1、第一章 思考題1.1 平均速度與瞬時速度有何不同？在什么情況下，它們一致？答：平均速度因所取時間間隔不同而不同，它只能對運動狀態作一般描述，平均速度的方向只是在首末兩端點連線的方向；而瞬時速度表示了運動的真實狀況，它給出了質點在運動軌道上各點處速度的大小和方向（沿軌道切線方向）。只有在勻速直線運動中，質點的平均速度才與瞬時速度一致。 1.2 在極坐標系中，為什么而非？為什么而非？你能說出中的和中另一個出現的原因和它們的物理意義嗎？答：在極坐標系中，徑向速度和橫向速度，不但有量值的變化，而且有方向的變化，單位矢量對時間的微商不再等于零，導致了上面幾項的出現。實際上將質點的運動視為徑向的直線運動以

2、及以極點為中心的橫向的圓周運動。因此徑向加速度分量中，除經向直線運動的加速度外，還有因橫向速度的方向變化產生的加速度分量；橫向加速度分量中除圓周運動的切向加速度分量外，還有沿橫向的附加加速度，其中的一半是由于徑向運動受橫向轉動的影響而產生的，另一半是由于橫向運動受徑向運動的影響而產生的。1.3 在內稟方程中，是怎樣產生的？為什么在空間曲線中它總沿著主法線的方向？當質點沿空間曲線運動時，副法線方向的加速度等于零，而作用力在副法線方向的分量一般不等于零，這是不是違背了牛頓運動定律呢？答：由于自然坐標系是以軌道切線、主法線和副法線為坐標系，當質點沿著軌道曲線運動時，軌道的切線方向始終在密切平面內，由

3、于速度方向的不斷變化，產生了沿主法線方向且指向曲率中心。在副法線方向不存在加速度分量，等于零，這并不違背牛頓運動定律，因為在副法線方向作用的主動外力不一定為零，但可做到，即所有外力之和在副法線方向平衡。1.4 在怎樣的運動中，只有而無？在怎樣的運動中，又只有而無？在怎樣的運動中，既有又有？ 答：質點在變速直線運動中，只有而無；質點在勻速曲線運動中，只有而無；質點在變速曲線運動中，既有又有。1.5 與有無不同？與有無不同？試就直線運動與曲線運動分別加以討論。答：直線運動中： 是速度，是矢量；是速率，是標量； 是加速度，是矢量；是加速度的大小，是標量。 曲線運動中： 是速度，是矢量；是速度的徑向分

4、量，是標量； 是加速度，是矢量；是加速度的切向分量，是標量。1.6 人以速度向籃球網前進，則當其投籃時應用什么角度投出？跟靜止時投籃有何不同？答：設靜止時投籃角度為，運動時投籃角度為，且：，籃球為動點，人為運動參照系，籃球網不動。人的速度為牽連速度，球對人的速度為相對速度，人靜止時投籃速度為，也就是球的絕對速度。因此： ,因余切函數是減函數。故：，即人以速度向籃球網前進時，其投籃的拋射角較靜止時應大些，才能準確地將球投入藍中。1.7 雨點以勻速落下，在一有加速度的火車中看，它走什么路線？答：這屬于牽連運動為平動的問題。以車廂為參照系建立坐標系oxy，則雨點受慣性力作用，忽略雨點的重力，則動力學

5、方程為： 即：雨點在x方向作勻加速運動，在y方向作勻速運動，與重力場中物體的平拋運動相比較知，雨點相對于火車走的是一條拋物線，若，則要經過積分才能知道路徑。1.8 某人以一定的功率劃船，逆流而上，當船經過一橋時，船上的漁竿不慎掉入河中，兩分鐘后，此人才發現，立即返棹追趕，追到漁竿之處在橋的下游600米的地方，問河水的流速是多大？答：以船為動點，河水為動系，岸為定系。船對水的相對速度，水對岸的流速（及漁竿的速度）為牽連速度，所以： 解得：=2.5米/秒。1.9 物體運動的速度是否總是和所受的外力的方向一致？為什么？答：物體運動速度并不一定和所受的外力方向一致。只有物體的加速度方向才和其所受外力的

6、方向一致。速度總是沿著切線方向，而作用于質點的外力是可以有不同方向的，所以物體運動的速度并不總是和所受外力的方向一致。1.10 在哪些條件下，物體可以作直線運動？如果初速度的方向和力的方向不一致，則物體是沿力的方向還是沿初速度的方向運動？試用一具體實例加以說明。答：當力的作用方向與物體的初速度方向一致或相反時，物體才能作直線運動。如果力的方向與物體的初速度方向不一致，則物體既不沿力的方向也不沿初速度的方向運動，如拋射體運動。1.11 質點僅因重力作用而沿光滑靜止曲線下滑，達到任意一點時的速度只和什么有關？為什么是這樣？假如不是光滑的又將如何？答：如圖所示，取x軸為零勢線，由于曲線光滑，曲線對質

7、點的作用力和位移方向垂直，該力不作功，故機械能守恒： 即達到任一點的速度只與初速度及下降的高度有關，而與曲線的形狀無關。如果曲線不是光滑的，則有摩擦力存在，摩擦力在質點運動過程中作功，由動能定理有：由于摩擦力作功與路徑有關，所以摩擦力存在時，質點到達任一點的速度與初速度及下降的高度有關，還與曲線的形狀有關。1.12 為什么質點被約束在一光滑靜止的曲線上運動時，約束力不作功？我們利用動能定理或能量積分，能否求出約束力？如不能，應當怎樣去求？答：因為約束力與運動方向垂直，所以在光滑靜止曲線上，約束力不作功，用動能定理或能量積分無法求出約束力。此時可以用動能定理或能量積分先求出速度，在利用內稟方程中

8、的法向運動微分方程，可求出約束力。1.13 質點的質量是1kg，它運動時的速度是：是沿xyz軸上的單位矢量，求此質點的動量和動能的量值。答：動量：動量的量值： 動能： 1.14 在上題中，當質點以上述速度運動到（1，2，3）點時，它對原點O及z軸的動量矩各是多少？答：質點運動到（1，2，3）點時，它對原點O的位矢為： 則對O點的動量矩為： 對z軸的動量矩為： 1.15 動量矩守恒是否就意味著動量也守恒？已知質點受有心力作用而運動時，動量矩是守恒的，問它的動量是否也守恒？答：動量矩守恒的條件是；動量守恒的條件為：。由于時，可以是與共線而，故動量矩守恒時動量不一定守恒。以質點在有心力作用下的運動為

9、例，顯然，動量矩守恒，但因為，動量不守恒。實際上質點的動量沿軌道切線，其大小和方向時刻在變化。1.16 如，則在三維直角坐標系中，仍有的關系存在嗎？試檢驗之。答：， 則： 同理： 即有心力場是無旋場，有心力場是保守力場。1.17 在平方反比引力問題中，勢能曲線應具有什么樣的形狀？答：平方反比引力： 勢能為：勢能曲線形狀如圖所示。1.18 我國發射的第一顆人造地球衛星的軌道平面和地球赤道平面的夾角為68.50，比蘇聯及美國第一次發射的都要大，我們說，交角越大，技術要求越高，這是為什么？又交角大的優點是什么？答：評定發射人造衛星的技術指標應從多方面綜合考慮，不應簡單地一概而論。衛星的軌道平面和地球

10、赤道平面的夾角大，利用地球自轉的線速度就小，因而就需要火箭的推動力要大，技術要求就高。交角大，衛星“掃射”地球表面積大，因而了解信息就多。但人造地球衛星的軌道平面和地球赤道平面的夾角，是按衛星的功能和實際需要來確定的。1.19 盧瑟福公式對引力庫侖場來講也能適用嗎？為什么？答：盧瑟福公式由平方反比斥力得到，而引力庫侖場為平方反比引力，兩者實質一樣，只差一符號，引力場中軌道的偏轉與斥力場中偏轉的方向相反，故盧瑟福公式也能使用。第一章 習題1.1 沿水平方向前進的槍彈，通過某一距離s的時間為t1，而通過下一等距離s的時間為t2，試證明槍彈的減速度（假定是常數）為： 證：設初速度為，加速度為：-a通

11、過第一段距離s： 通過2s距離： （1）（2）兩式聯立，消去得： 證畢。xABOyS(o,yB)(xA,o)1.2 某船向東航行，速率為每小時15千米，在正午經過某一燈塔，另一船以同樣速度向北航行，在下午1時30分經過此燈塔，問在什么時候兩船的距離最近？最近的距離是多少？解：以正午為計時零點，設時兩船相距最近，其最近距離為。設東向船為，北向船為，以燈塔為坐標原點，建立坐標系，如圖所示。在時刻，兩船位置分別為： 則:（即午后45分鐘）將值代入表達式得：（千米）答：在正午后45分鐘兩船相距最近，其最近距離為15.9千米。1.3 曲柄，以勻角速繞定點O轉動，此曲柄借連桿AB使滑塊B沿直線ox運動，求

12、連桿上C點的軌跡方程及速度。設。解：如圖所示建立坐標系0xy，C點的坐標為： 在三角形AOB中， 由（1）（2）兩式消去得： 即： 由（2）（3）兩式消去得： 由（4）（5）兩式消去得： 上式化簡得軌道方程為： 對（1）（2）兩式取微商得： 對（3）式取微商得： 將（8）代入（6）（7）得： C點的速度為 1.4 細桿OL繞O點以勻角速轉動，并推動小環C在固定的鋼絲AB上滑動，如圖所示，d為一已知常數，試求小環的速度及加速度的量值。解：如圖建立直角坐標系Oxy，小環在任意時刻的位矢為：yxLABCOd式中用到： 小環的速度的量值為： 小環的加速度的量值為：1.5 礦山升降機作加速度運動時，其變

13、加速度可用下式表示： 式中c及T為常數，試求運動開始t秒后升降機的速度及其所走過的路程。已知升降機的初速度為零。解： 升降機作直線加速運動，則： 兩邊積分：兩邊積分： 1.6一質點沿位矢及垂直于位矢的速度分別為及，式中是常數，試證其沿位矢及垂直于位矢的加速度分別為：證：由已知：沿位矢方向垂直位矢方向則：為徑向、橫向單位矢量 證畢。1.7 試自出發，計算及，并由此推出徑向加速度和橫向加速度。xyO解：坐標與平面極坐標之間的關系，如圖所示。 徑向加速度為： 橫向加速度為：1.9 質點作平面運動，其速率保持為常數。試證其速度矢量v與加速度矢量a正交。證：上式對時間取微商： 即速度矢量與加速度矢量正交

14、。又證：因為質點作平面運動，速度總沿軌道切線方向。 而 又v為常數（已知），所以： 故： 即速度矢量與加速度矢量正交。 證畢。1.10 一質點沿著拋物線運動，其切向加速度的量值為法向加速度量值的-2k倍，如此質點從正焦弦的一端以速度u出發，試求其達到正焦弦另一端的速率。解：由得： 始點 （第三象限）終點 （第四象限） 由題意知： 積分： 1.11 質點沿著半徑為的圓周運動，其加速度矢量與速度矢量間的夾角保持不變。求質點的速度隨時間而變化的規律。已知初速度為。解：按題意畫圖，如圖所示。O沿切向與同向，與間夾角，即與間夾角為，為常數。則：1.12 在上題中，試證其速度可表示為： 式中為速度矢量與x

15、軸間的夾角，且當t=0時，證： 分離變量積分： 證畢。 1.13假定以飛機從處向東飛到處，而后又向西飛回原處，飛機相對于空氣的速度為，而空氣相對于地面的速度則為，與之間的距離為，飛機相對于空氣的速率保持不變。(a) 假定，則空氣相對于地面是靜止的，試證來回飛行的總時間為：；(b) 假定空氣速度向東（或向西），試證來回飛行的總時間為：；(c) 假定空氣速度向北（或向南），試證來回飛行的總時間為： 。解：本題是牽連運動為平動的問題選擇：動點（運動物體）飛機；動系空氣；定系大地。其中為相對速度，為牽連速度，為絕對速度。(a)空氣靜止 其大小為：(b)設空氣向東流動當飛機由西向東飛行時，當飛機由東向西

16、返回時：故來回所花時間： (c) 設風從南向北吹，飛機由西向東飛行時相對速度為，飛機由東向西飛時相對速度為，如圖所示。1.14 一飛機在靜止空氣中每小時的速率為100千米，如果飛機沿每邊為6千米的正方形飛行，且風速為每小時28千米，方向與正方形的某兩邊平行，則飛機繞此正方形飛行一周，需時多少？解：設飛機為動點，風為動系，且由南向北吹，大地為靜系。如圖所示。飛機向北行：飛機向南行：飛機向東或向西行：繞正方形飛行一周所需時間為： 小時15分鐘1.15當一輪船在雨中航行時，它的雨蓬遮著篷的垂直投影后2米的甲板，篷高4米，但當輪船停航時，甲板上干濕兩部分的分界線卻在篷前3米，如果雨點的速度為8米/秒，

17、求輪船的速率。ABC前后234解：選擇：動點雨點動系輪船靜系岸邊雨對地的速度（絕對速度）雨對船的速度（相對速度）為船對地的速度（牽連速度）為方向如圖所示。由相對運動速度公式有：由圖形知：與速度三角形相似，則：1.16 寬度為d的河流，其流速與到河岸的距離成正比。在河岸處，水流速度為零，在河流中心處，其值為c，一小船以相對速度u沿垂直于水流的方向行駛，求船的軌跡以及船在對岸靠攏的地方。解： 分離變量積分： 所以船的軌跡為： ：分離變量積分： 所以船的軌跡為： 船在對岸靠攏的地點： 1.17 小船M被水沖走后，有一蕩槳人以不變的相對速度C2朝岸上A點劃回，假定河流速度C1沿河寬不變，且小船可以看成

18、一個質點，求船的軌跡。解：這是一個牽連運動為平動的問題，選取平面極坐標系。（徑向絕對速度） （1） （橫向絕對速度） （2）兩式相除，得： （3） 令： 則： 所以船的軌跡為：1.18 一質點自傾角為的斜面的上方O點，沿一光滑斜槽OA下降，如欲使此質點到達斜面上所需的時間為最短，問斜槽OA與豎直線所成之角應為何值？解：如圖所示，由正弦定理得：即： 質點下降的加速度為： 將（2）式代入（1）式得： 因t取極值時，t2也取極值，所以： 則： 即： 證畢。1.19 將質量為m的質點豎直上拋于有阻力的媒質中，設阻力與速度平方成正比，即，如上擲時的速度為v0，試證此質點又落至投擲點時的速度為： 證：選取

19、坐標系ox，質點受力分析如圖所示。上升：質點運動微分方程為： 上式可寫為：分離變量積分得： ，代入上式得： 到達最高點：下降：質點運動微分方程為： 積分得： ，代入上式得：落至投擲點：所以質點又落至投擲點時的速度為： 證畢。 1.20 一槍彈以仰角、初速自傾角為的斜面的下端發射，試證子彈擊中斜面的地方和發射點的距離（沿斜面量取）及此距離的最大值分別為： 證：選取坐標系oxy，受力分析如圖所示。槍彈運動微分方程為： 利用初始條件：對（1）（2）兩式積分兩次得： （3）（4）兩式消去t，得軌跡方程為： 子彈擊中斜面點：，滿足軌跡方程：解得子彈擊中斜面的地方和發射點的距離為：對（5）式取極值： 于是

20、： 將的表達式代入（5）得距離的最大值為：O1.21將一質點以初速拋出，與水平線所成之角為，此質點所受到的空氣阻力為其速度的倍，為質點的質量，為比例常數。試求當此質點的速度與水平線所成之角又為時所需的時間。解：受力分析如圖所示。建立坐標系質點的運動微分方程為：利用初始條件：對上式積分得：當時所需時間為： 1.22 如向互相垂直的勻強電磁場E、H中發射一電子，并設電子的初速度V與E及H垂直，試求電子的運動規律。已知此電子所受的力為，B為磁感應強度，e為電子所帶的電荷，v為任一瞬時電子運動的速度。解：取電子初速V沿x軸，電場強度E沿y軸，磁感應強度B沿z軸。電子受力：設電子的質量為m，則運動微分方

21、程為： 利用初始條件：，對（3）式積分兩次得：利用初始條件：，對（1）式積分得：將（5）代入（2）式得： 整理得： 特征方程為： （6）式齊次方程的通解為：（6）式非齊次方程的特解為：所以方程（6）的通解為： （7）式取微商得： 利用初始條件：，代入（7）得：將（8）代入（5）式得：利用初始條件：，對（9）式積分得：（4）（8）（10）為電子的運動方程。1.23 在上題中，如（a）B=0，則電子的軌道為在豎直平面（xy平面）的拋物線；（b）如E=0，則電子的軌道為半徑等于的園，試證明之。證：（a）B=0，電子的運動微分方程為： 利用初始條件： 對（1）（2）（3）式積分兩次得：聯立消去t得：軌

22、道為xy平面的拋物線。（b）E=0，電子的運動微分方程為： 利用初始條件：，對（6）式積分兩次得：z = 0利用初始條件： ，對（4）（5）式積分得：得： 利用初始條件： ，對上式積分得： 則電子的軌道為： 半徑等于的園。1.24 質量為m與2m的兩質點，為一不可伸長的輕繩所聯結，繩掛在一光滑的滑輪上，在m的下端又用固有長度為a、倔強系數k為的彈性繩掛上另外一個質量為m的質點，在開始時，全體保持豎直，原來的非彈性繩拉緊，而有彈性的繩則處在固有長度上，由此靜止狀態釋放后，求證這運動是簡諧的，并求出其振動周期及任何時刻兩段繩中的張力T及。解：取隔離體，受力分析如圖所示，建立坐標ox，運動微分方程為

23、： 由題意知： 對（5）式求導兩次得： 將（4）（6）代入（1）（2）（3）消去 （7）+（8）得： （11）式的通解為： 定積分常數： 利用（6）式，（2）+（3）-（1）得： 由（6）和（13）式知三個質點作相同規律運動，由（11）知質點作簡諧振動，其周期為： 將（12）代入（4）得： 1.25滑輪上系一不可伸長的繩，繩上懸一彈簧，彈簧另一端掛一重為的物體，當滑輪以勻速轉動時，物體以勻速下降，如將滑輪突然停止，試求彈簧的最大伸長及最大張力。假定彈簧受的作用時靜伸長量為。Ox解：以彈簧原長處為彈性勢能零點，以彈簧平衡位置（伸長時）為坐標原點建立坐標，且以點為重力勢能零點，如圖所示。由機械能守

24、恒得：彈簧處于平衡位置時，。代入式并化簡得：不是題目所求，舍去。彈簧的最大伸長量為：且最大張力為：1.26一彈性繩上端固定，下端懸有及兩質點。設為繩的固有長度，為加后的伸長，為加后的伸長。今將任其脫離而下墜，試證質點在任一瞬時離上端的距離為：證：研究對象為質點，其受力分析如圖所示。設坐標原點在處，向下為正，建立坐標軸。設繩的彈性系數為，質點平衡時，則：，質點運動微分方程為：abcxO1O上式為簡諧振動方程，其解為：將初始條件：代入得：故任一時刻離上端的距離為：證畢。1.27一質點自一水平放置的光滑固定圓柱面凸面的最高點自由滑下，問滑至何處，此質點將離開圓柱面？假定圓柱體的半徑為。解：以質點為研

25、究對象，受力分析如圖所示。設質點滑至與豎直線夾角為處離開圓柱面，此時，則質點的法線方程為：O質點滑動過程中，只保守力作功，機械能守恒 、兩式聯立得：1.28 重為W的小球不受摩擦而沿半長軸為a、半短軸為b的橢圓弧滑下，此橢圓的短軸是豎直的，如小球自長軸的端點開始運動時，其初速為零，試求小球在到達橢圓的最低點時它對橢圓的壓力。解：小球受力分析如圖所示，到達最低點時，法向方程為： 由機械能守恒得： 橢圓方程： 曲率半徑： 將曲率半徑代入（1）式得：到達最低點時對橢圓的壓力為：1.29 一質量為m的質點自光滑圓滾線的尖端無初速地下滑，試證在任何一點的壓力為，式中為水平線和質點運動方向間的夾角，已知圓

26、滾線方程為解：質點受力分析如圖所示，在自然坐標系中，質點的法向運動微分方程為： 由機械能守恒得： 由圓滾線方程得： 曲率半徑為：將（2）（3）代入（1）得： 在任何一點的壓力為：1.30 上題中，如圓滾線不是光滑的，且質點自圓滾線的尖端自由下滑，達到圓滾線的最低點時停止運動，則摩擦系數應滿足下式： 試證明之。證：受力分析如圖所示，質點運動微分方程為： （1）（2）兩式消去N得：將 ，代入（3）式：上式兩邊乘因子： 得： 上式兩邊積分： 即： 故： 證畢。1.31 假定單擺在有阻力的媒質中振動，并假定振幅很小，故阻力與成正比，且可寫為，式中m是擺錘的質量，l為擺長，k為比例常數，試證當時，單擺的

27、振動周期為： 證：選取自然坐標系，單擺受力分析如圖所示，單擺在媒質中的切向運動微分方程為： ，所以（1）式可寫為： 方程（2）的特征根為：當 時，方程（2）的解為：單擺的振動周期為： 證畢。1.32 光滑楔子以勻加速度沿水平面運動，質量為m的質點沿楔子的光滑斜面滑下求質點的相對加速度和質點對楔子的壓力P。解：取楔子為坐標系，在楔子上建立坐標系oxy（1）沿x軸正向，質點受力分析如圖所示。質點運動微分方程為： 所以： 質點對楔子的壓力P與N大小相等、方向相反。（2）同理，沿x軸負向，質點受力分析如圖所示。質點運動微分方程為： 所以： 質點對楔子的壓力P與N大小相等、方向相反。綜上所求結果得： 1

28、.33 光滑鋼絲圓圈的半徑為r，其平面為豎直的。圓圈上套一小環，其重為w，如鋼絲圈以勻加速度a沿豎直方向運動，求小環的相對速度vr及圈對小環的反作用力R。解：以圓圈為參照系，建立坐標系oxy1）a沿y軸正向，小環受力分析如圖所示。其運動微分方程為： 上式代入（1）式后，分離變量積分：（3）代入（2）得： 2）a沿y軸負向，小環受力分析如圖所示。其運動微分方程為：同理解得： 綜合以上結果： 1.34 火車質量為m，其功率為常數k，如果車所受的阻力f為常數，則時間與速度的關系為： 如果f和速度v成正比，則： 式中為初速度，試證明之。證：1）功率：火車運動微分方程為： 積分： 2）阻力f和速度v成正

29、比：，火車運動微分方程為： 分離變量積分： 將代入上式得：1.35 質量為m的物體為一錘所擊，設錘所加的壓力是均勻地增減的，當在沖擊時間的一半時，增值最大值P，以后又均勻減小至零，求物體在各時刻的速率以及壓力所作的總功。解：所加的壓力：F= k t，k為常數 物體運動微分方程為：（1）式分離變量積分： 物體運動微分方程為： （2）式分離變量積分：壓力所作的總功為： 1.36檢驗下列力是否是保守力，如是，則求出其勢能。(a) (b) (c) 解：力是保守力的充要條件為：即： =0 (a) 此力是保守力，其勢能為： (b) 此力不是保守力，不存在勢能。(c) 此力是保守力，存在勢能，在處相對于的勢

30、能為：1.37 根據湯川核力理論，中子與質子之間的引力具有如下形式的勢能： 試求：（a）中子與質子之間的引力表達式，并與平方反比定律相比較；（b）求質量為m的粒子作半徑為a的圓運動的動量矩J及能量E.解：（a）中子與質子之間的引力表達式： 平方反比引力定律： （b）質量為m的粒子作半徑為a的圓運動，向心力為： 動量矩： 能量： 1.38 已知作用在質點上的力為： 式中系數aij(i,j =1,2,3)都是常數，問這些aij應滿足什么條件，才有勢能存在？如這些條件滿足，試計算其勢能。解：勢能存在的充要條件為：，即：要滿足以上條件，必須滿足：即滿足：，勢能存在。其勢能為： 1.39一質點受一與距離

31、的次方成反比的引力作用在一直線上運動，試證此質點自無窮遠到達時的速率和自靜止出發到達時的速率相同。證：如圖所示，質點受引力作用：aOa/4為比例系數質點運動微分方程為：則上式為：質點由到：質點由到：證畢。1.40 一質點受一與距離成反比的引力作用在一直線上運動，質點的質量為m，比例系數為k，如此質點從距原點O為a的地方由靜止開始運動，求其到達O點所需的時間。解：質點受引力為：，其運動微分方程為： 即： 分離變量積分： （v與x反向，取負值） 令：，代入（2）式得； 分離變量積分：故到達O點所需的時間為： 1.41 試導出下面有心力量值的公式： 式中m為質點的質量，r為質點到力心的距離， p為力心到軌道切線的垂直距離。證：由動能定理： 證畢。1.42 試利用上題的結果，證明：（a）如質點走一圓周，同時力心位于此圓上，則力與距離五次方成反比。（b）如質點走一對數螺線，而其極點即力心，則力與距離立方成反比。證：（a）如圖所示： （b）對數螺線： 則： 證畢。1.43 如質點受有心力作用而作雙紐線的運動時，則： 試證明之。證： 代入比耐公式： 證畢。1.44 質點所