1、常見相似類型：A字形，斜A字形，8字形、斜8字形（或稱X型），雙垂直（母子型），,旋轉形【雙垂直結論，即直角三角形射影定理】：【1】直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項；【2】 每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。 （1）ACDCDBAD:CD=CD:BDCD²=ADBD2 ACDABCAC:AB=AD:ACAC²=ADAB（3）CDBABCBC:AC=BD:BCBC²=BDAB結論：÷得AC²:BC²=AD:BD結論：面積法得ABCD=ACBC比例式【證明等積式(比例式)策略】:1、直接法：找

2、同一三角形兩條邊變化：等號同側兩邊同一三角形， 三點定形法2、間接法：對線段比例式或等積式的證明：常用等線段替換法、中間比過渡法、面積法等若比例式或等積式所涉及的線段在同一直線上時，應將線段比“轉移”(必要時需添輔助線)，使其分別構成兩個相似三角形來證明3種代換 等線段代換； 等比代換； 等積代換；創造條件 添加平行線創造“A”字型、“8”字型 先證其它三角形相似創造邊、角條件相似判定條件：兩邊成比且夾角等、兩角對應相等、三邊對對應成比 【口訣】：遇等積，改等比，橫看豎看找相似；不相似，莫生氣：等線等比來代替；平行線，轉比例，等線等比來代替；遇等積，改等比，橫看豎看找相似ABC中，AB=AC，

3、DEF是等邊三角形，求證：BDCN=BMCE證明：ABC中，AB=AC，B=CDEF是等邊三角形，FDE=FEDMDB=AECBDMCEN 即BDCN=BMCE反饋：如圖，ABC是等邊三角形，D、E在BC所在的直線上，且ABAC=BDCE求證：ABDECA證明：ABC是等邊三角形（已知），ABC=ACB=60°（等邊三角形的三內角相等，都等于60°），ABD=ACE（等角的補角相等），又ABAC=BDCE（已知），即ABDECA（兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似）等邊三角形ABC中，P為BC上任一點，AP的垂直平分線交AB、AC于M、N兩點。求證：BPPC=BMCN

4、證明：連接PM，PN， MN垂直平分AP，AM=MP，AN=PN，又MN為公共邊，AMNPMN（SSS），MPN=BAC=60°，BPM+CPN=120°，BPM+BMP=120°，BMP=CPN，由B=C=60°，MPBPNC，即BPPC=BMNC斜邊上面作高線，比例中項一大片 RtABC中，BAC=90°，ADBC于D，E為AC的中點，求證：ABAF=ACDF分析：比例式左邊AB，AC在ABC中，右邊DF、AF在ADF中，這兩個三角形不相似，因此本題需經過中間比進行代換。通過證明兩對三角形相似證得結論。證ABCDBA 證ADFDBF有射影，

5、或平行，等比傳遞我看行梯形ABCD中，AD/BC，作BE/CD,求證：OC²=OA·OE證明：ADBC，OC：OA=OB：OD又BECD，OE：OC=OB：ODOC：OA=OE：OCOC²=OA·OE如圖，在ABC中，已知A=90°時，ADBC于D，E為直角邊AC的中點，過D、E作直線交AB的延長線于F求證：ABAF=ACDF證明：BAC=90°，ADBC，CBAABD，AB：AC=BD：AD ，C=FAD，又E為AC的中點，ADBC， ED=AC=EC，C=EDC，又EDC=FDB， FAD=FDB，F為公共角，DBFADF， BD

6、：AD=DF：AF ，由得，AB：AC=DF：AF 即ABAF=ACDF四共線，看條件，其中一條可轉換； RtABC中四邊形DEFG為正方形。求證：EF²=BEFC在RtABC中，B+C=90°，在RtBDE中，B+ADE=90°ADE=CRtBDERtGCF，DE：FC=BE：GF又四邊形DEFG為內接正方形，DE=GF=EF，EF：FC=BE：EF，EF2=BEFCABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，CFBA，求證：BP²=PE·PF。 證明：連結PCAB=AC，AD是中線，AD是ABC的對稱軸   &

7、#160;PC=PB，PCE=ABPCFAB，      PFC=ABPPCE=PFC   又CPE=EPC，    EPGCPF  ，即PC2=PE·PF  BP2=PE·PFAD是ABC的角平分線，EF垂直平分AD，交BC的延長線于E，交AB于F.求證： DE²=BE·CE.可證AECBEA，AE/BE=EC/EA，AE2=BE×CEDE2=BE×CE兩共線，上下比，過端平

8、行條件邊。引平行線應注意以下幾點：1）選點：一般選已知（或求證）中線段的比的前項或后項，在同一直線的線段的端點作為引平行線的點。2）引平行線時盡量使較多已知線段、求證線段成比例。 AD是ABC的角平分線.求證：AB:AC=BD:CD.證明：過D作AC的平行線交AB于E，則32AD平分BAC1213AED是等腰三角形   EA=ED  DEACBE：EA= BD：BC AB：BE=AC：DE  AB：AC= BE：DE =BE：EA由可得 AB：AC= BD：BC在A

9、BC中，AB>AC，D為AB上一點，E為AC上一點，AD=AE，直線DE和BC的延長線交于點P，求證：BP:CP=BD:CE.證明：過點C作CFAB交PD于FADAEADEAEDCFABCFEADECEFAEDCFECEFCECF又CFABPCFPBDBP/CPBD/CFBP/CPBD/CEBP：CPBD：CE如圖，在ABC中，M是AC的中點，P，Q為邊BC的三等分點若BM與AP，AQ分別交于D，E兩點，求BD，DE，EM三條線段的長度比解：過A作AF  BC交BM延長線于F，設BC=3a則BP=PQ=QC=a；AM=CM，AF  BC，AF：BC

10、=AM：CM=1，AF=BC=3a， BD：DF=BP：AF=1：3， BD= 同理可得：BE=  ，BM=  ；DE=BE-BD=  ，EM=BM-BE=  ，BF：FG：GE=：= 5：3：2彼相似，我條件，創造邊角再相似如圖,AE*AE=AD*AB,且ABE=C,試說明BCEEBD.證明：因為AE*AE=AD*AB；所以：AEDABE.所以：ADE=AEB;所以：BDE=CEB又因為：12所以：BCEEBD.已知，求證：證明：ABDACE，BAD=CAE，BAD+BAE=CAE+BAE，即BAC=DAE，ABCADE已知，如圖，D為ABC內一點連接BD、AD，以BC為邊在ABC外作CBE=ABD，BCE=BAD，BE、CE交于E，連接DE.（1）求證：（2）求證：DBEABC.證明：在CB