻率特性對圖4(a)，有關系式，由此得到圖4(a)電路的頻率響應特性即傳輸函數為：(9)它有1個極點，其極點頻率（極點頻率處，電阻與容抗想等，即），代入上式，頻率響應特性的表達式（）可以改寫為：傳輸函數的幅模即幅頻特性為：若用分貝表示，則有：(10)其相頻特性為：(11)由式(10)、(11)不難畫出幅頻特性和相頻特性，如圖5所示：式(10)右邊第1項表示極點頻率一下，當頻率按10倍頻減少時，對數位-1，對幅頻特性的貢獻為-20dB。即頻率每減少10倍，增益將下降20dB。右邊第2項表示當頻率比極點頻率大很多時，方括號中的1可以忽略不計，這樣，在頻率比極點頻率大

11、很多時，第1、第2兩項之和為0。幅頻特性曲線和水平軸重合。增益為0，放大倍數為1，輸出等于輸入。上述幅頻特性還可以根據前面所講的傳輸特性的零極點畫法直接畫出來。由式(9)可知：傳輸函數有1個零點，1個極點。對這種的零點的處理不同于一般的零點，在下面畫波特圖時，對這一點將特別加以說明：電路的近似幅頻特性即波特圖的畫法如下：1) 對零點為的處理，不像非零的零點，直接在橫坐標的零點處以+20dB/10倍頻為斜率做一條直線，而是在此零點的后面的極點以+20dB/10倍頻做一條直線1，如圖6中的細實線所示，它的斜率是正的，它代表式(9)中的分子對幅頻特性的貢獻。顯然，當頻率的10倍頻增加時，增益將增加2

12、0dB。2) 對極點的處理，仍然按上面的方法在橫坐標軸上處以-20dB/10倍頻為斜率，在圖6中作另一條直線2，它的斜率是負的；當斜率按的10倍頻增加時，增益將減少20dB3) 將直線1和直線2相加，得到近似的幅頻特性曲線為折線3，它是直線1和一段水平線的和(圖中用粗線表示折線3)；實際上它就是上述電路的幅頻特性的波特圖。折線3 的水平部分與橫坐標重合，因為從圖(a)電路可以看出，在頻率很高時，電容C近似短路，輸出等于輸入，增益為1，取對數后增益為0，應當與橫軸重合，圖6的幅頻特性就是前面圖5的近似曲線，二者的幅頻特性是一致的。3.1.2 圖4(b)電路的頻率特性對圖4(b)電路有：由此得到圖

13、4(b)電路的頻率響應特性為：它只有個極點：，它就是前面分析的單極點情況，按上面的分析，它的幅頻特性就是圖所示的圖形，開始一段與橫坐標重合，以后在橫坐標極點處-20dB/10倍頻為斜率作一條斜線，它的斜率是負的。3.2 例2 求圖7所示電路的阻抗及零、極點在有的IC電壓誤差放大器中也用圖7這種阻容網絡作反饋補償用，但比較少見：圖7電路的阻抗表達式為：(12)由式(12)可知，它有1個零點頻率：；兩個極點頻率0，。根據其零點、極點頻率不難畫出其幅頻特性來。在做了上述知識的鋪墊之后，下面轉入本文的關鍵部分，討論有源功率因數校正中電壓、電流放大器補償網絡元件參數的計算方法。4 PFC控制器中電壓誤差

14、放大器補償網絡的分析在分析功率因數校正電路時我們知道，APFC控制器中電壓誤差放大器的主要作用是將輸入的直流電壓的采樣信號（輸出直流電壓經電阻、分壓后得到）加以放大，它的輸出通過IC內部電路的控制作用，可以保持直流電壓的穩定；在放大時還要求對采樣信號的二次諧波的紋波電壓予以衰減，盡量減少此分量的輸出電流按輸入電壓變化，表現出純粹的正弦波，以提高電路的功率因數。因此，電壓誤差放大器的通頻帶必須很窄，只對直流電壓放大，而對二次諧波加以衰減。為此，需要對放大器加補償網絡，使之具有所希望的頻率響應特性。帶補償網絡的電壓誤差放大器的典型電路如圖1所示，這也是電壓誤差放大器的一種最常見的電路形式。眾所周知

15、，圖1所示加補償后理想運算放大器的傳輸函數表達式為：其中，為信號源內阻，為反饋網絡的阻抗。根據戴維南定理，內阻是分壓電阻網絡中、的并聯值，考慮到分壓電阻一般有，所以上式中可以近似用代替。是RC補償網絡的并聯阻抗，經化簡后得到：(13)在實際應用中，上式中的、取值一般為，約為的1/10左右，可以認為，因此有式(13)最右邊所示的簡化式。將簡化式(13)除以信號源內阻，即除以，便得到加反饋的放大器的傳輸函數。(14)式(14)表明，圖1所示電路的傳輸函數有1個零點：或；有兩個極點：或。傳輸函數中的常數項是一個與頻率無關的常數，如以對數表示，則為一固定的分貝數。如果，則此項為正分貝值；如果，則此項為

16、負分貝值。在一般的PFC的IC中，約為10100k，一般小于10k，因此在通常的情況下，此常數項為正分貝值。前已提及，誤差放大器的輸入電壓是由PFC的輸出直流電壓經過電阻分壓而來的，有一個分壓比，該分壓電阻為、，分壓比為。如計算由直流輸出電壓到誤差放大器的輸出的總傳輸函數，則其表達式應為：或者可以改寫為：(16)其中的常數項為，在一般的PFC IC中，約為1M，一般小于10k，顯然，這一項的對數為某一負分貝數。由以上分析說明，式(14)、式(16)是相似的。它們的波特圖的形狀是相似的，只是曲線沿縱軸向上或向下平移了某一分貝數而已。下面在畫圖1的幅頻特性(圖8 )時，因為只涉及到幅度隨頻率的變化

17、，可以不必考慮負號(負號表示輸出與輸入時反相的)。根據式(14)，并參照圖6的作法，圖1電路的幅頻特性的具體畫法如下：1. 在橫坐標軸上的零點處（在零點頻率，容抗與電阻相等），以-20dB/10倍頻為斜率，做1條斜線1；它代表傳輸特性中分母對傳輸特性的貢獻。2. 在橫坐標軸上零點，以20dB/10倍頻為斜率，作另一條斜線2；3. 在橫坐標軸上極點處，以-20dB/10倍頻為斜率，作另一條斜線3;4. 將直線1,2,3相加，得到合成的折線組合4，并以粗線表示5. 再加上，是頻率特性函數前面的比例因子，即將合成折線垂直移動一定的dB數，便得到運放的頻率響應(傳輸特性)的最后的曲線。如果僅考慮補償前

18、的運放的頻率響應式(14)，則如前面所分析的，有可能成為正值，合成折線垂直向上移動，運放的傳輸特性就會落在第一象限里。這就是一般在鎮流器PFC控制器IC的資料中經常看到的加補償后的電壓放大器、電流放大器傳輸特性曲線，如圖8(b)中的曲線5。如果還要考慮PFC控制器輸出直流電壓的電阻分壓比，則如前面所分析的，公式(16)取對數后，式，由于一般小于1，其對數為負數，故最終得到的總幅頻特性曲線5是在曲線4的下方，一般應畫在第4象限，如圖8(c)中曲線5在一般的IC資料中，通常會給出電壓放大器的幅頻特性，它就是圖8中的曲線5，有的畫在第一象限，有的畫在第四象限。不難看出，它有個轉折頻率；零點頻率和極點

19、頻率，分別為和。在零點頻率之前，頻率較低時，放大器有較大的增益，對直流電壓給予放大；在極點頻率之后，則有較大的衰減，如讓二次諧波頻率高于極點頻率，就能對二次諧波加以抑制。5 PFC控制器中電壓誤差放大器補償網絡元件的計算如前所述，電壓誤差放大器主要用來放大輸出直流電壓的采樣電壓，而對于其中二次諧波分量則希望加以衰減，輸出越小越好，這樣才能使輸入電流按輸入電壓變化，提高電路的功率因數。所以電壓誤差放大器的頻帶是很窄的。在計算電壓誤差放大器的補償網絡元件值時，通常就是根據放大器的通頻帶的寬度，即選擇幅頻特性的2個轉折頻率（零點頻率和極點頻率）來計算反饋元件的值。國外的技術資料對轉折頻率的選擇不盡相

20、同，比較多的是選取極點頻率為輸入線電壓頻率50Hz或60Hz之半，即20Hz或30Hz，而零點頻率為極點頻率的1/10，即2Hz或3Hz。但是也有的資料選取極點頻率很低，僅為1.6Hz。一般來說，極點取得越低，對二次諧波的紋波電壓衰減越大。個人認為取極點頻率為線電壓頻率50Hz或60Hz之半，即20Hz或30Hz，零點頻率為2Hz或3Hz較好，對輸入線電壓的二次諧波的衰減已能滿足使用上的要求。如果極點頻率選取的太低，放大器的通頻帶太窄，如輸出直流電壓出現不應有的快速變化，那么電壓放大器將不能很快地作出響應，反而使PFC的效果不好。如按上述，取極點頻率為零點頻率的1/10，則有，至于這三個參數如

21、何計算，還必須推出另一個條件，我們留待下一章的最后再討論。在不同的PFC控制器中，根據使用的要求，補償網絡的形式可能有所不同，下面分別加以說明：對于臨界導通模式PFC中的電壓誤差放大器，有時采用的補償網絡比較簡單，只選用1個補償電容作反饋元件。根據米勒效應，從輸入端看相當于接了1個大電容，因此有的文獻稱之為積分電容，它是1個低通濾波器，它也能將輸入線電壓的二次諧波分量(100Hz或120 )直接加以衰減，以減少輸入電流的波形失真，提高電路的功率因數。在這種情況下，放大器的增益為，如衰減10倍，則，如以，代入，則，其值較大。也有的臨界導通模式PFC的電壓誤差放大器采用RC并聯網絡作為補償元件，此

22、時反饋網絡可以寫作：，它只有一個極點頻率，則可按極點頻率或30Hz來選擇值。6 PFC控制器中跨導型電壓誤差放大器補償網絡元件的分析在APFCIC電路中還會用到一種高輸出阻抗的運算放大器作電壓放大器，輸入電壓經過運算放大器后變為電流輸出，文獻中稱之為跨導型運算放大器，在符號表示上多在三角形圍框內加字母或加一個恒流源符號。采用它作電壓誤差放大器后，它的補償網絡不再由輸出端接到輸入反相端，而是直接接地，這樣一來，由PFC輸出的直流電壓經電阻分壓后送到電壓放大器反相端的輸入電信號，不僅可以作為電壓誤差信號，還可以同時作為過電壓信號，送到過壓比較器的輸入端，當電壓太大時，過壓比較器的輸出能夠啟動保護電

23、路，使IC 避免因電壓過高而損壞。由于這一優點，有不少公司生產的PFC控制器中，都采用了跨導型的運算放大器作為電壓誤差放大器。這類放大器電路補償網絡的具體連接形式如圖所示，電路中輸出端所接網絡就是前述的反饋網絡，其表達式為：假設運放的輸入電壓為，輸出電流為，放大器的跨導為，則有，輸出電壓為：放大器的電壓傳輸函數為：(17)式(17)和式(14)是相似的，只不過用式(17)中的gm代替了式(14)中的而已，因而它的幅頻特性和相頻特性和圖8應當是完全一樣的。從另一方面說明，用圖9來代替圖1所達到的效果是完全一樣的。如果考慮到運放的輸入時由PFC輸出電壓經過、分壓得到的，還有1個分壓比：，則式(17

24、)也應像式(14)那樣乘以。這時總傳輸函數應為：7 連續導通模式電壓誤差放大器中3個補償元件的計算在連續導通模式PFC IC電路中，電壓誤差放大器的補償網絡一般采用圖1所示的形式，它有3個元件，我們只利用前面推導出來的放大器的頻率特性和零、極點頻率個關系是不夠的，還必須推導出另一個關系式才能夠計算出這3個元件參數。為此，通常的做法是根據放大器對二次諧波電壓衰減值來確定另一個關系式，即在二次諧波頻率上，放大器的增益(實際為衰減)要求為某一數值來確定。電壓控制環路的簡化方框如圖10所示。圖10中為PFC 輸出電壓的濾波電容，在某一實際電路中，代表半橋電路的負載，、為分壓電阻，為待定的補償元件。計算

25、方法的基礎是：要求電壓放大器的最大輸出中二次諧波電壓所占分量不能超過放大器總輸出的1.5%（二次諧波輸出越小，對它的抑制效果越好）。具體的計算過程如下。先計算輸出電容上的二次諧波電壓，在根據放大器輸出的最大電壓的1.5%，計算出電壓放大器允許輸出的二次諧波電壓，這樣根據輸出與輸入之比，就可以計算出放大器對二次諧波電壓的增益了。PFC控制器的輸出電容對二次諧波的阻抗。在電容上的二次諧波電壓為：。則一個周期內輸入的平均有功為，而一個周期波動的有功峰值也是：（此處的應該是一個周期內波動的有功功率峰值）此電壓經電阻分壓后加到電壓誤差放大器的輸入端，其值為：。已知電壓放大器的最大輸出電壓為6.7V，最低

26、電壓為0.1V，故輸出電壓的范圍為6.6V，如果要求二次諧波分量只能占1.5%，則放大器的二次諧波輸出電壓不能超過6.6*0.015=0.099V。可見，放大器對二次諧波的增益已知放大器的跨導為0.065mS（由IC的數據表中查得）。由于二次諧波頻率遠高于零點頻率，可視為短路，可視為開路。在二次諧波頻率120Hz處，與電阻并聯的電容的容抗只有極點頻率30Hz處的1/4，也就是說其容抗只是電阻的1/4，放大器輸出端的阻抗基本上只由電容的容抗決定，所以放大器的增益表達式為：由此可以求得電容：已知電容，再根據零點頻率和極點頻率，就不難算出電阻和電容。例如，在FAN4810的實際電路中，選用，比計算值

27、差了倍多，顯然，由于電容較小，對二次諧波電壓的衰減亦較小，效果不如選取較大的值好，但越大，也會越大。由于值不同，所以、也不同，FAN4810 的實用電路中，。在這樣的參數下，零點頻率為2.9Hz，極點頻率為20Hz。以上這種計算方法也適用于非跨導型運算放大器。在連續導通模式PFC的電壓誤差放大器中，大多采用圖1所示的電路，但也有采用前面圖7 所示的補償網絡，不過這種方法采用的較少，故這里不做仔細討論，其實它的分析和計算方法也是類似的。它的阻抗表達式如式(12)，即：它有1個零點頻率為,個極點頻率為0,，根據選定的零、極點頻率，也不難求出其補償元件值。8 連續導通模式PFC控制器中電流放大器補償

28、網絡的分析電流放大器只在連續導通模式PFC控制器中使用，它的補償網絡也采用圖1所示的形式。但各公司的PFC IC的產品資料中，關于補償網絡元件的計算方法，普遍缺乏對公式的詳細說明，也沒有給出前提條件，同一個元件的計算公式往往不盡相同，電路圖中所給出的元件具體參數差異較大，彼此之間相差可達10多倍，無法使人確信哪個公式或參數更正確。因此建議讀者在使用這些資料時，要通過自己的實驗來做出正確與否的判斷。 下面根據本人對一些技術資料的初步理解，對電流放大器補償網絡元件的計算方法進行推導，或許能對讀者有所幫助。一般連續導通模式的PFC控制器中有2個控制環路電流控制環路和電壓控制環路。電壓控制環路中電壓放

29、大器補償網絡的計算前面已經討論過，下面討論電流控制環路中電流誤差放大器的補償網絡的計算方法。電流控制環路的簡化電路如圖11所示，它是根據固定頻率、連續導通模式PFC控制器FAN4810的方框圖簡化而來的。圖中為電流檢測電阻，與調制器的輸出電流在內部電阻上的電壓之差加到跨導型電流放大器的反向端，電流放大器的同相端為虛地，放大器的輸出加到PWM比較器的同相端，它與反相端的鋸齒電壓相比較，以控制PFC輸出的脈沖寬度的大小。例如，如果輸出電壓減小，則電流誤差放大器的輸出增加，提高輸出脈沖的占空系數D，加大脈沖寬度，從而使輸出電壓增加。圖11中左側用1個方框表示的PWM部分實際是很復雜的，在方框中除PW

30、M比較器外還包括RS觸發器、輸出MOS管驅動器等，均未表示出來。另外，圖中陰影部分的壓控電壓源包括輸入電壓、二極管整流器、MOS管、升壓二極管等。對圖11分析的目的是建立3個公式，以便用它們來選擇補償網絡3個元件、的參數。我們的方法是：設法確定由檢測電流的輸出到電流放大器的輸出的傳輸函數，以及由電流放大器的輸出經PWM、升壓部分（Boost）到的電壓傳輸函數，根據所希望得到的傳輸特性來選擇補償元件的參數。我們先分析后一個傳輸特性，它包括了PWM及升壓部分的開環增益。已知占空系數，升壓電感的電壓（小信號模型），流過電感的電流，則電阻上的電壓可表示為：由此可見，由到上電壓的傳輸函數：(20)不難看出，這是電感L、電阻產生的單極點函數，畫在圖12中的左下方，旁邊標有。它是一條一-20dB/10倍頻為斜率的直線，頻率每增加10倍，增益將減少20dB。對于由檢測電流的輸出到電流放大器的輸出的傳輸函數的分析，在前面已經作了詳細的討論，這里不再重復，直接給出結果，并畫在圖1