1、第1課時等差數列的前n項和1理解等差數列前n項和公式的推導過程2掌握等差數列前n項和公式及其應用1數列的前n項和對于數列an，一般地，我們稱a1a2a3an為數列an的前n項和，用Sn表示，即Sn_.數列的前n項和必須從第1項開始，逐項相加到第n項，不能是其中幾項的和【做一做1】 數列9，2，10,3的前3項和S3_.2等差數列an的前n項和設等差數列an的公差是d，則Snna1_.等差數列an的通項公式ana1(n1)d，前n項和公式Snna1d.上述兩個公式共涉及到a1，an，Sn，n，d五個量，通常已知其中三個，可求另外兩個，即“知三求二”，而且方法就是解方程組，這也是解決等差數列問題的

2、策略當已知首項a1，末項an，項數n時，常用公式Sn；當已知首項a1，公差d，項數n時，常用公式Snna1d.【做一做21】 等差數列an中，a11，d1，則Sn等于() An Bn(n1)Cn(n1) D.【做一做22】 等差數列an中，an2n1，則其前n項和Sn_.答案：1a1a2a3an【做一做1】 32.d【做一做21】 D【做一做22】 n21等差數列前n項和公式與函數的關系剖析：等差數列的前n項和公式Snna1d可以寫為Snn2n.若令A，a1B，則上式可以寫成SnAn2Bn，即Sn是關于項數n的函數當A0，B0時(此時a10，d0)，Sn0是關于n的常數函數；當A0，B0時(此

3、時a10，d0)，SnBn是關于n的一次函數(正比例函數)；當A0時(此時d0)，SnAn2Bn是關于n的二次函數從上面的分析，我們可以看出：(1)一個數列an是等差數列，則其前n項和公式Snf(n)是關于n的二次函數或一次函數或常數函數，且其常數項為0，即SnAn2Bn(A，B為常數)(2)如果一個數列的前n項和的表達式為SnAn2BnC(A，B，C為常數)，則當C0時，數列an不是等差數列(3)當d0時，點(1，S1)，(2，S2)，(3，S3)，(n，Sn)，在拋物線yx2x的圖象上(4)由二次函數圖象的性質可知，當d0時，an是遞增數列，Sn有最小值；當d0時，an是遞減數列，Sn有最

4、大值2Sn與an的關系剖析：已知數列an的通項公式an，前n項和Sn，則Sn與an有如下的關系：an推導如下：Sna1a2a3an，且當 n2時，Sn1a1a2a3an1.當n2時，SnSn1(a1a2a3an)(a1a2a3an1)an.又當n1時，a1S1，an若S1滿足SnSn1形式，則有anSnSn1(n1，nN*)；若S1不滿足SnSn1形式，則可表示成上述分段形式這是實現an與Sn相互轉化的重要方法題型一 已知Sn求an【例題1】 已知下面各數列an的前n項和Sn的公式，求an的通項公式(1)Sn2n23n；(2)Sn3n2.分析：利用SnSn1an(n2)求解反思：已知數列an的

5、前n項和公式Sn，求通項公式an的步驟：(1)當n1時，a1S1.(2)當n2時，根據Sn寫出Sn1，化簡anSnSn1.(3)如果a1也滿足當n2時，anSnSn1的通項公式，那么數列an的通項公式為anSnSn1(如本題(1)；如果a1不滿足當n2時，anSnSn1的通項公式，那么數列an的通項公式要分段表示為an(如本題(2)題型二 等差數列前n項和的有關計算【例題2】 已知等差數列an中，(1)a1，d，Sn15，求n及an；(2)a11，an512，Sn1 022，求d.分析：合理地使用前n項和公式，并注意其變形；要應用方程的思想反思：a1，d，n稱為等差數列的三個基本量，an和Sn

6、都可以用這三個基本量來表示，五個量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，即等差數列的通項公式及前n項和公式中“知三求二”的問題，一般是通過通項公式和前n項和公式聯立方程(組)來求解這種方法是解決數列運算的基本方法，在具體求解過程中應注意已知與未知的聯系及整體思想的運用題型三 等差數列前n項和的最值問題【例題3】 數列an是等差數列，a150，d0.6.(1)該數列前多少項都是非負數？(2)求此數列的前n項和Sn的最大值分析：(1)滿足不等式組的正整數解即是；(2)既可以從項的正負考慮，也可以利用等差數列的前n項和公式是關于n的二次函數，考慮對應二次函數的最值反思：求等差數列的前n項和Sn的最值

7、有兩種方法：(1)由二次函數的最值特征得解Snna1dn2n222.由二次函數的最大值、最小值知識及nN*知，當n取最接近的正整數時，Sn取到最大值(或最小值)，如本題(2)方法二值得注意的是最接近的正整數可能有1個，也可能有2個(2)根據項的正負來定首項a10，公差d0，m滿足時，前n項和Sn的最大值是Sm.首項a10，公差d0，m滿足時，前n項和Sn的最小值是Sm.題型四 易錯辨析【例題4】 已知數列an的前n項和Snn22，求此數列的通項公式錯解：anSnSn1n22(n1)222n1.錯因分析：Snn22，a1S11223，而當n1時，an2n12×1113，則an2n1不是

8、數列an的通項公式錯解中忽視了anSnSn1成立的條件是n2.反思：已知數列an的前n項和Sn與an的關系求an，一般使用公式anSnSn1(n2)，但必須寫明它成立的條件：nN*，n2，忽視了這一點往往會導致錯誤答案：【例題1】 解：(1)當n1時，a1S12×123×11；當n2時，Sn12(n1)23(n1)2n27n5，則anSnSn1(2n23n)(2n27n5)2n23n2n27n54n5.此時若n1，則an4n54×151a1，故an4n5.(2)當n1時，a1S13121；當n2時，Sn13n12，則anSnSn1(3n2)(3n12)3n3n13

9、·3n13n12·3n1.此時若n1，則an2·3n12·3112a1，故an【例題2】 解：(1)Snn·15，整理，得n27n600，解得n12或n5(舍去)，a12(121)×4.(2)由Sn1 022，解得n4.又由ana1(n1)d，即5121(41)d，解得d171.【例題3】 解：(1)由a150，d0.6，知an500.6(n1)0.6n50.6.令即解得m，又mN*，則m84，即前84項都是非負數(2)方法一：由(1)得a840，a850，則Sn的最大值是S8450×84×(0.6)2 108.4.方法二：Sn50n·(0.6)0.3n250.3n0.32，由二次函數的性質知，當n84時，Sn取最大值S842 108.4.【例題4】 正解：當n2時，anSnSn1n22(n1)222n1；當n1時，a1S11223，不適合上式，故an1 (2011·山東濟南二模)數列an的前n項和為Sn，若Sn2n217n，則當Sn取得最小值時，n的值為()A4或5 B5或6C4 D52已知數列an的前n項和Snn29n，第k項滿足5ak8，則k等于() A9 B8 C7 D63(2011·北京豐臺一模)已知等