1、2.4.22.4.2 平面向量數量積的坐標表示、模、平面向量數量積的坐標表示、模、夾角夾角目標導航目標導航課標要求課標要求 1.1.掌握平面向量數量積的坐標表示及其運算掌握平面向量數量積的坐標表示及其運算. .2.2.會運用向量坐標運算求解與向量垂直、夾角等相關會運用向量坐標運算求解與向量垂直、夾角等相關的問題的問題. .3.3.增強用向量法與坐標法來處理向量問題的能力增強用向量法與坐標法來處理向量問題的能力. .素養達成素養達成1.1.通過平面向量數量積的坐標表示及其運算的學習通過平面向量數量積的坐標表示及其運算的學習, ,使學生提高數學運算和數學建模的核心素養使學生提高數學運算和數學建模的

2、核心素養. .2.2.在運用向量坐標運算求解與向量的模、夾角、垂直在運用向量坐標運算求解與向量的模、夾角、垂直等相關問題的過程中等相關問題的過程中, ,提升邏輯推理和數學運算的核提升邏輯推理和數學運算的核心素養心素養. .3.3.通過運用向量法與坐標法來處理向量問題通過運用向量法與坐標法來處理向量問題, ,提升數提升數據分析和數學建模的能力據分析和數學建模的能力. .新知導學新知導學課堂探究課堂探究設向量設向量a a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b b=(x=(x2 2,y,y2 2),),a a與與b b的夾角為的夾角為.新知導學新知導學素養養成素養養成數量積數量積ab= = 1

3、1向量垂直向量垂直ab 1 1x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=0=0思考思考1:a=(-2,1),b=(x,-2),1:a=(-2,1),b=(x,-2),且且ab,ab,那么那么x=x=. . 提示提示: :因為因為a ab b, ,所以所以-2x+1-2x+1(-2)=0.(-2)=0.所以所以x=-1.x=-1.答案答案: :-1-12211xy222121+xxyy思考思考2: 2: 向量向量a=(x,y),a=(x,y),與向量與向量a a共線的單位向量共線的單位向量a0a0的坐標是什么的坐標是什么? ?思考思考3

4、:3:向量向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么向量那么向量a a在向量在向量b b方向上的投影怎樣方向上的投影怎樣用用a,ba,b的坐標表示的坐標表示? ?名師點津名師點津向量垂直與向量平行坐標表示的區別向量垂直與向量平行坐標表示的區別非零向量非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a=(x1,y1),b=(x2,y2),假設假設ababx1y2=x2y1;x1y2=x2y1;假設假設ababx1x2=-y1y2.x1x2=-y1y2.兩個命題不能混淆兩個命題不能混淆, ,可以比照學習可以比照學習, ,分別簡記為分別簡記為: :縱橫交

5、織積相等縱橫交織積相等, ,橫橫橫橫縱縱積相反縱縱積相反. .課堂探究課堂探究素養提升素養提升題型一平面向量數量積的坐標運算題型一平面向量數量積的坐標運算 例例1 1 向量向量ab,b=(1,2),|ab|=10.ab,b=(1,2),|ab|=10.(1)(1)求向量求向量a a的坐標的坐標; ;解解: :(1)(1)法一法一因為因為a ab b, ,所以設所以設a a=b b(R R),),所以所以a a=(,2),=(,2),所以所以| |a ab b|=|+4|=10,|=|+4|=10,所以所以=2,2,所以所以a a=(2,4)=(2,4)或或a a=(-2,-4).=(-2,-4

6、).(2)(2)假設假設a,ba,b同向同向,c=(2,-1),c=(2,-1),求求(bc)a,(ab)c.(bc)a,(ab)c.解解: :(2)(2)因為因為a a, ,b b同向同向, ,所以所以a a=(2,4),=(2,4),所以所以( (b bc c) )a a=1=12+22+2(-1)(-1)a a=0=0a a=0.=0.( (a ab b) )c c=(2+2=(2+24)4)c c=10=10(2,-1)(2,-1)=(20,-10).=(20,-10).方法技巧方法技巧(1)(1)此類題目是有關向量數量積的坐標運算問題此類題目是有關向量數量積的坐標運算問題, ,靈活應

7、用根本公式靈活應用根本公式是前提是前提, ,設向量一般有兩種方法設向量一般有兩種方法, ,一是直接設坐標一是直接設坐標, ,二是利用共線或垂二是利用共線或垂直的關系設向量直的關系設向量, ,通過此題第通過此題第(2)(2)問還可驗證一般情況下問還可驗證一般情況下(ab)ca(bc),(ab)ca(bc),即向量乘法運算結合律一般不成立即向量乘法運算結合律一般不成立. .(2)(2)通過向量的坐標表示實現向量問題代數化應注意與方程、函數等通過向量的坐標表示實現向量問題代數化應注意與方程、函數等知識的聯系知識的聯系. .答案答案: :(1)D(1)D(2)(2021(2)(2021鄭州市期中鄭州市

8、期中) )設向量設向量a=(1,2),a=(1,2),向量向量b=(-3,4),b=(-3,4),向量向量c=(3,2),c=(3,2),那么向量那么向量(a+2b)c(a+2b)c等于等于( () )(A)(-15,12)(A)(-15,12)(B)0(B)0(C)5 (C)5 (D)-11(D)-11解析解析:(2):(2)因為因為a=(1,2),b=(-3,4),c=(3,2),a=(1,2),b=(-3,4),c=(3,2),所以所以a+2b=(1,2)+(-6,8)=(-5,10),a+2b=(1,2)+(-6,8)=(-5,10),所以所以(a+2b)c=-5(a+2b)c=-53

9、+103+102=5.2=5.應選應選C.C.答案答案: :(2)C(2)C(3)a=(2,-1),b=(3,2),(3)a=(2,-1),b=(3,2),假設存在向量假設存在向量c,c,滿足滿足ac=2,bc=5,ac=2,bc=5,那么向量那么向量c=c=. 備用例備用例1 1 向量向量a=(1,3),b=(2,5),c=(2,1),a=(1,3),b=(2,5),c=(2,1),求求: :(1)2a(b-a);(1)2a(b-a);解解: :(1)(1)法一法一因為因為2 2a a=2(1,3)=(2,6),=2(1,3)=(2,6),b b- -a a=(2,5)-(1,3)=(1,2

10、),=(2,5)-(1,3)=(1,2),所以所以2 2a a( (b b- -a a)=(2,6)=(2,6)(1,2)(1,2)=2=21+61+62=14.2=14.法二法二2 2a a( (b b- -a a) )=2=2a ab b-2-2a a2 2=2(1=2(12+32+35)-2(1+9)5)-2(1+9)=14.=14.(2)(2)(a a+2+2b b) )c c. .解解: :(2)(2)法一法一因為因為a a+2+2b b=(1,3)+2(2,5)=(1,3)+(4,10)=(5,13),=(1,3)+2(2,5)=(1,3)+(4,10)=(5,13),所以所以(

11、(a a+2+2b b) )c c=(5,13)=(5,13)(2,1)(2,1)=5=52+132+131=23.1=23.法二法二( (a a+2+2b b) )c c= =a ac c+2+2b bc c=1=12+32+31+2(21+2(22+52+51)1)=23.=23.題型二向量平行與垂直的坐標形式的應用題型二向量平行與垂直的坐標形式的應用 例例2 (20212 (2021豐臺區期末豐臺區期末) )平面向量平面向量a=(3,1),b=(x,-1).a=(3,1),b=(x,-1).(1)(1)假設假設ab,ab,求求x x的值的值; ;解解: :(1)(1)因為因為a ab b

12、, ,所以所以x=3x=3(-1),(-1),即即x=-3.x=-3.(2)(2)假設假設a(a-2b),a(a-2b),求求a a與與b b的夾角的夾角. .方法技巧方法技巧(1)(1)向量垂直求參數問題向量垂直求參數問題, ,即由相應向量的數量積為即由相應向量的數量積為0 0建立關于參數的建立關于參數的方程方程, ,求解即可求解即可. .(2)(2)非零向量非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).a=(x1,y1),b=(x2,y2).牢記公式的坐標表示牢記公式的坐標表示: :假設假設ababx1y2=x2y1,x1y2=x2y1,即即x1y2-x2y1=0;x1y2-x2y1=0

13、;假設假設ababx1x2=-y1y2,x1x2=-y1y2,即即x1x2+y1y2=0.x1x2+y1y2=0.即時訓練即時訓練2-1:(20212-1:(2021成都市期末成都市期末) )平面向量平面向量a=(4,-3),b=(5,0).a=(4,-3),b=(5,0).(1)(1)求求a a與與b b的夾角的余弦值的夾角的余弦值; ;(2)(2)假設向量假設向量a+kba+kb與與a-kba-kb互相垂直互相垂直, ,求實數求實數k k的值的值. .解解: :(2)(2)因為向量因為向量a a+k+kb b與與a a-k-kb b互相垂直互相垂直, ,所以所以( (a a+k+kb b)

14、 )( (a a-k-kb b)=)=a a2 2-k-k2 2b b2 2=0.=0.因為因為a a2 2= =b b2 2=25,=25,所以所以25-25k25-25k2 2=0,=0,所以所以k=k=1.1.題型三平面向量的夾角問題題型三平面向量的夾角問題 例例3 a=(1,2),b=(1,),3 a=(1,2),b=(1,),求滿足以下條件的實數求滿足以下條件的實數的取值范圍的取值范圍. .(1)a(1)a與與b b的夾角為的夾角為9090; ;(2)(2)a a與與b b的夾角為銳角的夾角為銳角. .方法技巧方法技巧(1)(1)兩非零向量夾角兩非零向量夾角的范圍滿足的范圍滿足0 0

15、180180, ,因此因此, ,僅依靠僅依靠cos cos 的正負不能判定的正負不能判定為銳角或鈍角為銳角或鈍角. .(2)(2)利用數量積求兩向量夾角的步驟利用數量積求兩向量夾角的步驟利用平面向量數量積的坐標表示公式求出這兩個向量的數量積利用平面向量數量積的坐標表示公式求出這兩個向量的數量積; ;在在0 0180180內內, ,由由cos cos 的值求角的值求角.互動探究互動探究: :假設本例條件不變假設本例條件不變, ,如何求如何求a a與與b b的夾角為鈍角時的夾角為鈍角時的取值范圍的取值范圍. .即時訓練即時訓練3-1:3-1:設平面向量設平面向量a=(-2,1),b=(,-1)(R

16、),a=(-2,1),b=(,-1)(R),假設假設a a與與b b的夾角的夾角為鈍角為鈍角, ,那么那么的取值范圍是的取值范圍是. . 備用例備用例3 3 平面直角坐標系平面直角坐標系xOyxOy中中,O,O是原點是原點( (如圖如圖).).點點A(16,12),B(-5,15).A(16,12),B(-5,15).(2)(2)求求OAB.OAB.題型四易錯辨析題型四易錯辨析 例例4 a=(3,-4),b4 a=(3,-4),b是與是與a a共線的單位向量共線的單位向量, ,求求b b的坐標的坐標. .學霸經歷分享區學霸經歷分享區(1)(1)向量的坐標表示簡化了向量數量積的運算向量的坐標表示

17、簡化了向量數量積的運算. .為利用向量法解決平為利用向量法解決平面幾何問題以及解析幾何問題提供了完美的理論依據和有力的工具面幾何問題以及解析幾何問題提供了完美的理論依據和有力的工具支持支持. .(2)(2)應用數量積運算可以解決兩向量的垂直、平行、夾角以及長度等應用數量積運算可以解決兩向量的垂直、平行、夾角以及長度等幾何問題幾何問題, ,在學習中要不斷地提高利用向量工具解決數學問題的能力在學習中要不斷地提高利用向量工具解決數學問題的能力. .(3)(3)注意區分兩向量平行與垂直的坐標形式注意區分兩向量平行與垂直的坐標形式, ,二者不能混淆二者不能混淆, ,可以比照可以比照學習、記憶學習、記憶. .課堂達標課堂達標C C 解析解析: :因為因為ab,ab,所以所以m-3m-32=0,2=0,那么那么m=6.m=6.2.2.假設假設a=(5,x),|a|=13,a=(5,x),|a|=13,那么那么x x等于等于( ( ) )(A)(A)5 5 (B)(B)10 10 (C)(C)12 12 (D)(D)1313C Ca=(2,3),b=(-2,4),a=(2,3),b=(-2,4),那么那么(a+b)(a-b)=(a+b)(a