1、學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能用向量法判斷一些簡(jiǎn)單線線、線面、面面垂直關(guān)系.2.能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系.3.能用向量方法證明空間線面垂直關(guān)系的有關(guān)定理.知識(shí)點(diǎn)一向量法判斷線線垂直思考若直線l1的方向向量為1(1，3，2)，直線l2的方向向量為2(1，1，1)，那么兩直線是否垂直？用向量法判斷兩條直線垂直的一般方法是什么？答案l1與l2垂直，因?yàn)?·21320，所以12，又1，2是兩直線的方向向量，所以l1與l2垂直.判斷兩條直線是否垂直的方法：(1)在兩直線上分別取兩點(diǎn)A、B與C、D，計(jì)算向量與的坐標(biāo)，若·0，則兩直線垂直，否則不垂直.(2)判斷兩直線

2、的方向向量的數(shù)量積是否為零，若數(shù)量積為零，則兩直線垂直，否則不垂直.梳理設(shè)直線l的方向向量為a(a1，a2，a3)，直線m的方向向量為b(b1，b2，b3)，則lma·b0a1b1a2b2a3b30.知識(shí)點(diǎn)二向量法判斷線面垂直思考若直線l的方向向量為1，平面的法向量為2，則直線l與平面的位置關(guān)系是怎樣的？如何用向量法判斷直線與平面的位置關(guān)系？答案垂直，因?yàn)?2，所以12，即直線的方向向量與平面的法向量平行，所以直線l與平面垂直.判斷直線與平面的位置關(guān)系的方法：(1)直線l的方向向量與平面的法向量共線l.(2)直線的方向向量與平面的法向量垂直直線與平面平行或直線在平面內(nèi).(3)直線l的

3、方向向量與平面內(nèi)的兩相交直線的方向向量垂直l.梳理設(shè)直線l的方向向量a(a1，b1，c1)，平面的法向量(a2，b2，c2)，則laak(kR).知識(shí)點(diǎn)三向量法判斷面面垂直思考平面，的法向量分別為1(x1，y1，z1)，2(x2，y2，z2)，用向量坐標(biāo)法表示兩平面，垂直的關(guān)系式是什么？答案x1x2y1y2z1z20.梳理若平面的法向量為(a1，b1，c1)，平面的法向量為(a2，b2，c2)，則·0a1a2b1b2c1c20.類型一證明線線垂直例1已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱長(zhǎng)都為1，M是底面上BC邊的中點(diǎn)，N是側(cè)棱CC1上的點(diǎn)，且CNCC1.求證：AB1MN.證明設(shè)AB中

4、點(diǎn)為O，作OO1AA1.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，OO1為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由已知得A，B，C，N，B1，M為BC中點(diǎn)，M.，(1，0，1)，·00.，AB1MN.反思與感悟證明兩直線垂直的基本步驟：建立空間直角坐標(biāo)系寫出點(diǎn)的坐標(biāo)求直線的方向向量證明向量垂直得到兩直線垂直.跟蹤訓(xùn)練1如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，求證：ACBC1.證明直三棱柱ABCA1B1C1底面三邊長(zhǎng)AC3，BC4，AB5，AC、BC、C1C兩兩垂直.如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA、CB、CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則C

5、(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，(3，0，0)，(0，4，4)，·0.ACBC1.類型二證明線面垂直例2如圖所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1的中點(diǎn).求證：AB1平面A1BD.證明如圖所示，取BC的中點(diǎn)O，連接AO.因?yàn)锳BC為正三角形，所以AOBC.因?yàn)樵谡庵鵄BCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，所以AO平面BCC1B1.取B1C1的中點(diǎn)O1，以O(shè)為原點(diǎn)，以，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1，0，0)，D(1，1，0)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0).所

6、以(1，2，)，(1，2，)，(2，1，0).因?yàn)?#183;1×(1)2×2()×0.·1×(2)2×1()×00.所以，即AB1BA1，AB1BD.又因?yàn)锽A1BDB，所以AB1平面A1BD.反思與感悟用坐標(biāo)法證明線面垂直的方法及步驟方法一：(1)建立空間直角坐標(biāo)系.(2)將直線的方向向量用坐標(biāo)表示.(3)找出平面內(nèi)兩條相交直線，并用坐標(biāo)表示它們的方向向量.(4)分別計(jì)算兩組向量的數(shù)量積，得到數(shù)量積為0.方法二：(1)建立空間直角坐標(biāo)系.(2)將直線的方向向量用坐標(biāo)表示.(3)求出平面的法向量.(4)判斷直線的方向向量與

7、平面的法向量平行.跟蹤訓(xùn)練2如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，點(diǎn)P為DD1的中點(diǎn).求證：直線PB1平面PAC.證明如圖建系，C(1，0，0)，A(0，1，0)，P(0，0，1)，B1(1，1，2)，(1，0，1)，(0，1，1)，(1，1，1)，(0，1，2)，(1，0，2).·(1，1，1)·(1，0，1)0，所以，即PB1PC.又·(1，1，1)·(0，1，1)0，所以，即PB1PA.又PAPCP，所以PB1平面PAC.類型三證明面面垂直例3在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，ABBC，ABBC2，AA11，

8、E為BB1的中點(diǎn)，求證：平面AEC1平面AA1C1C.證明由題意知直線AB，BC，B1B兩兩垂直，以點(diǎn)B為原點(diǎn)，分別以BA，BC，BB1所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，E(0，0，)，故(0，0，1)，(2，2，0)，(2，2，1)，(2，0，).設(shè)平面AA1C1C的法向量為n1(x，y，z)，則即令x1，得y1，故n1(1，1，0).設(shè)平面AEC1的法向量為n2(a，b，c)，則即令c4，得a1，b1，故n2(1，1，4).因?yàn)閚1·n21×11×(1)0

9、5;40，所以n1n2.所以平面AEC1平面AA1C1C.反思與感悟證明面面垂直的兩種方法(1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直去證明.(2)向量法：證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直.跟蹤訓(xùn)練3在四面體ABCD中，AB平面BCD，BCCD，BCD90°，ADB30°，E、F分別是AC、AD的中點(diǎn)，求證：平面BEF平面ABC.證明以B為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)A(0，0，a)，則易得B(0，0，0)，C，D(0，a，0)，E，F(xiàn)(0，a，)，故(0，0，a)，.設(shè)平面ABC的法向量為n1(x1，y1，z1)，則即取x11，n1(1，1，0)為平面

10、ABC的一個(gè)法向量.設(shè)n2(x2，y2，z2)為平面BEF的一個(gè)法向量，同理可得n2(1，1，).n1·n2(1，1，0)·(1，1，)0，平面BEF平面ABC.1.下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為()若n1，n2分別是平面，的法向量，則n1n2；若n1，n2分別是平面，的法向量，則n1·n20；若n是平面的法向量，a與平面平行，則n·a0；若兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面不垂直.A.1B.2C.3D.4答案C解析中平面，可能平行，也可能重合，結(jié)合平面法向量的概念，易知正確.2.已知兩直線的方向向量為a，b，則下列選項(xiàng)中能使兩直線垂直的為()A.a(1

11、，0，0)，b(3，0，0)B.a(0，1，0)，b(1，0，1)C.a(0，1，1)，b(0，1，1)D.a(1，0，0)，b(1，0，0)答案B解析因?yàn)閍(0，1，0)，b(1，0，1)，所以a·b0×11×00×10，所以ab，故選B.3.若直線l的方向向量為a(1，0，2)，平面的法向量為(2，0，4)，則()A.lB.lC.lD.l與斜交答案B解析a，l.4.平面的一個(gè)法向量為m(1，2，0)，平面的一個(gè)法向量為n(2，1，0)，則平面與平面的位置關(guān)系是()A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.不能確定答案C解析(1，2，0)·(2，1

12、，0)0，兩法向量垂直，從而兩平面垂直.5.已知平面與平面垂直，若平面與平面的法向量分別為(1，0，5)，(t，5，1)，則t的值為_.答案5解析平面與平面垂直，平面的法向量與平面的法向量垂直，·0，即(1)×t0×55×10，解得t5.空間垂直關(guān)系的解決策略幾何法向量法線線垂直(1)證明兩直線所成的角為90°.(2)若直線與平面垂直，則此直線與平面內(nèi)所有直線垂直兩直線的方向向量互相垂直線面垂直對(duì)于直線l，m，n和平面(1)若lm，ln，m，n，m與n相交，則l.(2)若lm，m，則l(1)證明直線的方向向量分別與平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量垂

13、直.(2)證明直線的方向向量與平面的法向量是平行向量面面垂直對(duì)于直線l，m和平面，(1)若l，l，則.(2)若l，m，lm，則.(3)若平面與相交所成的二面角為直角，則證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直40分鐘課時(shí)作業(yè)一、選擇題1.設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為a(2，2，1)，b(3，2，m)，若l1l2，則m等于()A.2B.2C.6D.10答案D解析因?yàn)閍b，故a·b0，即2×32×(2)m0，解得m10.2.若平面，的法向量分別為a(1，2，4)，b(x，1，2)，并且，則x的值為()A.10B.10C.D.答案B解析因?yàn)椋瑒t它們的法向量也互相垂直，所以a&#

14、183;b(1，2，4)·(x，1，2)0，解得x10.3.已知點(diǎn)A(0，1，0)，B(1，0，1)，C(2，1，1)，P(x，0，z)，若PA平面ABC，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A.(1，0，2) B.(1，0，2) C.(1，0，2) D.(2，0，1)答案C解析由題意知(1，1，1)，(2，0，1)，(x，1，z)，又PA平面ABC，所以有·(1，1，1)·(x，1，z)0，得x1z0，·(2，0，1)·(x，1，z)0，得2xz0，聯(lián)立得x1，z2，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，0，2).4.在正方體ABCDA1B1C1D1中，若E為A1C1的中點(diǎn)，則

15、直線CE垂直于()A.ACB.BDC.A1DD.A1A答案B解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(1，0，0)，D(0，0，0)，A1(0，1，1)，C1(1，0，1)，E，(1，1，0)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，1)，·(1)×()(1)×0×10，CEBD.5.若平面，垂直，則下面可以作為這兩個(gè)平面的法向量的是()A.n1(1，2，1)，n2(3，1，1)B.n1(1，1，2)，n2(2，1，1)C.n1(1，1，1)，n2(1，2，1)D.n1(1，2，1)，n2(0，2，

16、2)答案A解析1×(3)2×11×10，n1·n20，故選A.6.兩平面，的法向量分別為(3，1，z)，v(2，y，1)，若，則yz的值是()A.3B.6C.6D.12答案B解析·v06yz0，即yz6.二、填空題7.在三棱錐SABC中，SABSACACB90°，AC2，BC，SB，則異面直線SC與BC是否垂直_.(填“是”或“否”)答案是解析如圖，以A為原點(diǎn)，AB，AS分別為y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則由AC2，BC，SB，得B(0，0)，S(0，0，2)，C，.因?yàn)?#183;0，所以SCBC.8.已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD

17、所在的平面外一點(diǎn)，如果(2，1，4)，(4，2，0)，(1，2，1).對(duì)于結(jié)論：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正確的是_.(填序號(hào))答案解析·(1，2，1)·(2，1，4)1×22×(1)(1)×(4)0，APAB，即正確；·(1，2，1)·(4，2，0)(1)×42×2(1)×00，APAD，即正確；又ABADA，AP平面ABCD，即是平面ABCD的一個(gè)法向量，即正確；是平面ABCD的法向量，即不正確.9.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知點(diǎn)P(2cosx1，2cos2x2，

18、0)和點(diǎn)Q(cosx，1，3)，其中x0，.若直線OP與直線OQ垂直，則x的值為_.答案或解析由題意得，cosx·(2cosx1)(2cos2x2)0.2cos2xcosx0，cosx0或cosx.又x0，x或x.10.在ABC中，A(1，2，1)，B(0，3，1)，C(2，2，1).若向量n與平面ABC垂直，且|n|，則n的坐標(biāo)為_.答案(2，4，1)或(2，4，1)解析據(jù)題意，得(1，1，2)，(1，0，2).設(shè)n(x，y，z)，n與平面ABC垂直，即可得|n|，解得y4或y4.當(dāng)y4時(shí)，x2，z1；當(dāng)y4時(shí)，x2，z1.三、解答題11.如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，AB4，BC3，AD5，DABABC90°，E是CD的中點(diǎn).證明：CD平面PAE.證明如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)PAh，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，3，0)，D(0，5，0)，E(2，4，0)，P(0，0，h).易知(4，2，0)，(2，4，0)，(0，0，h).因?yàn)?#183;8800，·0，所以CDA