1、學習好資料歡迎下載勾股定理的證明方法探究勾股定理又叫畢氏定理：在一個直角三角形中，斜邊邊長的平方等于兩條直角邊邊長平方之和。據考證，人類對這條定理的認識，少說也超過4000年！又據記載，現時世上一共有超過300 個對這定理的證明！勾股定理是幾何學中的明珠，所以它充滿魅力，千百年來， 人們對它的證明趨之若鶩，其中有著名的數學家，也有業余數學愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權貴，甚至有國家總統。 也許是因為勾股定理既重要又簡單， 更容易吸引人， 才使它成百次地反復被人炒作，反復被人論證。 1940 年出版過一本名為畢達哥拉斯命題的勾股定理的證明專輯，其中收集了 367 種不同的證明方法。實際

2、上還不止于此，有資料表明，關于勾股定理的證明方法已有 500 余種，僅我國清末數學家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。這是任何定理無法比擬的。1.課本方法：畫兩個邊長為(a+b) 的正方形，如圖，其中a、 b 為直角邊， c 為斜邊。這兩個正方形全等，故面積相等。左圖與右圖各有四個與原直角三角形全等的三角形，左右四個三角形面積之和必相等。從左右兩圖中都把四個三角形去掉，圖形剩下部分的面積必相等。左圖剩下兩個正方形，分別c以 a、 b 為邊。右圖剩下以c 為邊的正方形。于是222a +b =c 。這是幾何教科書中所介紹的方法。既直觀又簡單，任何人都看得懂。方法 2 ：直接在直角三角形三邊上畫正方

3、形，如圖這個證明方法之所以精彩，是它們所用到的定理少，都只用到面積的兩個基本觀念： 全等形的面積相等； 一個圖形分割成幾部分，各部分面積之和等于原圖形的面積。這是完全可以接受的樸素觀念，任何人都能理解。2古人的方法：學習好資料歡迎下載如圖， 將圖中的四個直角三角形涂上深紅色，把中間小正方形涂上白色，以弦為邊的正方形稱為弦實，然后經過拼補搭配，“令出入相補，各從其類”，他肯定了勾股弦三者的關系是符合勾股定理的。即 “勾股各自乘，并之為弦實，開方除之，即弦也 ”。 趙爽對勾股定理的證明，顯示了我國數學家高超的證題思想，較為簡明、直觀。3.美國第二十任總統伽菲爾德對勾股定理的證明。DC如圖， ABS

4、 梯形 ABCD= (a+b)2 = (a 2+2ab+b 2 )， 又 S 梯形 ABCD= S AED+ SEBC+ SCED = ab+ ba+ c2 = (2ab+c 2 )。 比較以上二式，便得a2+b 2=c 2 。這一證明由于用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明相當簡潔。4.相似三角形的方法：在學習了相似三角形以后，我們知道在直角三角形中，斜A邊上的高把這個直角三角形所分成的兩個三直角角形與原三角形相似。如圖， Rt ABC 中， ACB=90° 。作 CD AB ，垂足為 D 。則 BCD BAC ， CAD BAC 。由 BCD BAC 可得 BC 2=BD

5、× BA ， D 由 CAD BAC 可得 AC 2=AD × AB 。 我們發現，把、兩式相加可得CBBC 2+AC 2=AB （ AD+BD ），而 AD+BD=AB ，因此有BC 2+AC 2=AB 2，這就是a2+b 2=c 2 。這也是一種證明勾股定理的方法，而且也很簡潔。它利用了相似三角形的知識。應用勾股定理犯的錯誤：勾股定理及其逆定理是平面幾何中的重要定理,其應用非常廣泛.我們在應用這兩個定理解題時 , 常常會出現錯解 ,現將錯誤歸納剖析如下 ,以引起我們的重視 .一、忽視題目中的隱含條件例 1 在 Rt ABC 中 ,a、b 、c 分別為三條邊 , B=90

6、°,如果 a=3cm,b=4cm, 求邊 c 的長 .誤解 : ABC 是直角三角形 , a2+b2=c2, 即 32+42=c2, 解得 c=5(cm). 剖析 :上面的解法, 忽視了題目中 B=90°,b 是斜邊的隱含條件 .正解 : B=90°,學習好資料歡迎下載a2+c2=b2,c=b2-a2!=42-32!=!7(cm).二、忽視定理成立的條件例2 在邊長都是整數的ABC中,AB>AC, 如果 AC=4cm,BC=3cm, 求 AB 的長 . 誤解 :由 “勾 3 股 4 弦 5”知AC=4cm,BC=3cm,AB>AC, AB=5cm. 剖析 :這種解法受 “勾 3 股 4 弦 5”思維定勢的影響題中有 BC=3,AC=4, 就認為 AB=5, 而忘記了 “勾 3 股 4 弦 5”是在直角三角形的條件下才成立而本題中沒有指明是直角三角形, 因此 ,只能用三角形三條邊之間的關系來解。,見,歐幾里得在他的幾何原本中給出了勾股定理的推廣定理：“直角三角形斜邊上的一個直邊形，其面積為兩直角邊上兩個與之相似的直邊形面積之和”。從上面這一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三邊為直徑作圓，則以斜邊為直徑所作圓的面積等于以兩直角邊為直徑所作兩圓的面積和”。勾股定理還可以推廣到空間：以直角三角形的三邊為對應棱作相似多面體，則斜邊上的多面體