1、2012622039 陳鑫一、綜述將雙程波動算子分解成單程波動算子的方法和途徑；用褶積算子分解，具體如下：在非均勻介質情況下全彈性雙程延拓矢量方程寫為，式中是一個66的矩陣，考慮二維情況，用空間褶積代替空間求導，并假設介質，空間導數可以忽略，則變為44的矩陣 (1-1-1)式中：（1-1-2）注，*代表褶積。上式不能應用到流體中，因為流體介質的，而（1-1-2）式中為的分母。算子可分解為 （1-1-3）式中，和的表達式將在下面給出，為了使物理意義更清楚一些，先要說明，在二維情況下，如果波前的法線位于垂直平面內，則在該平面（平面）極化的波是縱波波和橫波。此時，與定義式相符，波矢量包含波和橫波。對

2、水平極化的橫波，有，此時波矢量將更為簡化，形式上與聲學方程相似，在此暫不討論。對質點速度而言，還可用一個標量位的梯度和一個矢量位的旋度來表示，即,式中為標量位或脹縮位，為矢量位或剪切位。對于均勻介質，與彼此獨立，可分別導出縱、橫波方程。在非均勻介質中，和相互耦合。設，對于二維平面，選的分量為零，只有分量存在。 （1-1-4） （1-1-5） （1-1-6）其中，都是22的矩陣，它們的表達式分別為： （1-1-7） （1-1-8） （1-1-9） （1-1-10）式中表示的轉置矩陣。（1-1-11） （1-1-12） （1-1-13）（1-1-14）以上各式中上角標和分別對應橫波和縱波。如果定義

3、和分別為上行和下行P波位，和為上行和下行SV波位，則（1-1-15） （1-1-16）再定義為：（1-1-17）可得（1-1-18）（1-1-19）容易看出為合成算子，而為分解算子，將（1-1-18）帶入（1-1-19）計算得，式中 （1-1-20） 至此就建立了非均勻介質情況下全彈性雙程延拓方程與全彈性單程耦合延拓方程，利用分解算子雙程彈性矢量可分解為單程耦合波矢量，反之利用合成算子也可合成。2Stolt隱式展開法求單程波方程地震波在地下介質中的傳播，近似服從標量波動方程 （1-2-1）為了介紹動坐標變換，先考慮常速度的一維波動方程 （1-2-2）引入隨時間而運動的坐標變換 （1-2-3）由

4、于坐標軸以速度上行（取向下為正），以速度上行的波在這個坐標系中便是靜止的，正如兩輛以速度并行的汽車，車內的乘客看到對方的車是靜止的一樣。于是反變換到原坐標系，得到上行波方程： （1-2-4）變換（1-2-3）不能推廣到二維，為此把它改寫成 （1-2-5）（1-2-5）和（1-2-3）類比容易發現上行波方程在該坐標系中應為由（1-2-5）得 （1-2-6）代入（1-2-2）即得： （1-2-7）反變換到同樣得到（1-2-4）對于二維方程（1-2-1）Claerbout把（1-2-5）推廣成浮動坐標系 （1-2-8）將（1-2-6）和代入（1-2-1）得 （1-2-9）這時，（1-2-7）式不成立

5、，但相對于和很小，在一定條件下可以忽略掉。下面我們分析可以從（1-2-9）中略去的條件。設和為沿軸和軸的波數，則有：即，同理，于是波陣面與地面夾角為的平面上行波考慮到（1-2-8）式得則用同和交叉導數相比，分別得可見，只要地層的反射界面的傾角足夠小時，可以從（1-2-9）中略去，從而得到Claerbout 15°上行波方程。 （1-2-10）Stolt在方程（1-2-9）的基礎上再對求導，并用（9）消去，然后略去得到三階的45°方程 （1-2-11）3Claerbout顯示展開法求單程波方程假定的傅氏變換存在，則即的傅氏變換等于的傅氏變換乘以，同理的傅氏變換等于的傅氏變換乘

6、以，這種對應關系簡記為 （1-3-1）設為常數，對（1-2-1）的作傅氏變換，由（1-3-1）得其通解為：其中， （1-3-2）第一、二項兩個特解分別表示上行波和下行波，上行波顯然滿足方程 （1-3-3）為了求出它的微分形式，Claerbout將（1-3-2）用泰勒式展開取一階近似得到15°方程，后來F.Muir改用精度較高的連分式展開得到45°方程和60°方程等等。下面介紹連分式展開法。容易驗證根式可以展成連分式 （1-3-4）事實上，由得，即在（1-3-4）中分別取和，并且記和便得到（1-3-2）的兩個展開式 （1-3-5） （1-3-6）將（1-3-5）代入

7、（1-3-3）得反變換到域，由（1-3-1）得 （1-3-7）在浮動坐標系（1-3-7）中應用公式（1-2-6）易知上述方程就是15°方程（1-2-10）。用同樣的方法將（1-3-6）代入（1-3-3）可得到45°方程（1-2-11）。二、對出現的文獻和教科書中的成像條件進行綜述，給出每個成像條件的所依賴的物理事實。常用的成像條件有零時間成像條件、激發時間成像條件和波阻抗成像條件等。零時間成像條件只適用于迭后逆時偏移; 波阻抗成像條件對于聲波方程逆時偏移較實用, 并且當干擾波較強時, 其誤差較大; 激發時間成像條件也在聲波方程的疊前逆時偏移中廣泛采用。為了不失一般性并簡化表

8、達,忽略權系數時的疊前數據可以表示為 （2-1）式中，和分別代表聲波方程源點（接收點）到空間點的單程傳播；代表源子波，代表反射系數分布。在深度處，一次反射的正演模型為： （2-2）故 （2-3）對于多層的情況，其正演模型是： （2-4）即 （2-5）忽略掉所有的傳播損失，則定義為： （2-6）通過加權求和，可以得到全反射系數矩陣。這樣，中的每一個頻率成分都變換到了線性Radon域，并沿著恒定射線參數進行累加。因此，為了得到更好的反射系數，要對所有的頻率進行累加，即： （2-7）式中，N是頻率元素個數。通常情況下，所謂的“零偏移距反射系數”可以適應構造成像，而且在這種情況下只需估計全反射系數矩陣

9、的對角線上元素的值。中給個元素的值都可以通過和的商得到，即： （2-8）式中，為穩定常數。為了保證上式計算的穩定性，成像原理的簡易實現，即所謂的相關形式為： （2-9）稱（2-9）式為成像條件1.對于非均勻的宏觀模型，源波場被嚴重扭曲，所以必須考慮源場的振幅變化，使用（2-8）式來成像。由于是非均勻介質，入射波場振幅值很小的點必然存在，因此為了保證求解的穩定性，則： （2-10）稱（2-10）式為成像條件2。另外一種得到對反射系數最好寬帶估計的方法如下：對于所有的頻率 （2-11）由可以得到： （2-12）式中，分子代表零時刻入射場和反射場的互相關，分母代表零時刻入射場的自相關。在實際運算過程

10、中，必須給出方程再穩定的求解方程，即： （2-13）稱（2-13）式為成像條件3.三、從雙程波動方程出發推導以地下半空間中的Kirchhoff繞射積分和Rayleigh積分(一)Kirchhoff繞射積分方程設有一簡諧波，其圓頻率為將上式代入均勻介質情況下的聲學波動方程 （3-1）式中波場，V為波的長波速度，介質均勻時V為常數。代入后得到以下形式的亥姆霍茲方程 （3-2）式中為圓波數。假定在任意觀測點P的周圍，任取一個閉合曲面S，用W表示閉合面所包含的體積，又設在S面內和S面上，u及其各一階導數，二階導數都是連續的，G是具有同樣連續性的另一任意函數，按格林定理得 （3-3）式中表示沿著閉合曲面

11、S向里的法線方向求導。若G也滿足方程（3-2） （3-4）由（3-2）和（3-4）得，兩式相減消除得 （3-5）則有 (3-6)令 （3-7）式中r表示P點到任意點的距離。根據（3-7）式，在處，函數G有一個奇點，又因G假定是連續可微的，P點必須從積分域中挖掉，用半徑為的小球面包圍P點并且開拓積分到表面和小球面之間的全部體積得 （3-8）在小球面上，法線的方向與的方向一致，可換成，于是有 （3-9）在小球面上，并且有式中為立體角，得 （3-11）當包圍P點的小球無線縮小，即球半徑時，（3-11）式右邊一、三項為0，第三項的極限為 （3-12）此式稱為簡諧波的克希霍夫積分式。假設時間空間函數是波

12、動方程的一個解，對其作傅氏變換，顯然，滿足方程（3-2），則 （3-13）相對做傅氏反變換得(3-14)交換積分次序，并用代替得：令，并考慮到與的傅氏變換對應，則 （3-15）上式為一般情況下的克希霍夫積分公式。（二）Rayleigh積分設為壓力，為法向質點速度，根據牛頓第二定律，單位體積的運動方程為式中為介質密度。將其代入(3-12)對和相對t做傅氏變換并考慮到和的對應關系得： （3-16）設閉合面由上半空間（）的半球面和平面（）組成，這時 （3-17）設上半空間的波場值是由下半空間（）中的次生源產生的，則在計算上半空間P點在有限時間間隔內的波場值時，總可以找到R使來自面上的貢獻在時間小于時

13、尚未達到P點，即對給定的，總可以找到球半徑，使得的任意點有：則 （3-18）在上合內部滿足方程（2），同時在上滿足=0上任一點至P點的距離為，則 (3-18)對面取P點的鏡像，取則(3-19)則 （3-20）此為半空間的克希霍夫積分，又稱為Rayleigh I積分。 （3-21）此為半空間壓力場的克希霍夫積分公式，稱為Rayleigh II積分。四、從雙程波動方程出發推導出程函方程和射線方程1. 程函方程的推導程函方程在數學上是用WKBJ方法在某種近似條件下把二階的波動方程近似為一階方程；在物理上是用集合光學射線理論近似波動理論。近似的條件是波速的空間梯度不大。程函方程在幾何光學上就是光程函數

14、所滿足的方程。當波速為常數時，波動方程具有以下形式的解 （4-1-1）若是傳播方向上的一點，波從原點傳播到 的時間（簡稱為走時）是，顯然滿足方程 （4-1-2）當速度可變時，假定在有限時間間隔內波動方程的解為，把它展成Fourier級數式中是圓頻率為的諧波的振幅，是諧波的相位，為諧波的走時。將上式代入波動方程其實部為若 則：（4-1-3）稱之為程函方程，它表明走時的空間變化率的絕對值等價于介質的慢度。的三維空間曲面為諧波的波陣面或波前，波陣面的法線就是射線，于是空間每一點的射線方向為 （4-1-4）波通過空間任意兩點和的走時為其中為積分路徑和射線方向的夾角。由（4-1-4）看出的方向為射線的方

15、向，因此（4-1-3）為或其中為射線的單位向量。于是沿射線方向求導數得這樣得到程函方程的另一形式 （4-1-5）此式有稱為幾何光學的鏡像方程式，其中為仿射參數。若記，取為弧長由得：故（4-1-5）可寫成： （4-1-6） 2. 射線方程的推導把地球劃分為矩形網絡并且編號之后，給定每個網絡元中心處一個慢度值，速度梯度可以由相鄰網格中心慢度的差商算出，如其中為網格水平步長。射線長度s的函數的射線位置 （4-2-1）其中為震源位置，為入射線在時的單位向量。為了求解（4-2-1）式，考慮在一個網格區域內，速度的梯度為常數即 于是， （4-2-2）為簡單起見，設，并記。對 按Taylor級數展開并取第二

16、項得 （4-2-3）為了計算（4-2-1）式中的第二項和第三項，首先計算 （4-2-4） （4-2-5）整理得： （4-2-6）則： （4-2-7）將（4-2-6）、（4-2-7）帶入（4-2-1）得： （4-2-8）方程（4-2-8）的與微分得到射線穿出網絡的方向 （4-2-9）旅行時間為： （4-2-10）通過一個網格的路程為：（4-2-11）5、 綜述利用有限差分法解波動方程的基本原理并詳細給出你所了解的兩種有限差分格式。基本原理：有限差分法就是一種用數值表給出定解問題的方法，其主要思想就是用差商代替微商。當很小時，對于偏微分形式，寫成差商形式與常微分形式是類似的。因而，對于一個偏微分方

17、程，我們可以通過這種近似把它寫成差分方程的形式。當然，這種近似所帶來的誤差總是存在的，但只要它所產生的誤差不要超出我們想要限制的范圍，那么這種方法對我們所討論的問題就是可行的。兩種波動方程的有限差分格式：差分方程的格式基本可分兩大類，即顯示格式和隱式格式。在實際工作又可以衍生出很多種格式，甚至可以用顯示與隱式聯合形式的差分格式。在這里我們僅以拋物型偏微分方程為例說明常用的顯示格式和Grank-Nicolson格式。（1） 顯示格式 設有拋物型偏微分方程： （5-1）具體的差分方程為： （5-2）所用的差分網格如圖（5-1）所示。令，則（5-2）式可以寫為： （5-3）其中，和為已知值。從第時間

18、層上的已知值，可用（5-3）式直接計算第時間層的值。以此類推，可解出全時間上的物理量值。（2） Grank-Nicolson隱式格式 雖然顯示法計算上很簡單，但它有一個嚴重的缺點，即時間步長一定要很小，必須滿足，才能保持計算上穩定并達到必要的精度。Grank-Nicolson在1947年提出了一個使所有的有限值都滿足計算要求（收斂性與穩定性）的方法。他們把項用第和時間行上的平均差分式來逼近。求出下列差分方程： （5-4）由此得出下列等式： （5-6）其中。 （5-6）式的左邊包含有3個未知數值，右邊3個值是已知的。如果在每個時間層上有個格點，則方程（5-6）根據零時間層計算第一時間層的網格點上

19、的函數值時可列出個聯立方程組。由于時間層上的初值和邊值是給出的，因此方程組表現為三對角線陣。對于這樣的方程組，可用代數的追趕法求解，也可以用矩陣方程來分析。六、綜述屏或廣義屏近似的基本原理廣義屏傳播算子理論和方法的發展過程：目前被廣為應用的射線-Kirchhoff成像方法常被稱為Kirchhoff偏移方法，這是一種建立在射線理論基礎上的深度偏移方法。其局限之一是Kirchhoff方法的分辨率會隨著深度增加而逐漸變差，從而導致對深部結構的分辨率降低，這一現象源于利用射線解來近似格林函數時菲涅爾帶的影響。局限之二是Kirchhoff偏移方法所攜帶的成像信息中缺乏正確的振幅信息。后來發展了時-空域（

20、）有限差分法。發展了雙域偏移技術，這些方法中沒有離散化造成的格點頻散，并且計算量比時-空域有限差分少得多，這些雙域算子可以被視為超廣角單向波傳播算子，它們忽略了在非均勻性之間往返傳播的交混回響，但是正確處理了與多次前向散射有關的波動現象。利用不同逼近方法可以得到建立在不同近似基礎上的廣義屏傳播算子，初期的推導使用了局部Born近似和De Wolf近似，之后單向波廣義屏傳播算子的導出被置于更正規的Hamilton路徑積分之上，這一推導為對傳播算子進行精度分析和作進一步推廣奠定了數學基礎。廣義屏算子的三種不同形式：擬屏近似，廣義屏級數展開和Pade展開逼近。擬屏方法基于弱散射近似，因此，垂直慢度算

21、子可以被分解成背景部分和擾動部分，擾動部分可以從局部Born近似導出。廣義屏級數法按速度擾動的擾動度參數和光滑度參數將慢度算子垂直分量中的擾動部分展成級數，擾動度參數中的首項與局部Born近似解相當。加入更多的高階項，可以在提高廣角精度的同時也涉及更大的計算量。廣角Pade屏方法從對垂直慢度算子進行平滑近似出發，無需借助小擾動近似，因此可以更自然地處理具有強速度反差的介質，但是，它所涉及的近似與傳統方式對平方根算子進行展開時所用的局部均勻近似相當，在尖銳的間斷面附近可能存在較大的誤差。進行平滑近似（即高頻漸進）之后，垂直慢度算子被展開成Pade級數使用有限差分方法來進行廣角校正。七、推導均勻介

22、質中的零炮檢距F-K偏移公式并給出相應的實現流程；二維均勻介質水平疊加厚零炮距地震坡面的偏移問題，此時，縱波方程應為（7-1）式中。設是的二維傅氏變化（7-2）而（7-3）對（7-1）式相對x,t做二維傅氏變換，并考慮到和與和的對應關系，（7-1）式變為 (7-4)由于假定V不隨z變化，在z方向上為常數，上式的解為（7-5）式中為待定常數。零炮檢距情況下的偏移問題常采用爆炸反射界面成像原理，此時只考慮上行波，而上行波與（7-5）式中的項對應，于是方程（7-5）簡化為（7-6）當時，得，就是地面觀測記錄（零炮檢距觀測情況）或疊加后的記錄的傅氏變換，這是已知的。于是得（7-7）將（7-7）代入（7

23、-3）式 (7-8)根據爆炸反射界面成像原理，反射點存在于t=0的地方，令t=0,得偏移剖面。（7-9）為簡單起見，將和分別記為和得（7-10）為了使（9）式成為真正的二維傅氏變換積分，必須將變換成，將變成。由頻散關系式：得：（7-11）于是有：（7-12）根據頻散公式，通過插值可將映射為，這時（7-12）式變為：（7-13）（7-13）式為F-K偏移原理公式。實現流程：（1） 將疊加地震剖面做二維傅氏變換得；（2） 通過插值映射將變為；（3） 用乘；（4） 對步驟（3）的結果做二維傅氏反變換得偏移剖面。8、 推導均勻介質中的Kirchhhoff偏移公式并給出實現流程；式中代表的平面，波場值定

24、義在該平面上，為平面外某點處所得的由產生的波場值，為平面上任一點至點的距離。針對地震資料偏移處理的實際問題，此方程應進一步改造。首先地震勘探測線往往布置成規則的測網，設方向的測線與方向的測線垂直，則積分可改為，其次，在偏移問題中，測量數據定義在的平面上，地下不均勻點（反射或繞射）的波場為待求，待求波場在時間上應當較平面上的記錄的波場超前，而不是像上式滯后，為此須將改為這樣上式變為 （8-1） 對于共中心點疊后記錄，使用爆炸反射界面成象原理，偏移速度取真實速度之半，并在時成象，得偏移剖面為 （8-2）式中。設為相鄰共中心點間距，為相鄰兩測線間的距離，為深度采樣間隔，并定義， ， ， ， （8-3

25、）式中和為正整數，則（8-2）的離散式為 （8-4）式中，表示差商。如果不考慮遠場條件，先將改為，再運用爆炸反射界面成像原理（成像，速度減半）得 （8-6）令,并考慮到， （8-7）再利用中心差分 （8-8）式中為時間采樣間隔，將（8-8）、（8-7）代入（8-6） （8-9）對（8-9）式離散求和，即得偏移結果。9、 綜述逆時偏移的基本原理和實現流程；逆時深度偏移是另一種波動理論的深度偏移方法，它的思路比較新穎。在以前所述各類偏移方法中，都把地表水平疊加時間剖面作為方向的邊界條件，在深度方向上延拓，而在逆時偏移方法中，計算是從疊加剖面的最后一個采樣點開始，向著負時間方向延拓。另一方面，此方法

26、還把近幾年才應用的虛譜算法(也稱傅氏變換法)引進來，以解決空間導數的計算問題。為把波動方程變化成僅適合于上行波的形式，J.Gazdag于1981年首先提出了90度無層間反射的單程上行波波動方程。 （9-1）對上式的時間t引入中心差分格式近似導數得到即（9- 2）若設波場和已知，那么現在的問題就是求上式右邊第二項的值。一般來說，此項的值是難以求得的，但可用虛譜法得到 （9-3）其中實現流程如下：和分別是關于的正、反二維傅氏變換算符；為符號函數。因此，（9-2）式可以寫成 （9-4）此時若再規定延拓起始波場值和（T為地表時間剖面的最大記錄時間）為零，則可通過（9-3）和（9-4）式，完成從最大記錄時間T到的逆時延拓計算，根據爆炸反射界面成像原理，取時刻的深度剖面輸出就得到了逆時深度偏移的最終偏移剖面。需要指出的