1、三角形的“四心”與平面向量利津一中 路雪梅向量本身是一個幾何概念，具有代數(shù)形式和幾何形式兩種表示方法，易于數(shù)形結(jié)合.三角形的“四心”（外心、內(nèi)心、重心、垂心）是與三角形有關(guān)的一些特殊點，各自有一些特殊的性質(zhì)。在高考中，往往將“向量作為載體”對三角形的“四心”進行考查。在學(xué)習(xí)了平面向量一章的基礎(chǔ)內(nèi)容之后，學(xué)生們通過課堂例題以及課后習(xí)題陸續(xù)接觸了有關(guān)三角形重心、垂心、外心、內(nèi)心向量形式的充要條件?，F(xiàn)歸納總結(jié)如下：與三角形的“四心”有關(guān)的一些常見的重要的向量關(guān)系式有： 設(shè)，則向量必平分BAC，該向量必通過ABC的內(nèi)心; 設(shè)，則向量必平分BAC的鄰補角 設(shè)，則向量必垂直于邊BC，該向量必通過ABC的垂

2、心 ABC中一定過的中點，通過ABC的重心 點是ABC的外心 點是ABC的重心 點是ABC的垂心 點是ABC的內(nèi)心 (其中a、b、c為ABC三邊) ABC的外心、重心、垂心共線，即 設(shè)為ABC所在平面內(nèi)任意一點，G為ABC的重心，I為ABC的內(nèi)心，則有 并且重心G（，） 內(nèi)心I（，）(一)將平面向量與三角形內(nèi)心結(jié)合考查A F E C TB例1：（2003年全國高考題）是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三點，動點P滿足，則動點P的軌跡一定通過ABC的（ ）（A）外心 （B）內(nèi)心 （C）重心 （D）垂心 解析:如圖設(shè)都是單位向量易知四邊形AETF是菱形 故選答案B(二)將平面向量與三角形垂

3、心結(jié)合考查“垂心定理”例2：（1）：（2005年北京市東城區(qū)高三模擬題）為ABC所在平面內(nèi)一點，如果，則O必為ABC的（ ）（A）外心 （B）內(nèi)心 （C）重心 （D）垂心 解析：OBCA 故選答案D（2）：已知O為三角形ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足，則點O是三角形ABC的（ ）（A）外心 （B）內(nèi)心 （C）重心 （D）垂心 事實上由條件可推出 故選答案D(三)將平面向量與三角形重心結(jié)合考查“重心定理”例3：若 為內(nèi)一點， ，則 是 的（ ）A內(nèi)心 B外心 C垂心 D重心解析：由得，如圖以O(shè)B、OC為相鄰兩邊構(gòu)作平行四邊形，則，由平行四邊形性質(zhì)知，同理可證其它兩邊上的這個性質(zhì)，所以是重心，選D。

4、(四)將平面向量與三角形外心結(jié)合考查例4：若 為內(nèi)一點，則 是 的（ ）A內(nèi)心 B外心 C垂心 D重心解析：由向量模的定義知到的三頂點距離相等。故 是 的外心，選B。補充練習(xí)1已知A、B、C是平面上不共線的三點，O是三角形ABC的重心，動點P滿足= (+2),則點P一定為三角形ABC的 （ ）A.AB邊中線的中點 B.AB邊中線的三等分點（非重心）C.重心 D.AB邊的中點2在同一個平面上有及一點滿足關(guān)系式： ，則為的 （） 外心 內(nèi)心 C 重心 D 垂心3已知ABC的三個頂點A、B、C及平面內(nèi)一點P滿足：，則P為的 （） 外心 內(nèi)心 C 重心 D 垂心4已知O是平面上一定點，A、B、C是平面

5、上不共線的三個點，動點P 滿足：，則P的軌跡一定通過ABC的 （） 外心 內(nèi)心 C 重心 D 垂心5已知ABC，P為三角形所在平面上的動點，且動點P滿足：，則P點為三角形的 （） 外心 內(nèi)心 C 重心 D 垂心6已知ABC，P為三角形所在平面上的一點，且點P滿足：，則P點為三角形的 （） 外心 內(nèi)心 C 重心 D 垂心7在三角形ABC中，動點P滿足：，則P點軌跡一定通過ABC的： （ ） 外心 內(nèi)心 C 重心 D 垂心8.已知非零向量與滿足(+)=0且= , 則ABC為( )A.三邊均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等邊三角形 D.等邊三角形9.的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H，則實數(shù)m = ABCMNG圖110. 如圖1，已知點G是的重心，過G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點，且，則。 補充練習(xí)的 答案1. 取AB邊的中點M,則，由= (+2)可得3，即點P為三角形中AB邊上的中線的一個三等分點，且點P不過重心，故選B.2.D 3.C 4.C 5.D 6.B 7.B8.解析：非零向量與滿足()=0，即角A的平分線垂直于BC， AB=A