1、數字電路與數字邏輯數字電路與數字邏輯 北京郵電大學信息與通信工程學院：陳杰E-mail: 版權：孫文生版權：孫文生引引 論論n什么是數字系統(tǒng)什么是數字系統(tǒng)n數字系統(tǒng)的優(yōu)越性數字系統(tǒng)的優(yōu)越性n主要內容主要內容n學習方法學習方法版權：孫文生版權：孫文生典型的數字系統(tǒng)典型的數字系統(tǒng): 計算機計算機1946年美國賓夕法尼亞大學年美國賓夕法尼亞大學機械計算器：算盤機械計算器：算盤3000年以前年以前便攜式計算機便攜式計算機臺式計算機臺式計算機 集成電路的發(fā)展，使數字設備變得越來越小巧，集成電路的發(fā)展，使數字設備變得越來越小巧，更加便于攜帶。更加便于攜帶。由由1萬萬8千個電子管，千個電子管，6千個開關，千

2、個開關，1萬個電容器，萬個電容器，7萬個電阻、萬個電阻、1千千5百個繼電器組成的，占地面積百個繼電器組成的，占地面積1800平方英尺、重達平方英尺、重達30噸。噸。版權：孫文生版權：孫文生數字技術的應用越來越廣泛版權：孫文生版權：孫文生區(qū)分數字與模擬區(qū)分數字與模擬n模擬信號模擬信號：是時間和幅值上是時間和幅值上連續(xù)連續(xù)的信號的信號n模擬電路：模擬電路：n用于實現模擬信號的處理用于實現模擬信號的處理n放大電路作為基本單元放大電路作為基本單元n輸入、輸出為模擬信號輸入、輸出為模擬信號n數字信號數字信號：是時間和幅值上是時間和幅值上離散離散的信號的信號n數字電路：數字電路：n用于實現數字信號的處理用

3、于實現數字信號的處理n邏輯門電路作為基本單元邏輯門電路作為基本單元n輸入、輸出為數字信號輸入、輸出為數字信號版權：孫文生版權：孫文生數字技術的優(yōu)越性數字技術的優(yōu)越性n信息的處理信息的處理n所處理的為數字信號所處理的為數字信號, , 避免了器件的非線性失真。避免了器件的非線性失真。n應用靈活，易于實現算法。應用靈活，易于實現算法。n信息的傳輸信息的傳輸n傳輸數字信號傳輸數字信號, 減弱了外界干擾對信號的影響。減弱了外界干擾對信號的影響。n允許內置錯誤檢測和校驗機制。允許內置錯誤檢測和校驗機制。n信息的存儲信息的存儲n采用數字存貯技術采用數字存貯技術, 受外界影響小。受外界影響小。n易于信息的存取

4、。易于信息的存取。版權：孫文生版權：孫文生定義數字系統(tǒng)定義數字系統(tǒng)n數字系統(tǒng)數字系統(tǒng) 是指利用數字技術處理和傳輸信息的系統(tǒng)。是指利用數字技術處理和傳輸信息的系統(tǒng)。放大電路(模擬)傳感器模擬A/D轉換電路模擬數字數字運算邏輯控制(數字電路)數字D/A轉換電路功率放大(模擬)模擬執(zhí)行機構模擬數字信號波形變換與整形數字信號版權：孫文生版權：孫文生主要內容主要內容n邏輯代數邏輯代數n組合邏輯電路組合邏輯電路n時序邏輯電路時序邏輯電路n可編程邏輯器件可編程邏輯器件n數模與模數轉換數模與模數轉換版權：孫文生版權：孫文生學習方法學習方法n用心n多思考n找規(guī)律n細心n注意觀察n發(fā)現關鍵n既來之，則安之數字電路

5、與數字邏輯數字電路與數字邏輯 北京郵電大學 信息與通信工程學院第一章 數字技術基礎版權：孫文生版權：孫文生第一章 數字技術基礎 語言語言是一種編碼，隨各國文化的不同而改變。數字數字則不同，不論哪種語言，也不管怎樣讀那些數字，地球上幾乎所有的人都用同樣的方式來寫數字： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 本章重點講授數字電路的理論基礎本章重點講授數字電路的理論基礎邏輯代數邏輯代數。主要內容：1. 數制和編碼2. 邏輯代數基礎3. 邏輯函數的標準型4. 邏輯函數的化簡版權：孫文生版權：孫文生1.1 數制和編碼數制和編碼數制數制 數制是數制是進位計數制進位計數制的簡稱，日常生活中最常用的簡稱，日

6、常生活中最常用的是十進制，但數字系統(tǒng)采樣的是二進制。的是十進制，但數字系統(tǒng)采樣的是二進制。n進位計數制進位計數制n十進計數制十進計數制 (13.25)10n二進計數制二進計數制 (1101.01)2n十六進計數制十六進計數制 (D.4)16版權：孫文生版權：孫文生1. 計數制計數制深入深入十進計數制十進計數制 在十進制數中，采用了在十進制數中，采用了0、1、2、9十個不同的十個不同的數碼數碼；在計數時在計數時“逢十進一逢十進一”和和“借一當十借一當十”；各個數碼處于十進制；各個數碼處于十進制數的不同數位時，所代表的數值是不同的，例如：數的不同數位時，所代表的數值是不同的，例如：565.65。5

7、65.65 5102 6101 5100 610-1 510-2數碼數碼: : 基本數字符號基本數字符號0 9?；鶖祷鶖担阂环N進制中可能用到數碼的個數。一種進制中可能用到數碼的個數。權權：數碼處于不同的位置對應的系數不同，這個系數就叫做權。數碼處于不同的位置對應的系數不同，這個系數就叫做權。運算規(guī)則運算規(guī)則: : 逢十進一，借一當十逢十進一，借一當十. .mmnnmnnaaaaaaaaa10101010 . M1100111021并列表示并列表示多項式表示多項式表示十進制數的兩種表達方式十進制數的兩種表達方式版權：孫文生版權：孫文生n任意十進制數的任意十進制數的按權展開式按權展開式: :122

8、110022111010 101010 101010)(nmiiimmnnnnaaaaaaaN其中其中: n 為整數的位數為整數的位數, m 為小數位數為小數位數, ai 為為0 9.1. 計數制計數制深入深入十進計數制十進計數制(565.65)105102 6101 5100 610-1 510-2n實例：實例：版權：孫文生版權：孫文生1. 計數制計數制推廣推廣二進計數制二進計數制世界上有世界上有1010種人，懂二進制的和不懂二進制的。種人，懂二進制的和不懂二進制的。 十進制 二進制 數 碼 09 0, 1 基 數 10 2 實 例 13.25 1101.01 權 10i 2i 運算規(guī)則 逢

9、十進一 借一當十 逢二進一 借一當二 按 權 展 開 ( )Naiiimn10110 122)(nmiiibN 版權：孫文生版權：孫文生1. 計數制計數制推廣推廣二進計數制二進計數制n任意二進制數的任意二進制數的按權展開式按權展開式: :1221100221122 222 222)(nmiiimmnnnnbbbbbbbN其中其中: n 為整數的位數為整數的位數, m 為小數位數為小數位數, bi 為為0，1.(1101.01)21231 1220211 1200 02-112-2n例如：例如：版權：孫文生版權：孫文生1. 計數制計數制推廣推廣十六進計數制十六進計數制n為什么要引入十六進制？為什

10、么要引入十六進制？ 二進制數在計算機系統(tǒng)中處理很二進制數在計算機系統(tǒng)中處理很方便，但當位數較多時，比較難方便，但當位數較多時，比較難記憶及書寫，為了減小位數，通記憶及書寫，為了減小位數，通常將二進制數用十六進制表示。常將二進制數用十六進制表示。 (1010 0110)2 = (A6)16n數碼數碼：0 9, A F， 對應于十進制數的對應于十進制數的015.n基數基數：16.版權：孫文生版權：孫文生1. 計數制計數制推廣推廣八進計數制八進計數制 十進制 二進制 八進制 十六進制 數 碼 09 0, 1 07 09, AF 基 數 10 2 8 16 實 例 13.25 1101.01 15.2

11、 D.4 權 10i 2i 8i 16i 運算規(guī)則 逢 R 進一, 借一當 R 按權展開 ( )Naiiimn10110 ( )Naiiimn212 ()Naiiimn818 ()Naiiimn16116 版權：孫文生版權：孫文生n數碼數碼: 基本符號基本符號0,1,2, ., (R-1)n基數基數: Rn權權: Rin運算規(guī)則：逢運算規(guī)則：逢R進一，借一當進一，借一當R.1. 計數制計數制淺出淺出R 進計數制進計數制例如例如: ( 53.62)7 57137067-127-2 ( 38.898 )10 ( 24.3 )5 25145035-1 ( 14.6 )10版權：孫文生版權：孫文生2.

12、 數制轉換數制轉換十六進制十六進制 二進制二進制 八進制八進制1位位 4位位3位位 1位位按權展開按權展開基數乘除基數乘除 十進制十進制2-3 =0.1252-2 =0.252-1 =0.520 =121 =222 =423 =8 24 =16 25 =32 26 =64 27 =128 28 =256 29 =512 210=1024(69.6875)10=(1000101.1011)2取余取余 取整取整常用表格常用表格版權：孫文生版權：孫文生二進制與十六進制之間的轉換二進制與十六進制之間的轉換十六進制十六進制 二進制二進制例：例：( 7D.A6 )16 = ( 0111 1101 . 10

13、10 0110)2 = ( 1111101.1010011)2版權：孫文生版權：孫文生二進制與十六進制之間的轉換二進制與十六進制之間的轉換二進制二進制 十六進制十六進制例例: ( 1011011.01 )2 = ( 0101 1011.0100 )2 = ( 5B.4)16版權：孫文生版權：孫文生二進制與八進制之間的轉換二進制與八進制之間的轉換n二進制數轉換為八進制數二進制數轉換為八進制數從小數點起每三位分一組，不足三位補零從小數點起每三位分一組，不足三位補零 例例: ( 111001010.100101)2 = ( 712.45 )8 ( 11010101.01011)2 = ( 011 0

14、10 101 . 010 110)2 = ( 325.26 )8 n八進制數轉換為二進制數八進制數轉換為二進制數將每一位數表示成三位二進制數將每一位數表示成三位二進制數 例例: ( 712.45 )8 = ( 111 001 010 . 100 101)2 ( 325.26 )8 = ( 011 010 101 . 010 110)2 = ( 11010101.01011)2 版權：孫文生版權：孫文生 例例: ( 712.43 )8 = ( 111 001 010.100 011)2 = ( 0001 1100 1010 . 1000 1100)2 = ( 1CA.8C )16 ( 8FA.3

15、 )16 = ( 1000 1111 1010.0011 )2 = ( 100 011 111 010.001 100 )2 = ( 4372.14 )8八進制與十六進制之間的轉換八進制與十六進制之間的轉換十六進制十六進制 二進制二進制 八進制八進制版權：孫文生版權：孫文生十進制和非十進制之間的轉換十進制和非十進制之間的轉換nR 進制數轉換為十進制數進制數轉換為十進制數原則：原則：寫出寫出R進制數的按權展開式，然后相加。進制數的按權展開式，然后相加。 例例: ( 24.3 )8 2 81 + 4 80 + 3 8-1 16 + 4 + 0.375 ( 20.375 )10 ( 234.3 )5

16、 2 52 + 351 + 45035-1 50 + 15 + 4 + 0.6 ( 69.6 )10 ( 110.01 )2 1 22 + 121 + 02002-1 12-2 4+ 2 + 0 + 0.25 ( 6.25 )10版權：孫文生版權：孫文生十進制和非十進制之間的轉換十進制和非十進制之間的轉換n十進制轉換為十進制轉換為R 進制數進制數整數部分與小數部分分別整數部分與小數部分分別計算計算n整數部分：可表示為以整數部分：可表示為以R為基的如下形式為基的如下形式 (NI)10=an-1Rn-1 +an-2Rn-2 + a1R1 + a0R0 等式兩邊除以基數等式兩邊除以基數R，得到：，得

17、到： (NI)10/R = an-1Rn-2 +an-2Rn-3 + a1R0 + a0/Rn小數部分：可表示為以小數部分：可表示為以R為基的如下形式為基的如下形式 (NF)10 = a-1R-1 + a-2R-2 + + a-mR-m 等式兩邊乘以基數等式兩邊乘以基數R，得到：，得到： R (NF)10 = a-1 + a-2R-1 + + a-mR-m+1余數整數版權：孫文生版權：孫文生n十進制轉換為十進制轉換為R 進制數進制數整數部分整數部分 基數連除法基數連除法 (除以基數除以基數R取余數取余數)a. 整數部分除以基數整數部分除以基數R, , 余數做為等值的余數做為等值的R進制數最低位

18、進制數最低位; ; b. 將商再除以將商再除以R, ,余數做為等值的余數做為等值的R進制數的次低位進制數的次低位; ; c. 重復步驟重復步驟b, ,直到商等于零為止直到商等于零為止. .小數部分小數部分 基數連乘法基數連乘法 (乘以基數乘以基數R取整數取整數) a. 小數部分乘以基數小數部分乘以基數R, ,積的整數部分為積的整數部分為R進制數的最高位進制數的最高位; ; b. 將小數部分再乘以基數將小數部分再乘以基數R, ,其積的整數部分為次高位其積的整數部分為次高位; ; c. 重復步驟重復步驟b, ,直到達到要求的精度為止直到達到要求的精度為止. .十進制和非十進制之間的轉換十進制和非十

19、進制之間的轉換版權：孫文生版權：孫文生十進制轉換為非十進制n例：將例：將(69.6875)10轉換為二進制數轉換為二進制數(69.6875)10=(1000101.1011)2版權：孫文生版權：孫文生十進制轉換為非十進制例：將（例：將（835.6875)10轉換為十六進制數轉換為十六進制數(835.6875)10 = （343.B)16版權：孫文生版權：孫文生十進制轉換為非十進制2-3 =0.1252-2 =0.252-1 =0.520 =121 =222 =423 =8 24 =16 25 =32 26 =64 27 =128 28 =256 29 =512 210=1024(68.625)

20、10= (64+4+0.5+0.125)10 =(1000100.101)2常用表格常用表格利用下面的表格，有時能較快地實現十進制到二進制的轉換。利用下面的表格，有時能較快地實現十進制到二進制的轉換。(80)10= (64+16)10=(1010000)2(130)10= (128+2)10=(10000010)2(32)10= (100000)2(126)10= (128-2)10=(1111110)2版權：孫文生版權：孫文生1.2 數制和編碼編碼 所謂編碼，就是用若干位特定二進制數碼來表示自然數、字所謂編碼，就是用若干位特定二進制數碼來表示自然數、字母和符號等信息。母和符號等信息。n二進制

21、編碼n自然二進制碼、格雷碼自然二進制碼、格雷碼 n二十進制編碼n8421碼、余3碼、BCD循環(huán)碼n可靠性編碼n奇偶校驗碼、漢明碼信息信息代碼代碼編碼編碼n 位代碼共有位代碼共有 2n 種不同的種不同的組合，能夠對組合，能夠對 2n 種不同信種不同信息進行編碼。息進行編碼。版權：孫文生版權：孫文生1. 二進制編碼二進制編碼例：例：假設有十六種狀態(tài)假設有十六種狀態(tài), 分別以分別以0 15表示表示, 試對其進行編碼試對其進行編碼. 自然二進制碼自然二進制碼n編碼方式與二進制數完全相同編碼方式與二進制數完全相同n有權碼，每位代碼都有固定權值有權碼，每位代碼都有固定權值 格雷碼格雷碼(循環(huán)碼循環(huán)碼) n

22、相鄰代碼僅一位不同，從編碼的相鄰代碼僅一位不同，從編碼的形式上減少了出錯的可能性。形式上減少了出錯的可能性。n是一種無權碼，很難從某個代碼是一種無權碼，很難從某個代碼識別它所代表的數值。識別它所代表的數值。 n具有反射性，故通常又叫格雷反具有反射性，故通常又叫格雷反射碼或循環(huán)碼。射碼或循環(huán)碼。n 格雷碼編碼方法：利用反射性格雷碼編碼方法：利用反射性.版權：孫文生版權：孫文生2. 二二-十進制編碼十進制編碼 將十進制數的將十進制數的0 9分別用分別用4位二進制碼表示，這種表示方法稱為十進位二進制碼表示，這種表示方法稱為十進制數的二進制編碼，簡稱二制數的二進制編碼，簡稱二-十進制碼或十進制碼或BC

23、D碼碼(Binary Coded Decimal) 。 四位二進制數有四位二進制數有0000 1111十六種組合，要從這十六種組合十六種組合，要從這十六種組合中選出十種組合作為中選出十種組合作為09的代碼，其方案很多，下面僅介紹幾種。的代碼，其方案很多，下面僅介紹幾種。 BCD碼的特點：碼的特點：n用四位二進制數表示一位十進制數，用四位二進制數表示一位十進制數，n具有二進制數的形式，又具有十進制的特點。具有二進制數的形式，又具有十進制的特點。版權：孫文生版權：孫文生常用二常用二-十進制編碼十進制編碼 版權：孫文生版權：孫文生應用舉例應用舉例例例 試分別用試分別用8421BCD碼、碼、2421碼

24、和余碼和余3碼表示碼表示(68.73)10 注意：注意：(13.25)10 = (15.2)8 = (1101.01)2 = (D.4)16 = (0001 0011.0010 0101)8421BCD解解: (68.73)10 = (0110 1000.0111 0011 ) 8421BCD (68.73)10 = (1100 1110.1101 0011 )2421 (68.73)10 = (1001 1011.1010 0110 ) 余余3碼碼 版權：孫文生版權：孫文生字母與字符的編碼字母與字符的編碼nASCII碼碼n微機中普遍采用微機中普遍采用ASCII碼，用碼，用7位二進制數位二進制

25、數對對127個字符進行編個字符進行編碼，其中前碼，其中前32個是一些不可打印的控制符號個是一些不可打印的控制符號 。n擴展擴展ASCII碼碼n采用采用8為二進制數進行編碼。為二進制數進行編碼。n漢字編碼：漢字編碼：n國標漢字分為兩級，一級漢字為國標漢字分為兩級，一級漢字為3755個，二級為個，二級為3008個，圖個，圖形符號為形符號為682個，共個，共7445個。個。數字電路與邏輯設計1.2 邏輯代數基礎版權：孫文生版權：孫文生1.2 邏輯代數基礎邏輯代數基礎邏輯代數體系邏輯代數體系邏輯常量邏輯常量0, 1邏輯變量邏輯變量A, B, C, x, y定律、定理定律、定理規(guī)則規(guī)則邏輯運算邏輯運算公

26、理公理 邏輯代數邏輯代數是是1847年由英國數學家喬治年由英國數學家喬治布爾（布爾（George Boole)首先首先創(chuàng)立的，是邏輯設計的數學基礎創(chuàng)立的，是邏輯設計的數學基礎, 又稱又稱布爾代數布爾代數, 開關代數開關代數。 邏輯代數與普通代數有著不同概念，邏輯代數表示的不是數的邏輯代數與普通代數有著不同概念，邏輯代數表示的不是數的大小之間的關系，而是邏輯的關系，如大小之間的關系，而是邏輯的關系，如“真真”、“假假”，“是是”、“非非” 等。等。版權：孫文生版權：孫文生1.2.1 1.2.1 基本概念基本概念 n邏輯常量邏輯常量: 0, 1n僅表示兩種不同狀態(tài)，如命題的真假，信號的有無等僅表示

27、兩種不同狀態(tài)，如命題的真假，信號的有無等.n可參與邏輯運算，邏輯運算按位進行，沒有進位可參與邏輯運算，邏輯運算按位進行，沒有進位.n邏輯變量邏輯變量n符號符號 A, B, C, x, y n含義含義 條件存在與否；結果為真還是假條件存在與否；結果為真還是假.n取值取值 0, 1 邏輯代數邏輯代數是用來處理邏輯運算的代數體系。所謂是用來處理邏輯運算的代數體系。所謂邏輯運算邏輯運算， 就是按照人們事先設計好的規(guī)則，進行邏輯推理和邏輯判斷。就是按照人們事先設計好的規(guī)則，進行邏輯推理和邏輯判斷。 版權：孫文生版權：孫文生1.2.1 1.2.1 基本概念基本概念n基本邏輯運算：基本邏輯運算：與邏輯與邏輯

28、運算，又叫邏輯乘。運算，又叫邏輯乘。 n表達式表達式 FA B= A B = A B n數學意義數學意義僅當決定事件僅當決定事件 F 發(fā)生的所有條件均具備時，事件發(fā)生的所有條件均具備時，事件 F 才發(fā)生。才發(fā)生。n邏輯與門：實現邏輯與門：實現“與與”邏輯運算的電路。邏輯運算的電路。與邏輯與邏輯A BF版權：孫文生版權：孫文生真值表n真值表真值表是由輸入變量的所有可能取值組合及對應的輸出值所構是由輸入變量的所有可能取值組合及對應的輸出值所構成的表格成的表格。n真值表直觀地反映了變量取值組合和函數值的關系，真值表直觀地反映了變量取值組合和函數值的關系， 便于把一便于把一個實際的邏輯問題抽象為一個數

29、學問題。個實際的邏輯問題抽象為一個數學問題。 n在列真值表時，變量取值按二進制數遞增規(guī)律排列。在列真值表時，變量取值按二進制數遞增規(guī)律排列。例例: 設計一個多數表決電路設計一個多數表決電路 三人三人(用用A, B, C 表示表示)對某一提案進對某一提案進行表決行表決, 對提案贊成則按下電鍵對提案贊成則按下電鍵, 用邏輯用邏輯1表示表示; 否則不按電鍵否則不按電鍵, 用邏輯用邏輯0表示表示; 表決表決結果用指示燈顯示結果用指示燈顯示,多數贊成時指示等亮多數贊成時指示等亮, 用邏輯用邏輯1表示表示, 反之則不亮反之則不亮,用邏輯用邏輯0表示，表示，根據文字敘述建立真值表。根據文字敘述建立真值表。多

30、數表決電路的真值表版權：孫文生版權：孫文生1.2.1 1.2.1 基本概念基本概念n基本邏輯運算基本邏輯運算：或邏輯或邏輯運算，又叫邏輯加。運算，又叫邏輯加。n表達式表達式 FA+ +BAB n數學意義數學意義 決定事件決定事件F發(fā)生的各種條件中，只要有一個或以上條件具備發(fā)生的各種條件中，只要有一個或以上條件具備時，事件時，事件F就發(fā)生。就發(fā)生。 n邏輯或門邏輯或門或邏輯或邏輯版權：孫文生版權：孫文生1.2.1 1.2.1 基本概念基本概念n基本邏輯運算：基本邏輯運算：非邏輯非邏輯運算，又稱求補運算。運算，又稱求補運算。 n數學意義數學意義 結果同條件相反。結果同條件相反。 n表達式表達式 F

31、An邏輯非門邏輯非門非邏輯非邏輯邏輯運算次序邏輯運算次序n優(yōu)先次序優(yōu)先次序: 非非, 與與, 或或n可以用括號改變次序可以用括號改變次序 例例: F = A + B C + ADE F = (A + B) C + ADE版權：孫文生版權：孫文生1.2.2 1.2.2 復合邏輯運算復合邏輯運算與非與非邏輯運算邏輯運算F1=AB或非或非邏輯運算邏輯運算F2=A+B與或非與或非邏輯運算邏輯運算F3=AB+CDn導出邏輯：導出邏輯：版權：孫文生版權：孫文生1.2.2 1.2.2 復合邏輯運算復合邏輯運算異或異或邏輯運算邏輯運算同或同或邏輯運算邏輯運算n導出邏輯：導出邏輯：版權：孫文生版權：孫文生1.2

32、.3 邏輯代數的基本定律和規(guī)則邏輯代數的定律邏輯代數的定律 版權：孫文生版權：孫文生基本定律的證明方法：利用真值表例：用真值表證明反演律例：用真值表證明反演律A BAB A+ BA BA+B000110111110111010001000 A B= A+B A+ B=AB版權：孫文生版權：孫文生1.2.3 邏輯代數的基本定律和規(guī)則n代入規(guī)則代入規(guī)則n可用于推廣基本定律、公式可用于推廣基本定律、公式. .n對偶規(guī)則對偶規(guī)則n便于記憶基本定律、公式便于記憶基本定律、公式. .n反演規(guī)則反演規(guī)則n用于求邏輯函數的反函數用于求邏輯函數的反函數. .版權：孫文生版權：孫文生1.2.3 邏輯代數的基本定律

33、和規(guī)則CBACBACB)(ACACA(1) 代入規(guī)則代入規(guī)則 在任何一個邏輯等式中，如果將等式兩邊所有的某一變量在任何一個邏輯等式中，如果將等式兩邊所有的某一變量X，都代之以一個邏輯函數都代之以一個邏輯函數 F，則此等式仍然成立。這個規(guī)則就稱為，則此等式仍然成立。這個規(guī)則就稱為代入規(guī)則。代入規(guī)則。采用代入規(guī)則采用代入規(guī)則, 可將反演律推廣到多變量情況?？蓪⒎囱萋赏茝V到多變量情況。版權：孫文生版權：孫文生1.2.3 邏輯代數的基本定律和規(guī)則(2) 對偶規(guī)則對偶規(guī)則 將邏輯函數將邏輯函數 F 中的中的 “ ”“”，“0”“1” 得得 F , ,即為即為 F F 的對偶式的對偶式. .推論：若推論：

34、若 FG，則，則 F G ( F ) = F1CDB)(AF0)(CDABF邏輯函數邏輯函數: :對偶函數對偶函數: : 在前面介紹的定理中，每行的公式都是互為對偶式，因此在前面介紹的定理中，每行的公式都是互為對偶式，因此 ，利用對偶規(guī)則可使需要證明和記憶的公式減半。利用對偶規(guī)則可使需要證明和記憶的公式減半。 版權：孫文生版權：孫文生1.2.3 邏輯代數的基本定律和規(guī)則(3) 反演規(guī)則反演規(guī)則 將邏輯函數將邏輯函數 F 中的中的 “ ”“”，“0”“1”, ,原變量原變量反反變量，變量，得得 F, ,即為即為 F F 的的反函數反函數. .1CD)BA(F0)(CDABF邏輯函數邏輯函數: :

35、反反 函函 數數: :)GE)(D(CBAFG)EDC(BAF邏輯函數邏輯函數: :反反 函函 數數: :例：例：版權：孫文生版權：孫文生1.2.3 邏輯代數的基本定律和規(guī)則邏輯代數的常用公式CABACAAB (5)CAABBCDCAAB CAABBCCAAB (4)BABAA (3)AABA (2)ABAAB (1)吸收律吸收律版權：孫文生版權：孫文生常用公式的證明方法：利用基本定律BCCAABB)C(1AC)AB(1CAAB等式右邊等式右邊 由此可以看出：與或表達式中，兩個乘積項分別包含由此可以看出：與或表達式中，兩個乘積項分別包含同同一因子一因子的的原原變量和變量和反反變量，而兩項的剩余

36、因子包含在第三個變量，而兩項的剩余因子包含在第三個乘積項中，則第三項是多余的。乘積項中，則第三項是多余的。CAABBCDECAAB公式可推廣：公式可推廣：例：證明吸收律例：證明吸收律CAABBCCAAB 成立成立BC)AA(CAABABACABCABC版權：孫文生版權：孫文生邏輯代數的常用公式異或異或/同或邏輯運算同或邏輯運算 異或邏輯異或邏輯運算的結果與輸入變量中取值為運算的結果與輸入變量中取值為1的個數的個數有關，變量有關，變量取值為取值為1的個數為奇數，則輸出為的個數為奇數，則輸出為1; 否則，輸出為否則，輸出為0。BACACBCBAACABCBACBACBAAAAAAAAA, . 5)

37、()()( . 4)()( . 31 ; 0 . 21 ; 0 . 1則若1.3 邏輯函數及其表示方法數字電路與邏輯設計版權：孫文生版權：孫文生邏輯代數基礎基本概念n邏輯表達式邏輯表達式n用有限個與、或、非等邏輯運算符，按某種邏輯關系將用有限個與、或、非等邏輯運算符，按某種邏輯關系將邏輯變量邏輯變量(A、B、)和邏輯常量和邏輯常量(0、1)連接起來，所得連接起來，所得的表達式稱為的表達式稱為邏輯表達式邏輯表達式。n邏輯函數邏輯函數n假設輸出假設輸出F由若干邏輯變量由若干邏輯變量A、B、C 經過有限的邏輯經過有限的邏輯運算所決定，即運算所決定，即F = f(A,B,C,)，若輸入變量確定以后，若

38、輸入變量確定以后， F值也被唯一確定，值也被唯一確定， 則稱則稱F是是A、B、C 的邏輯函數。的邏輯函數。n邏輯函數的取值：邏輯邏輯函數的取值：邏輯0 0和邏輯和邏輯1 1；它們不代表數值大小，；它們不代表數值大小，僅表示相互矛盾、相互對立的兩種邏輯狀態(tài)。僅表示相互矛盾、相互對立的兩種邏輯狀態(tài)。版權：孫文生版權：孫文生邏輯代數基礎基本概念邏輯表達式的幾種形式：邏輯表達式的幾種形式：“與或與或”式式“或與或與”式式“與非與非-與非與非”式式“或非或非-或非或非”式式“與或非與或非”式式 邏輯函數除了可以用邏輯函數除了可以用邏輯表達式邏輯表達式表示外，還可以用表示外，還可以用真值真值表、波形圖、邏

39、輯圖和卡諾圖表、波形圖、邏輯圖和卡諾圖等表示。等表示。 一個邏輯函數可以多種等價的邏輯表達式，它們之間可一個邏輯函數可以多種等價的邏輯表達式，它們之間可以相互轉換。以相互轉換。CABA CABA CAAB C)B)(AA( CAABF版權：孫文生版權：孫文生邏輯函數的標準表達式邏輯函數的標準表達式n邏輯函數的表達式邏輯函數的表達式n邏輯函數的表達式可以有多種形式，它們與邏輯電路相對應。邏輯函數的表達式可以有多種形式，它們與邏輯電路相對應。n標準表達式具有唯一性標準表達式具有唯一性，與函數真值表嚴格對應。，與函數真值表嚴格對應。n邏輯函數的最小項表達式邏輯函數的最小項表達式 (標準積之和式、標準

40、與或式標準積之和式、標準與或式)n邏輯函數的最大項表達式邏輯函數的最大項表達式 (標準和之積式、標準或與式標準和之積式、標準或與式)n求標準表達式問題求標準表達式問題n真值表真值表 標準表達式標準表達式n任意函數式任意函數式 標準表達式標準表達式版權：孫文生版權：孫文生最小項與標準積之和式n最小項最小項n是一種是一種乘積項乘積項, 包含包含全部全部邏輯變量邏輯變量.n通常用通常用 m i 來表示來表示.n最小項的性質最小項的性質n只有在其相應的組合下值為只有在其相應的組合下值為1.n任意兩不同最小項的乘積恒等于任意兩不同最小項的乘積恒等于0.n全部最小項之和必為全部最小項之和必為1.n標準積之

41、和式標準積之和式n全部由最小項之和組成的與或式全部由最小項之和組成的與或式.n又叫標準與或式，或最小項表達式又叫標準與或式，或最小項表達式.下標下標i ：把最小項中的原變量記為：把最小項中的原變量記為1，反變量記為反變量記為0，變量取值按順序排列成，變量取值按順序排列成二進制數，其等值十進制數就是下標二進制數，其等值十進制數就是下標i 。 版權：孫文生版權：孫文生最小項與標準積之和式例例 已知函數已知函數 F 的真值表如下所示，則它的標準與或式為：的真值表如下所示，則它的標準與或式為： )7 , 6 , 5 , 3( mmmm ABCCABCBABCA7653mF70iiimDC)B,F(A,

42、由真值表可以看出，任何函數標準與或式唯一。由真值表可以看出，任何函數標準與或式唯一。 若函數若函數F不是一個標準與或式，對每個與不是一個標準與或式，對每個與項中所缺的變量項中所缺的變量X，則可通過反復使用下列公，則可通過反復使用下列公式來得到標準與或式：式來得到標準與或式：XAAX)XA(X版權：孫文生版權：孫文生最大項與標準和之積式n最大項最大項n是一種是一種邏輯和項邏輯和項, 包含包含全部全部邏輯變量邏輯變量.n通常用通常用 Mi 來表示來表示.n最大項的性質最大項的性質n只有在其相應的組合下值為只有在其相應的組合下值為0.n任意兩不同最大項之和恒等于任意兩不同最大項之和恒等于1.n全部最

43、大項之積必為全部最大項之積必為0.n標準和之積式標準和之積式n全部由最大項之積組成的或與式全部由最大項之積組成的或與式.n又叫標準或與式，或最大項表達式又叫標準或與式，或最大項表達式.下標下標i ：把最大項中的原變量記為：把最大項中的原變量記為0，反變量記為反變量記為1，變量取值按順序排列成，變量取值按順序排列成二進制數，其等值十進制數就是下標二進制數，其等值十進制數就是下標i 。 版權：孫文生版權：孫文生最大項與標準和之積式例例 已知函數已知函數 F 的真值表如下所示，則它的標準或與式為：的真值表如下所示，則它的標準或與式為： )4 , 2 , 1 , 0( MMMM C)BAC)(B)(A

44、CBC)(AB(AF4210M由真值表可以看出，任何函數標準或與式唯一。由真值表可以看出，任何函數標準或與式唯一。 若函數若函數F不是一個標準或與式，對每個或不是一個標準或與式，對每個或項中所缺變量項中所缺變量X，則可通過反復使用下列公式，則可通過反復使用下列公式來得到標準或與式：來得到標準或與式：)XX)(A(AXXA版權：孫文生版權：孫文生最小項與最大項的關系n相同編號的最小項和最大項存在互補關系相同編號的最小項和最大項存在互補關系iiMm n若干個最小項之和表示的表達式若干個最小項之和表示的表達式F，其，其反函數反函數F可用等同個與這些最小項相對可用等同個與這些最小項相對應的最大項之積表

45、示。應的最大項之積表示。 例：例：7531753175317531MMMM mmmm mmmmFmmmmFBCAmCBAM33版權：孫文生版權：孫文生兩種標準表達式的關系例例 已知函數已知函數 F 的真值表如下所示，則它的標準或與式為：的真值表如下所示，則它的標準或與式為： )4 , 2 , 1 , 0( MMMM C)BAC)(B)(ACBC)(AB(AF4210M(3,5,6,7) mmmm ABCCABCBABCAF7653m它的標準與或式為：它的標準與或式為： 同一邏輯函數既可以表示為標準與或式，同一邏輯函數既可以表示為標準與或式，也可以表示為標準或與式。一個邏輯函數的最也可以表示為標

46、準或與式。一個邏輯函數的最小項集合與它的最大項集合，互為補集。小項集合與它的最大項集合，互為補集。)4 , 2 , 1 , 0( )7 , 6 , 5 , 3(),(CBAF版權：孫文生版權：孫文生不完全確定的邏輯函數不完全確定的邏輯函數 n前面討論的邏輯函數，對每一組輸入變量的取值，都對應一個完前面討論的邏輯函數，對每一組輸入變量的取值，都對應一個完全確定的函數值全確定的函數值(0或或1)，這種函數稱為，這種函數稱為完全確定的邏輯函數完全確定的邏輯函數。n在實際應用中，有時只要求某些最小項在實際應用中，有時只要求某些最小項(或最大項或最大項)對應的函數有對應的函數有確定值，而其余項可以取任意

47、值。通常，把這種可以取任意值最確定值，而其余項可以取任意值。通常，把這種可以取任意值最小項小項(或最大項或最大項)稱為稱為任意項任意項、無關項或、無關項或約束項約束項，記為，記為或或d。這種。這種含有任意項的邏輯函數稱為含有任意項的邏輯函數稱為不完全確定的邏輯函數不完全確定的邏輯函數。例例 設一個計電路，要求輸入為一位設一個計電路，要求輸入為一位8421BCD碼，當輸入代碼中碼，當輸入代碼中含有偶數個含有偶數個1時輸出為時輸出為1，否則輸出為，否則輸出為0，試列出電路的真值表，試列出電路的真值表，寫出標準與或式寫出標準與或式 。版權：孫文生版權：孫文生例例 電路輸入為一位電路輸入為一位8421

48、BCD碼，當輸入代碼中含有偶數個碼，當輸入代碼中含有偶數個1時輸出時輸出 為為1，否則輸出為，否則輸出為0。試列出電路的真值表，寫出標準與或式。試列出電路的真值表，寫出標準與或式。 解：設輸入用解：設輸入用ABCD表示，輸出用表示，輸出用F表示；在列真值表時，表示；在列真值表時，m10 m15六六 個偽碼為任項，列真值表如下表所示：個偽碼為任項，列真值表如下表所示：13,14,15)(10,11,12,)(0,3,5,6,9D)C,B,F(A,m13,14,15)(10,11,12,)(1,2,4,7,8D)C,B,F(A,M1.4 邏輯函數的化簡邏輯函數的化簡數字電路與邏輯設計版權：孫文生版

49、權：孫文生1.4 邏輯函數的化簡邏輯函數的化簡函數化簡的目的函數化簡的目的 邏輯電路所用門的數量少邏輯電路所用門的數量少 每個門的輸入端個數少每個門的輸入端個數少 邏輯電路構成級數少邏輯電路構成級數少 保證保證邏輯邏輯電路能可靠地工作電路能可靠地工作降低成本降低成本提高電路的工作提高電路的工作速度和可靠性速度和可靠性版權：孫文生版權：孫文生邏輯函數的化簡邏輯函數的化簡最簡函數式標準最簡函數式標準 表達式中項數最少表達式中項數最少 每項變量數最少每項變量數最少版權：孫文生版權：孫文生邏輯函數的化簡邏輯函數的化簡簡化邏輯函數方法簡化邏輯函數方法 代數法代數法 卡諾圖法卡諾圖法版權：孫文生版權：孫文

50、生代數化簡法方法：方法： 消元：利用消元：利用BABAA消去多余變量消去多余變量A 并項：并項： 利用利用ABAAB將兩項并為一項，將兩項并為一項，且消去一個變量且消去一個變量B 消項：消項： 利用利用A + AB = A消去多余的項消去多余的項AB 配項：利用配項：利用CAABBCCAAB和互補律、和互補律、重疊律先增添項，再消去多余項重疊律先增添項，再消去多余項 代數法化簡邏輯函數的實質是代數法化簡邏輯函數的實質是反復運用邏輯代數的公式和規(guī)則，反復運用邏輯代數的公式和規(guī)則，消去表達式中的多余項和多余變量，消去表達式中的多余項和多余變量，以達到最簡的目的。在用代數法以達到最簡的目的。在用代數

51、法化簡邏輯函數時，化簡邏輯函數時，往往要依靠經驗和技巧往往要依靠經驗和技巧，帶有一定的試湊性。，帶有一定的試湊性。 版權：孫文生版權：孫文生代數化簡法與或式的化簡A BAAB BA)CAB(C BACABABCFBACABABCF例例1 化簡函數化簡函數 為最簡與或式為最簡與或式 .解：解： 運用結合律找出給定函數式中符合吸收律的項，進行消項運用結合律找出給定函數式中符合吸收律的項，進行消項和消去多余變量。和消去多余變量。 版權：孫文生版權：孫文生ADGADEDCACF例例2 化簡函數化簡函數 為最簡與或式為最簡與或式 .解：解： 運用邏輯代數的公式函數式進行等效變換，有時需要利用運用邏輯代數

52、的公式函數式進行等效變換，有時需要利用吸收率先添加一些項，以消去某些多余項或多余變量。吸收率先添加一些項，以消去某些多余項或多余變量。 代數化簡法與或式的化簡DCAC ADDCAC G)AD(EADDCAC ADGADEDCACF版權：孫文生版權：孫文生代數化簡法與或式的化簡例例3 化簡函數化簡函數DEFGEFBACEFBDCAABDAADF解：解：EFBBDCA EFBBDCAA DEFG)EFBBD(CAACEF)ABA( DEFGEFBACEFBDCAABDAADF版權：孫文生版權：孫文生)()()(EDBDCDACBAF例例3 化簡函數化簡函數 為最簡或與式為最簡或與式 .代數化簡法或

53、與式的化簡(1) 利用或與式的公式和定律化簡利用或與式的公式和定律化簡(2) 利用對偶關系利用對偶關系 :( F ) = F解：解：對函數對函數 F 取對偶，再化簡取對偶，再化簡BDECDDACABF對函數對函數 F 再取對偶：再取對偶：)()()(DCDACBAFFCDDACAB DCACAB BDEDCABCA BDEC)AD(CAB 版權：孫文生版權：孫文生1.4.2 卡諾圖化簡法卡諾圖化簡法n卡諾圖卡諾圖: : 是真值表的圖形表示是真值表的圖形表示n將變量分成兩組，構成二維表將變量分成兩組，構成二維表n行列組合排列順序為行列組合排列順序為循環(huán)碼循環(huán)碼n每一個小方格對應真值表中一組每一個

54、小方格對應真值表中一組輸入邏輯變量，在小方格中應填輸入邏輯變量，在小方格中應填入對應于該組輸入變量的函數值。入對應于該組輸入變量的函數值。n兩變量、三變量、四變量卡諾圖兩變量、三變量、四變量卡諾圖n五變量卡諾圖五變量卡諾圖版權：孫文生版權：孫文生1. 卡諾圖的結構與特點卡諾圖的結構與特點版權：孫文生版權：孫文生2. 邏輯函數添入卡諾圖邏輯函數添入卡諾圖真值表真值表兩種標準兩種標準表達式表達式多種等效多種等效函數式函數式卡諾圖卡諾圖版權：孫文生版權：孫文生2. 邏輯函數添入卡諾圖邏輯函數添入卡諾圖將真值表轉換為卡諾圖將真值表轉換為卡諾圖版權：孫文生版權：孫文生2. 邏輯函數添入卡諾圖邏輯函數添入

55、卡諾圖(1) 標準標準積之和積之和式添入卡諾圖式添入卡諾圖例例 F(A,B,C,D) = (0,2,4,7,9,10,12,15)0001111000011110 11 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0CDAB(2) 標準標準和和之積之積式添入卡諾圖式添入卡諾圖例例 F(A,B,C,D) = (1,3,5,6,8,11,13,14)版權：孫文生版權：孫文生邏輯函數添入卡諾圖邏輯函數添入卡諾圖0001111000011110 11 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0CDAB(3) 任意與或式任意與或式添入卡諾圖添入卡諾圖例例DCBBCDDCD)C,B,F

56、(A,(4) 任意或與式任意或與式添入卡諾圖添入卡諾圖例例D)CB)(DBA)(DB)(AD(CD)C,B,F(A,版權：孫文生版權：孫文生3. 卡諾圖的運算卡諾圖的運算 卡諾圖的運算，等效于邏輯函數的運算?？ㄖZ圖的運算，等效于邏輯函數的運算。n卡諾圖相加卡諾圖相加n對應小方格中的對應小方格中的0、1進行邏輯加進行邏輯加.BA1010 10 0 1BA1010 00 0 1BA1010 10 0 1 n卡諾圖相乘卡諾圖相乘n對應小方格中的對應小方格中的0, 1進行邏輯乘進行邏輯乘.n卡諾圖反演卡諾圖反演n對應小方格中的對應小方格中的0、1取補取補版權：孫文生版權：孫文生4. 最小項的合并最小項

57、的合并0001111000011110 11 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0CDABn對于卡諾圖對于卡諾圖, 變量按循環(huán)碼排列變量按循環(huán)碼排列, 因此因此, 凡是凡是幾何位置相鄰的幾何位置相鄰的最小項均能合并最小項均能合并.n對于卡諾圖對于卡諾圖, 處于軸對稱位置的最小項也可以合并處于軸對稱位置的最小項也可以合并.DCBDCBADCBAD C ADCBADCBAABDDCABABCD ,A BAABCACBACBADCBADCBADCBADCBA？版權：孫文生版權：孫文生4. 最小項的合并最小項的合并0001111000011110 11 1 1 1 0 1 1 0 0

58、 0 1 1 1 0 1CDABn最小項合并規(guī)律最小項合并規(guī)律n圈中的圈中的1方格必須是方格必須是2i, i 為整數為整數.n2i 個相鄰的個相鄰的 1 方格必須排列成方陣或矩陣形式方格必須排列成方陣或矩陣形式n在合并過程中在合并過程中, 消去圈內變化的量消去圈內變化的量, 2i個方格合并個方格合并,消去消去 i個變量個變量.n本原蘊含項：本原蘊含項：n圈為最大的合并項圈為最大的合并項n本質蘊含項：本質蘊含項：n本原蘊含項本原蘊含項n包含只有一種圈法的最小項包含只有一種圈法的最小項圈圈版權：孫文生版權：孫文生5. 卡諾圖法簡化邏輯函數卡諾圖法簡化邏輯函數n原則原則:(1) 使圈盡可能大使圈盡可能大(2) 合并的圈數盡可能少合并的圈數盡可能少(3) 任何任何1方格可以多次被圈用方格可以多次被圈用(4) 盡量去掉多余的蘊含項盡量去掉多余的蘊含項(5) 所有的所有的1方格均被圈用方格均被圈用.n步驟步驟:(1)作出函數的卡諾圖作出函數的卡諾圖. .(2)根據設計要求，決定是圈根據設計要求，決定是圈1寫寫最簡最簡“與或與或”式，還是圈式，還是圈0寫寫最簡最簡“或與或與”式式 ;(3)找出只有一種圈法的最小項，找出只有一種圈法的最小項，從它出發(fā)