1、 第四章 隨機變量的數字特征Chapter Four Figure Characteristic of Random Variable內容提要本章主要講述離散型隨機變量的數學期望，連續型隨機變量的數學期望，隨機變量的函數的數學期望，數學期望的性質；方差的概念，方差的計算，方差的性質；協方差及相關系數的定義，協方差與相關系數的性質，矩等內容重點分析1、 理解數學期望與方差的概念，掌握它們的性質與計算2、 了解二項分布、泊松分布、正態分布、均勻分布、指數分布的數學期望與方差3、 了解矩、相關系數的概念及其性質與計算難點分析1、 數學期望與方差的概念、性質與計算2、 矩、相關系數的概念、性質與計算

2、第二章我們討論了隨機變量的分布函數，我們看到分布函數能夠完整地描述隨機變量的統計特性但在一些實際問題中，不需要去全面考察隨機變量的整個變化情況，而只需知道隨機變量的某些統計特征例如，在檢查一批棉花的質量時，只需要注意纖維的平均長度，以及纖維長度與平均長度的偏離程度，如果平均長度較大、偏離程度較小，質量就越好從這個例子看到，某些與隨機變量有關的數字，雖然不能完整地描述隨機變量，但能概括描述它的基本面貌這些能代表隨機變量的主要特征的數字稱為數字特征本章介紹隨機變量的常用數字特征：數學期望、方差和相關系數§4.1 數學期望(隨機變量的均值)Mathematical Expectation（

3、Average of Random Variable）一、 離散型隨機變量的數學期望(Mathematical expectation of discrete random variable)Example 4.1 某年級有100名學生，17歲的有2人，18歲的有2人，19歲的有30人，20歲的有56人，21歲的有10人，則該年級學生的平均年齡為事實上我們在計算中是用頻率的權重的加權平均，對于一般的離散型隨機變量，其定義如下：Definition 4.1 設離散型隨機變量的分布律為表4-1表4-1 若級數絕對收斂，則稱其為隨機變量的數學期望(Mathematical expectation)或

4、均值(Average)記為若級數發散，則稱隨機變量的數學期望不存在(Suppose is a discrete random variable, which distribution law is table 4-1. if progression is absolutely convergent, then it is called mathematical expectation (or average) of random variable , which is written . If seriesis divergent, then random variable has not m

5、athematical expectation.)Example 4.2 一批產品在有一二三等品及廢品4種，所占比例分別為，各級產品的出廠價分別為6元，4.8元，4元，0元，求產品的平均出廠價Solution 由題意產品的平均出廠價為(元)Example 4.3 設隨機變量服從二項分布，求它的數學期望Solution 由于因而 Example 4.4 設隨機變量服從參數為的泊松分布，求它的數學期望Solution 由于 Example 4.5 已知離散型隨機變量的概率分布為，求Solution 二、 連續型隨機變量的數學期望(Mathematical expectation of a cont

6、inual random variable)Definition 4.2 設連續型隨機變量的分布密度函數為，若積分絕對收斂，則稱其為的數學期望或均值記為，(Suppose is a continuous random variable, which its probability density function is . if integral, , is absolutely convergent, then it is called mathematical expectation (or average) of random variable, which is written, an

7、d .)Example 4.6 設隨機變量服從正態分布，求Solution 由于正態分布的密度函數為 令，則 Example 4.7 設隨機變量服從參數為的指數分布，求Solution 由于指數分布的密度函數為 Example 4.8 設隨機變量服從上的均勻分布，求Solution 由于均勻分布的密度函數為 Example 4.9 設隨機變量服從柯西分布，其密度函數為，由于積分發散，因而不存在三、 隨機變量的函數的數學期望(Mathematical expectation of random variable function)Theorem 4.1 設為隨機變量的函數： (g是連續函數)，（

8、1）是離散型隨機變量，分布律為；若級數絕對收斂，則有 （2）是連續型隨機變量，它的分布密度為，若積分絕對收斂，則有 (Suppose Y is a function of random variable, (g is a continuous function), (1) is a discrete random variable, distribution law is ; if series, , is absolutely convergent, then . (2) is a continuous random variable, its probability distributio

9、n density function is , if integral is absolutely convergent, then .)（證明略）定理4.1告訴我們：求時，不必知道的分布，而只需知道的分布就可以了Theorem 4.2 設是隨機變量的連續函數，（1）是二維離散型隨機變量，聯合分布律為；則有 （設該級數絕對收斂）（2）是二維連續型隨機變量，聯合分布密度為，則有（設該積分絕對收斂）(Suppose is a continuous function of random vector, , (1) are discrete random vector of two dimension

10、s, its joint distribution law is ;then . (Suppose this series is absolutely convergent)(2) are continuous random vector of two dimensions, its joint distribution density function is , then . (Suppose this integral is absolutely convergent)（證明略）Example 4.10 設隨機變量服從正態分布，求 (1)；(2) Solution (1)， 令， 由分部積

11、分法有 因而 (2)， 令，則Example 4.11 設的概率密度函數為求Solution 由定理4.2，Example 4.12 隨機變量的分布律如表4-2：表4-2X0 1 2 4P 求Solution 四、 數學期望的性質（The property of mathematical expectation）1 設是常數，則有2 設是隨機變量，設是常數，則有3 設，是隨機變量，則有（該性質可推廣到有限個隨機變量之和的情況）4 設，是相互獨立的隨機變量，則有（該性質可推廣到有限個隨機變量之積的情況）1、2由讀者自己證明我們來證明3和4我們僅就連續型情形給出證明，離散型情形類似可證Proof:

12、 設二維連續型隨機變量的聯合分布密度為，其邊緣分布密度為，則+.性質3得證又若和相互獨立，此時，故有性質4得證Example 4.13 設獨立同分布，且，那么服從，因而§4.2 方 差(variance) 前面曾提到在檢驗棉花的質量時，既要注意纖維的平均長度，還要注意纖維長度與平均長度的偏離程度那么，用怎樣的量去度量這個偏離程度呢？用來描述是不行的，因為這時正負偏差會抵消；用來描述原則上是可以的，但有絕對值不便計算；因此，通常用來描述隨機變量與均值的偏離程度一、 方差的概念(Conception of variance)Definition 4.3 設是隨機變量，存在，就稱其為的方差

13、，記為 (或)，即=稱為標準差，記為(Suppose is a random variable, if is exist, then it is called variance of, and written or , namely , is called standard variance, and written .二、 方差的計算(Calculation of variance)1 =Proof: 由方差的定義及數學期望的性質 2 是離散型隨機變量，分布律為；則3 是連續型隨機變量，它的分布密度為，則Example 4.14 (1) 求例4.12中的方差 (2) 求例4.5中的方差Sol

14、ution (1) (2) ，Example 4.15 設隨機變量服從正態分布，求Solution 由于 (例11)， 因而正態隨機變量的“規則”：從這個數據看到，正態隨機變量的值幾乎完全落在了區間 Example 4.16 設隨機變量服從參數為的泊松分布，求Solution 由于， 而 ，因而 Example 4.17 設隨機變量服從參數為的指數分布，求Solution 由于指數分布的密度函數為 Example 4.18 設隨機變量服從上的均勻分布，求Solution 由于均勻分布的密度函數為， ， Example 4.19 已知隨機變量的密度函數為又已知，求Solution 解之得 三、

15、方差的性質(The property of variance) 設是常數，則有；設是常數，則有；設是相互獨立的隨機變量，則有；設是相互獨立的隨機變量，則（以上4個性質的證明留給讀者自己完成）Example 4.20 設隨機變量服從二項分布，求Solution 由性質4,設獨立同分布，且，那么服從，因而又因為 ，因此 Example 4.21 設的概率密度函數為求及Solution Example 4.22 一臺設備由三大件組成，載設備的運轉過程中需要調整的概率分別為0.10，0.20，0.30，假設各部分相互獨立， 表示需要調整的部件數，試求的分布，Solution ，由于各部件相互獨立，則有

16、§4.3 協方差及相關系數、矩(Covariance, Correlation coefficient and Moment)我們除了討論與的數學期望和方差外，還需討論描述與之間相互關系的數字特征本節討論這方面的數字特征 一、 協方差及相關系數的定義(Covariance and correlation coefficient)Definition 4.4 設有二維隨機變量，如果存在，則稱為隨機變量與的協方差記為，即稱為隨機變量與的相關系數若，稱與不相關(Suppose there are two dimension random variable, if is exist, the

17、n it is called covariance of random variableand , and written , namely, is called correlation coefficient of random variable and . If , then and is not correlational.)二、 協方差與相關系數的性質(Property of covariance and correlation coefficient) 1 協方差的性質(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) 若與相互獨立，則，即與不相關反之，若與不相關，與不一定相互

18、獨立(7) 2 相關系數的性質(1) ；(2) 若與相互獨立，則；(3) 當與有線性關系時，即當（為常數，）時， ；(4) 的充要條件是，存在常數使事實上相關系數只是隨機變量間線性關系其強弱的一個度量，當表明隨機變量與具有線性關系時為正線性相關， 時為負線性相關，當時，這種線性相關程度就隨著的減小而減弱，當時，就意味著隨機變量與是不相關的Example 4.23 設是服從上的均勻分布，又，試求相關系數Solution 因而 相關系數，隨機變量與不相關，但是有，從而與不獨立Example 4.24 設二維隨機變量的概率密度函數為證明隨機變量與不相關，也不相互獨立證明 由于關于軸、軸對稱，有，因而 即是與不相關又由于 ， 顯然在上，所以與不相互獨立三、 矩 (Moment)Definition 4.5 設和是隨機變量，若存在，稱它為的階原點矩，簡稱階矩若存在，稱它為的階中心矩若存在，稱它為和的階混合矩若存在，稱它為和的階混合中心矩(Suppose and are random variables, if , is exist, it is called order origin moment of . If ,