1、希爾伯特的 23 個(gè)問(wèn)題希爾伯特( )是二十世紀(jì) 上半葉德國(guó)乃至全世界最偉大的數(shù)學(xué)家之一。他在橫跨兩個(gè) 世紀(jì)的六十年的研究生涯中，幾乎走遍了現(xiàn)代數(shù)學(xué)所有前沿 陣地，從而把他的思想深深地滲透進(jìn)了整個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)。希爾 伯特是哥廷根數(shù)學(xué)學(xué)派的核心，他以其勤奮的工作和真誠(chéng)的 個(gè)人品質(zhì)吸引了來(lái)自世界各地的年青學(xué)者，使哥廷根的傳統(tǒng) 在世界產(chǎn)生影響。希爾伯特去世時(shí)，德國(guó)自然雜志發(fā)表 過(guò)這樣的觀點(diǎn)：現(xiàn)在世界上難得有一位數(shù)學(xué)家的工作不是以 某種途徑導(dǎo)源于希爾伯特的工作。他像是數(shù)學(xué)世界的亞歷山 大，在整個(gè)數(shù)學(xué)版圖上，留下了他那顯赫的名字。1900 年，希爾伯特在巴黎數(shù)學(xué)家大會(huì)上提出了 23 個(gè)最重要 的問(wèn)題供二十世

2、紀(jì)的數(shù)學(xué)家們?nèi)パ芯浚@就是著名的希爾伯 特 23 個(gè)問(wèn)題。1975 年，在美國(guó)伊利諾斯大學(xué)召開(kāi)的一次國(guó)際數(shù)學(xué)會(huì)議上， 數(shù)學(xué)家們回顧了四分之三個(gè)世紀(jì)以來(lái)希爾伯特23 個(gè)問(wèn)題的研究進(jìn)展情況。當(dāng)時(shí)統(tǒng)計(jì)，約有一半問(wèn)題已經(jīng)解決了，其余 一半的大多數(shù)也都有重大進(jìn)展。1976 年，在美國(guó)數(shù)學(xué)家評(píng)選的自 1940 年以來(lái)美國(guó)數(shù)學(xué)的十 大成就中，有三項(xiàng)就是希爾伯特第 1、第 5、第 10 問(wèn)題的解 決。由此可見(jiàn)，能解決希爾伯特問(wèn)題，是當(dāng)代數(shù)學(xué)家的無(wú)上 光榮。下面摘錄的是 1987 年出版的數(shù)學(xué)家小辭典以及其它一 些文獻(xiàn)中收集的希爾伯特 23 個(gè)問(wèn)題及其解決情況： 1 連續(xù)統(tǒng)假設(shè) 1874 年，康托猜測(cè)在可列集基

3、數(shù)和實(shí)數(shù)基 數(shù)之間沒(méi)有別的基數(shù)，這就是著名的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。 1938 年， 哥德?tīng)栕C明了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)和世界公認(rèn)的策梅洛-弗倫克爾集合論公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性。 1963 年，美國(guó)數(shù)學(xué)家科亨證明連 續(xù)假設(shè)和策梅洛 -倫克爾集合論公理是彼此獨(dú)立的。因此， 連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不能在策梅洛 - 弗倫克爾公理體系內(nèi)證明其正確 性與否。希爾伯特第 1 問(wèn)題在這個(gè)意義上已獲解決。2 算術(shù)公理的相容性 歐幾里得幾何的相容性可歸結(jié)為算 術(shù)公理的相容性。希爾伯特曾提出用形式主義計(jì)劃的證明論 方法加以證明。 1931 年，哥德?tīng)柊l(fā)表的不完備性定理否定了 這種看法。 1936 年德國(guó)數(shù)學(xué)家根茨在使用超限歸納法的條件 下證明了算術(shù)公理

4、的相容性。1988 年出版的中國(guó)大百科全書數(shù)學(xué)卷指出，數(shù)學(xué)相容性 問(wèn)題尚未解決。3 兩個(gè)等底等高四面體的體積相等問(wèn)題 問(wèn)題的意思是，存在兩個(gè)等邊等高的四面體，它們不可分解 為有限個(gè)小四面體，使這兩組四面體彼此全等。M.W. 德恩1900 年即對(duì)此問(wèn)題給出了肯定解答。4 兩點(diǎn)間以直線為距離最短線問(wèn)題 此問(wèn)題提得過(guò)于一般。 滿足此性質(zhì)的幾何學(xué)很多，因而需增加某些限制條件。 1973 年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家波格列洛夫宣布，在對(duì)稱距離情況下，問(wèn)題 獲得解決。中國(guó)大百科全書說(shuō)，在希爾伯特之后，在構(gòu)造與探討各 種特殊度量幾何方面有許多進(jìn)展，但問(wèn)題并未解決。5. 一個(gè)連續(xù)變換群的李氏概念，定義這個(gè)群的函數(shù)不假定是

5、可微的 這個(gè)問(wèn)題簡(jiǎn)稱連續(xù)群的解析性，即：是否每一個(gè)局 部歐氏群都有一定是李群？中間經(jīng)馮諾伊曼（ 1933，對(duì)緊群 情形）、邦德里雅金（ 1939，對(duì)交換群情形） 、謝瓦莢（ 1941， 對(duì)可解群情形）的努力， 1952 年由格利森、蒙哥馬利、齊賓 共同解決，得到了完全肯定的結(jié)果。6. 物理學(xué)的公理化 希爾伯特建議用數(shù)學(xué)的公理化方法推演 出全部物理，首先是概率和力學(xué)。 1933 年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)?莫哥洛夫?qū)崿F(xiàn)了將概率論公理化。后來(lái)在量子力學(xué)、量子場(chǎng) 論方面取得了很大成功。但是物理學(xué)是否能全盤公理化，很 多人表示懷疑。7. 某些數(shù)的無(wú)理性與超越性1934年，A.O.蓋爾方德和T.施奈德各自獨(dú)立地

6、解決了問(wèn)題的后半部分，即對(duì)于任意代數(shù)數(shù)0 ， 1 ，和任意代數(shù)無(wú)理數(shù)證明了 的超越性。8. 素?cái)?shù)問(wèn)題 包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孿生素?cái)?shù)問(wèn)題 等。一般情況下的黎曼猜想仍待解決。哥德巴赫猜想的最佳 結(jié)果屬于陳景潤(rùn)（ 1966），但離最解決尚有距離。目前孿生 素?cái)?shù)問(wèn)題的最佳結(jié)果也屬于陳景潤(rùn)。9在任意數(shù)域中證明最一般的互反律該問(wèn)題已由日本數(shù)學(xué) 家高木貞治（1921）和德國(guó)數(shù)學(xué)家 E.阿廷（1927）解決。10 丟番圖方程的可解性 能求出一個(gè)整系數(shù)方程的整數(shù) 根，稱為丟番圖方程可解。希爾伯特問(wèn)，能否用一種由有限 步構(gòu)成的一般算法判斷一個(gè)丟番圖方程的可解性？ 1970 年， 蘇聯(lián)的 IO.B. 馬季亞

7、謝維奇證明了希爾伯特所期望的算法不 存在。11. 系數(shù)為任意代數(shù)數(shù)的二次型H.哈塞（1929）和C.L.西 格爾（ 1 936， 1 951 ）在這個(gè)問(wèn)題上獲得重要結(jié)果。12. 將阿貝爾域上的克羅克定理推廣到任意的代數(shù)有理域 上去 這一問(wèn)題只有一些零星的結(jié)果，離徹底解決還相差很 遠(yuǎn)。13. 不可能用只有兩個(gè)變數(shù)的函數(shù)解一般的七次方程 七次 方程的根依賴于 3個(gè)參數(shù)a、b、c，即x=x （ a， b，c）。這 個(gè)函數(shù)能否用二元函數(shù)表示出來(lái)？蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家阿諾爾德解 決了連續(xù)函數(shù)的情形（ 1957） ，維士斯金又把它推廣到了連 續(xù)可微函數(shù)的情形（ 1964）。但如果要求是解析函數(shù)，則問(wèn) 題尚未解決。1

8、4. 證明某類完備函數(shù)系的有限性 這和代數(shù)不變量問(wèn)題有 關(guān)。 1958 年，日本數(shù)學(xué)家永田雅宜給出了反例。15. 舒伯特計(jì)數(shù)演算的嚴(yán)格基礎(chǔ) 一個(gè)典型問(wèn)題是：在三維 空間中有四條直線，問(wèn)有幾條直線能和這四條直線都相交？舒伯特給出了一個(gè)直觀解法。希爾伯特要求將問(wèn)題一般化， 并給以嚴(yán)格基礎(chǔ)。現(xiàn)在已有了一些可計(jì)算的方法，它和代數(shù) 幾何學(xué)不密切聯(lián)系。但嚴(yán)格的基礎(chǔ)迄今仍未確立。16 代數(shù)曲線和代數(shù)曲線面的拓?fù)鋯?wèn)題這個(gè)問(wèn)題分為兩部分。前半部分涉及代數(shù)曲線含有閉的分枝曲線的最大數(shù)目。 后半部分要求討論的極限環(huán)的最大個(gè)數(shù)和相對(duì)位置， 其中 X 、 Y 是 x、 y 的 n 次多項(xiàng)式 .蘇聯(lián)的彼得羅夫斯基曾宣稱證

9、明了 n=2 時(shí)極限環(huán)的個(gè)數(shù)不超過(guò) 3，但這一結(jié)論是錯(cuò)誤的，已由 中國(guó)數(shù)學(xué)家舉出反例（ 1979）。17 半正定形式的平方和表示 一個(gè)實(shí)系數(shù) n 元多項(xiàng)式對(duì)一 切數(shù)組 （x1,x2,.,xn） 都恒大于或等于 0，是否都能寫成平方和 的形式？ 1927 年阿廷證明這是對(duì)的。18 用全等多面體構(gòu)造空間 由德國(guó)數(shù)學(xué)家比勃馬赫 （1910）、莢因哈特（ 1928）作出部分解決。19 正則變分問(wèn)題的解是否一定解析 對(duì)這一問(wèn)題的研究很 少。C.H.伯恩斯坦和彼得羅夫斯基等得出了一些結(jié)果。20 一般邊值問(wèn)題 這一問(wèn)題進(jìn)展十分迅速，已成為一個(gè)很 大的數(shù)學(xué)分支。目前還在繼續(xù)研究。21 具有給定單值群的線性微分

10、方程解的存在性證明已由希爾伯特本人（1905）和H.羅爾（1957）的工作解決。22 由自守函數(shù)構(gòu)成的解析函數(shù)的單值化它涉及艱辛的黎曼曲面論，1907年P(guān)克伯獲重要突破，其他方面尚未解決。死記硬背是一種傳統(tǒng)的教學(xué)方式 ,在我國(guó)有悠久的歷史。 但隨 著素質(zhì)教育的開(kāi)展 ,死記硬背被作為一種僵化的、 阻礙學(xué)生能 力發(fā)展的教學(xué)方式 ,漸漸為人們所摒棄 ;而另一方面 ,老師們又 為提高學(xué)生的語(yǔ)文素養(yǎng)煞費(fèi)苦心。其實(shí),只要應(yīng)用得當(dāng) , “死記硬背 ”與提高學(xué)生素質(zhì)并不矛盾。相反 ,它恰是提高學(xué)生語(yǔ)文 水平的重要前提和基礎(chǔ)。 23 變分法的進(jìn)一步發(fā)展出 這并 不是一個(gè)明確的數(shù)學(xué)問(wèn)題，只是談了對(duì)變分法的一般看法

11、。20 世紀(jì)以來(lái)變分法有了很大的發(fā)展。 “教書先生 ”恐怕是市井百姓最為熟悉的一種稱呼，從最初的 門館、私塾到晚清的學(xué)堂， “教書先生 ”那一行當(dāng)怎么說(shuō)也算 是讓國(guó)人景仰甚或敬畏的一種社會(huì)職業(yè)。只是更早的“先生 ”概念并非源于教書，最初出現(xiàn)的 “先生 ”一詞也并非有傳授知 識(shí)那般的含義。 孟子 中的 “先生何為出此言也？ ”；論語(yǔ) 中的 “有酒食，先生饌 ”；國(guó)策中的 “先生坐，何至于此？ ” 等等，均指 “先生 ”為父兄或有學(xué)問(wèn)、 有德行的長(zhǎng)輩。 其實(shí)國(guó) 策中本身就有 “先生長(zhǎng)者，有德之稱 ”的說(shuō)法。可見(jiàn) “先生 ” 之原意非真正的 “教師 ”之意，倒是與當(dāng)今 “先生 ”的稱呼更接 近。看來(lái)， “先生 ”之本源含義在于禮貌和尊稱，并非具學(xué)問(wèn) 者的專稱。稱 “老師 ”為“先生 ”的記載，首見(jiàn)于禮記 ?曲禮， 有“從于先生，不越禮而與人言 ”，其中之 “先生 ”意為“年長(zhǎng)、 資深之傳授知識(shí)者 ”，與教師、老師之意基本一致。 這個(gè)工作可讓學(xué)生分組負(fù)責(zé)收集整理 ,登在小黑板上 ,每周一 換。要求學(xué)生抽空抄錄并且閱讀成誦。其目的在于擴(kuò)大學(xué)生