1、、方向導數的定義梯度的概念三、小結一、方向導數的定義AyP9討論函數z =/x,j在一點P 沿某一方向的變化率問題.定義 函數的增量/兀+心+紉-/兀與ppr兩點間的距離p = 7()2 + (Ay)2之比值，當P沿著2趨于P時，如果此比的極限存在，那么稱這極限為函數在點P 沿方向/的方向導數.記為lim /兀+心+ ®-/兀TP依定義，函數f(x,y)在點P沿著兀軸正向并=1，0、 )軸正向=0,1的方向導數分別為幾，fy ； 沿著兀軸負向、y軸負向的方向導數是-人，-厶定理 如果函數z = f(x,y)在點尸(兀)是可微分的， 那末函數在該點沿任意方向L的方向導數都存在，且有df

2、 df -缶COS0 +dlQy其中0為兀軸到方向l的轉角.例1求函數"兀宀 在點pi，o處沿從點P1，O 到點02，-1的方向的方向導數.解 這里方向丁即為甩=1，-1, 故X軸到方向的轉角0=-牛 由冬 =e2y =1;方向導數dl1 cos予+ 2 sin- 手& 1,0h°推廣可得三元函數方向導數的定義對于三元函數U = f(x,y,z)9它在空間一點 P(x,y,z)沿著方向厶的方向導數,可定義為茅 =Um /(兀+心+ 0憶+ &)-/(兀憶)01 qtOP其中Q = 7(Ar)2 + (Aj)2+(Az)2 )設方向L的方向角為巾0，/-同理：

3、當函數在此點可微時，那末函數在該點沿任意方向I的方向導數都存在，且有dldxCOSG +COS0 +dfwir梯度的概念問題:函數在點P沿哪一方向增加的速度最快?定義 設函數z = f(x,y)在平面區域D內具有一階 連續偏導數，那么對于每一點P(x,y)eDt都 可定出一個向量窘 +魯了,這向:稱為函 數z = f(x,y)在點P(x,y)的梯度'記為莎3小刃=窘+黑設e =cos0 + sincpj是方向/上的單位向量， 由方向導數公式知df dfdf . (df df.,.,_ = _eos + sin =莎，勞.cos°,sm0=gradf (xy)-e =1 gra

4、df(x.y) I cos。，-魯有最大值其中& = (gradfix,y e )當 cos(gradf(x,y), 7) = 1 時,結論函數在某點的梯度是這樣一個向量，它的方 向與取得最大方向導數的方向一致,而它的 模為方向導數的最大值.梯度的模為gradf(x,y) =在幾何上z = /兀表示一個曲面曲面被平面z=c所截得z = /(兀)z =c所得曲線在my面上投影如圖yt f(x,y) = c2f(x,y) = clXgradfx,y梯度為等高線上的法向量/兀=c等高線梯度的概念可以推廣到三元函數三元函數"= /(x,y,z)在空間區域G內具有一階 連續偏導數，貝I

5、對于每一點P(x,y,z)eG,都可 定義一個向量(梯度)冋34窘+J7+魯F類似于二元函數，此梯度也是一個向量，其方向與 取得最大方向導數的方向一致，其模為方向導數的最大值.類似地，設曲面f(x,y,z) = c為函數u = f(x,y,z)的等量面，此函數在點P(x.y.z)的梯度的方向與 過點P的等量面/(x,j9z) = c在這點的法線的一個方向相同，且從數值較低的等量面指向數值較 高的等量面，而梯度的模等于函數在這個法線方 向的方向導數.例 4 求函數 u = x2 + 2y2 + 3z2 +3x-2y 在點(1 丄 2)處的梯度，并問在哪些點處梯度為零向量?解 由梯度計算公式得gradu(x,y,z)=警亍 +=(2x + 3)i + (4j -2)j + 6z 氐,故 gradm(19 2) = 51 +2j +12k . 在仇(-斗，+，0)處梯度為零向量.三、小結K方向導數的概念注意方向導數與一般