1、普通物理學程守洙第六版靜止電荷電場總結真空中的靜電場教學目的要求1. 理解點電荷概念，掌握庫侖定律、電場強度和場強疊加原理；2. 理解電場線與電通量，掌握靜電場的高斯定理及其應用；3. 理解靜電場的保守性、環路定理與電勢能； 4. 掌握電勢和電勢疊加原理；5. 了解電場強度和電勢梯度的關系.本章內容提要兩個基本定律 電荷守恒定律 在一個孤立系統內，無論進行怎樣的物理過程，系統內電荷量的代數和總是保持不變，這個規律稱為電荷守恒定律.它是物理學中普遍遵守的規律之一. 真空中的庫侖定律 真空中兩個靜止的點電荷之間的相互作用力的大小與這兩個電荷所帶電荷量ql和q2的乘積成正比，與它們之間距離r的平方成

2、反比.作用力的方向沿著兩個點電荷的連線，同號電荷相斥，異號電荷相吸.即兩個重要物理量 電場強度 單位試驗電荷在電場中任一場點處所受的力就是該點的電場強度.即 電勢 電場中某點的電勢等于把單位正電荷自該點移到“電勢零點”過程中電場力做的功.若取“無限遠”處為“電勢零點”，則電場強度和電勢都是描述電場中各點性質的物理量，二者的積分關系為微分關系是兩個重要定理 高斯定理 在真空中的靜電場內，通過任意閉合曲面的電場強度通量等于該閉合曲面所包圍的電荷電荷量的代數和的1/e 0倍.即 靜電場的環路定理 在靜電場中，電場強度E的環流恒為零.即高斯定理和靜電場的環路定理都是描寫靜電場性質的重要定理，前者說明靜

3、電場是有源場，而后者說明靜電場是無旋場，即靜電場是有源無旋場.三個疊加原理 靜電力疊加原理 作用在某一點電荷上的力為其它點電荷單獨存在時對該點電荷靜電力的矢量和.即 場強疊加原理 電場中某點的場強等于每個電荷單獨在該點產生的場強的疊加，即 電勢疊加原理 電場中某點的電勢等于各電荷單獨在該點產生的電勢的疊加，即幾個基本概念 電場 電荷周圍存在的一種特殊物質，稱為電場.它與分子、原子等組成的實物一樣，具有質量、能量、動量和角動量，它的特殊性在于能夠疊加.相對于觀察者靜止的電荷在其周圍所激發的電場稱為靜電場.靜電場對外的表現主要有：對處于電場中的其他帶電體有作用力；在電場中移動其他帶電體時，電場力要

4、對它做功. 電場線 為形象地反映電場而人為地在電場中描繪的曲線.其畫法規定：電場線上某點的切線方向和該點場強方向一致；通過垂直于的單位面積的電場線的條數等于該點的大小.它的性質為：電場線起自正電荷（或無限遠處），止于負電荷（或無限遠處），電場線有頭有尾，不是閉合曲線；兩條電場線不能相交. 電通量 通過電場中任一給定面的電場線的條數，稱為該面的電通量.即 電勢能 電荷在靜電場中的一定位置所具有的勢能，稱為電勢能.電場力的功就是電勢能改變的量度.若取無限遠處為勢能零點，則q0在電場中某點a的電勢能為即q0自a 點移到 “勢能零點”的過程中電場力做的功.電勢能應屬于q0和產生電場的源電荷系統共有.

5、電勢差 在靜電場中，任意兩點a和b的電勢之差稱為電勢差（電壓），即即把單位正電荷自a點移動到b點的過程中電場力做的功.由此可以計算電場力做的功 等勢面 電場中電勢相等的點所組成的曲面叫等勢面.畫法規定：電場中任意兩個相鄰的等勢面之間的電勢差都相等.性質：在同一等勢面上的任意兩點間移動電荷，電場力不做功；等勢面一定跟電場線垂直，即跟場強的方向垂直；電場線總是由電勢較高的等勢面指向電勢較低的等勢面；等勢面密集處的電場強度大，等勢面稀疏處電場強度小. 電勢梯度 電場中某點的電勢梯度，在方向上與該點處電勢增加率最大的方向相同，在量值上等于沿該方向上的電勢增加率.即場強和電勢的計算 由點電荷公式 ， 由

6、疊加原理 ， ， ， 由二者關系 ， 由高斯定理 ， 對于具有一定對稱性分布的帶電體，通常先利用高斯定理求E而后求Vp ；對于由多個電荷或帶電體組成的系統，則常用疊加原理求解.思考題答題要點1 怎樣認識電荷的量子化和宏觀帶電體電荷量的連續分布？答：常見的宏觀帶電體所帶的電荷遠大于基本電荷量，在一般靈敏度的電學測試儀器中，電荷的量子性是顯示不出來的.因此在分析帶電情況時，可以認為電荷是連續分布的，這正像人們看到流水時，認為它是連續的，而并不感覺到水是由一個個分子、原子等微觀粒子組成的一樣.2 兩個完全相同的均勻帶電小球，分別帶電荷量q1 = 2 C正電荷，q2 = 4 C負電荷，在真空中相距為r

7、且靜止，相互作用的靜電力為F. 今將q1、q2、r都加倍，相互作用力如何改變？ 只改變兩電荷電性，相互作用力如何改變？ 只將r 增大4倍，相互作用力如何改變？ 將兩個小球接觸一下后，仍放回原處，相互作用力又如何改變？ 接上題，為使接觸后，靜電力大小不變應如何放置兩球？答：（1）作用力不變；（2）作用力不變；（3）作用力變為 F25，方向不變；（4）作用力大小變為 F8，方向由原來的吸引變為推斥（接觸后電荷量先中和，后多余電荷量等分）；（5）將兩小球在真空中的間距縮小為靜止放置.3 若通過一閉合曲面的E 通量為零，則此閉合曲面上的E 一定是 為零，也可能不為零； 處處為零.答：，因為通量除了和電

8、場強度有關，還和電場與曲面的夾角有關.4 比較場與實物的同和異？答：同：都是物質存在的形式，客觀存在并能為人所認識；存在的形式都具有多樣性；其本性都是波粒二象性，都有質量、能量、動量、角動量、波長和頻率等；進行的物理過程，也遵從質量守恒、能量守恒、動量守恒和角動量守恒等普遍規律；都不能創生，不能消滅，只能從一種形式轉變為另一種形式.異：實物由分子或原子組成，具有不可入性，即兩個或多個實物不能同時占據同一個空間；而場所占據的空間能為其他場同時占有，且互不影響；實物的質量密度較大（103 kg/m3），場的質量密度很小（10-23 kg/m3）；實物不能達到光速，場一般以光速傳播，實物受力可產生加

9、速度，場不能被加速；實物可作參考系，場不能當參考系.5 能否單獨用電場強度來描述電場的性質？為什么要引入電勢？答：可以只用電場強度來描述電場性質，但是引入電勢后，既可從不同角度加深對電場的認識，也可簡化運算，因為電勢V是標量，一般情況下計算V比計算E方便，求得V后根據，即可得電場強度E了.6 電勢零點的選擇是完全任意的嗎？答：由定義來看，電勢只具有相對值，從此意義上說，電勢零點選擇是完全可以任意的.但在理論研究中，往往要采用一些抽象模型，如無限大帶電體、點電荷等，在這種情況下，電勢零點就有一定的限制，即必須使得電場中各點的電勢具有確定的值，這才有物理意義.例如，無限大均勻帶點平面，由于電荷分布

10、在無限范圍，就不能選無限遠處的電勢為零，通常選帶電平面本身的電勢為零.又如點電荷，因為電荷集中在一個點上，因此不能選點電荷本身作為電勢零點，而通常選無限遠處為電勢零點.無限長帶電直線的電勢零點，既不能選在其本身上，也不能選無限遠處，只能選空間中的其它任意點.實際問題中常以大地或電器的金屬外殼為電勢零點.另外電勢零點選擇應盡量使計算簡單.7 電勢與場強的關系式有積分形式和微分形式.計算時在怎樣的情況下使用較方便.答：電勢與場強的關系有微分形式：；積分形式：當場強分布已知或帶電系統的電荷分布具有一定對稱性，因場強較易由高斯定理求出，用積分形式計算電勢方便.當帶電系統的電荷分布已知，電荷分布的對稱性

11、又不明顯時，易用電勢疊加法，即計算電勢，再用微分式計算場強更為方便.8 假如電場力做功與路徑有關，定義電勢的公式 還有沒有意義？從原則上講，這時還能不能引入電勢的概念？答：假如電場力做功與路徑有關，則積分在未指明積分路徑以前就沒有意義因為積分與路徑有關，路徑不同，積分的結果也不同.相同的初位置，可以有多種不同的積分值，即沒有確定的意義，因而不能根據它引入電勢的概念.9 怎樣判斷電勢能、電勢的正負與高低？答：判斷正負，必須首先選定參考零點.將給定電荷（可正可負）移至零點，根據電場力做功的正負，決定該電荷在給定點電勢能的正負；將單位正電荷（必須是正）從給定點移至零點，電場力做功的正負，決定給定點電

12、勢的正負.比較高低，與零點選擇無關.將給定電荷（可正可負）從A點移至B點，若電場力作正功，則WA>WB，電場力作負功，WA<WB.將單位正電荷（必須是正）從A移至B，電場力作正功，VA>VB；電場力作負功，VA<VB.10 庫侖定律與高斯定理、靜電場的環路定理有何關系？答：庫侖定律是直接從實驗中總結出來的，是整個靜電學理論的實驗基礎.由于它只是從電荷相互作用的角度研究靜電現象，局限性較大，只適用于相對靜止的點電荷的場.高斯定理和環路定理是庫侖定律的推論，由于它們是用場的觀點，從兩個不同的側面，對靜電場的基本性質給出了完整的描述，適用于一切場源電荷激發的場.當然，從另外一

13、個角度，也可以先從實驗中總結出高斯定理和環路定理，再由它們導出庫侖定律.比如，可根據實驗空腔導體內不帶電的實驗，得到高斯定理.再把高斯定理用于中心置一點電荷的閉合球面，即可導出庫侖定律.因此高斯定理和環路定理又叫做靜電場的第一、第二定律，這時庫侖定律就只處于一種推論的地位.11 如何判定電場中某點的電場強度的方向？試說明電場中某點的電場強度與試探電荷的關系. 答：引入正電荷作為試探電荷，由電場強度的定義可知，電場中某點電場強度的方向就是正電荷在該點所受的電場力的方向.從理論上講，電場中任意點的電場強度與試探電荷無關，然而實際過程中，試探電荷必須是點電荷，而且其所帶電荷量也必須足夠小，這樣做是為

14、避免將引入電場過程中對原有電場構成影響. 12 根據點電荷的電場強度公式，當所考察的場點距點電荷的距離時，場強，這是沒有物理意義的，對于這個問題應如何解釋？ 答：任何帶電體都有形狀和大小，點電荷只是在某些情形下略去帶電體的形狀和大小、而將其看作一個點狀的近似只有當帶電體自身的線度遠小于考察距離時，才可將其視為點電荷.在本題的題設中，隨著所考察場點距帶電體的距離，帶電體的形狀與大小已不可略去，這樣一來，也就不再能把被考察帶電體繼續作為點電荷處理，那么點電荷的電場強度公式顯然也就不再適用了.13 一點電荷放在球形高斯面的球心處，試討論下列情形下電通量的變化情況：(1）電荷離開球心，但仍在球內；（2

15、）球面內再放一個電荷；（3）球面外再放一個電荷. 答：由真空中的高斯定理可以判斷得知，在（1）、（3）兩種情形中，電通量不會發生變化，而情形（2）中電通量會發生變化.14 在電場中，電場強度為零的點，電勢是否一定為零？電勢為零的地方，電場強度是否一定為零？試舉例說明.答：電場強度為零的點，電勢不一定為零；電勢為零的地方，電場強度也未必為零.例如，電荷均勻分布于表面的帶電球，其內部的電場強度為零，然而電勢等于其表面電勢，并不為零；若選擇球外一有限距離處的任意點P為電勢零點，則該點處電勢為零，但其電場并不為零.靜電場中的導體和電介質教學目的要求1. 理解導體的靜電平衡條件與靜電平衡時導體上的電荷分

16、布規律，了解靜電屏蔽的原理及應用；2. 了解電介質對電場的影響和電介質的極化現象；3. 掌握有電介質時的高斯定理及其應用、理解有電介質時的環路定理；4. 掌握電容器電容的計算與電容器的聯接；5. 理解靜電場的能量.本章內容提要兩個重要物理圖像 靜電平衡 在金屬導體中，自由電子沒有定向運動的狀態，稱為靜電平衡.靜電平衡狀態 導體內部和表面都沒有電荷的宏觀移動.靜電平衡條件 導體內部的電場強度為零，導體表面的電場強度與表面垂直.靜電平衡的特點 整個導體是等勢體，導體的表面是等勢面；導體表面附近任一點的電場強度的大小與該處導體表面上的電荷面密度成正比. 電介質的極化 電介質在外電場作用下，其表面出現

17、凈電荷的現象稱為電介質的極化.電極化強度P ： 單位體積內分子電矩的矢量和，即 電極化強度和場強的關系： （各向同性電介質）電位移矢量D：，對于各向同性電介質有電介質存在時的電場：電極化率ce，相對介電常數e r和絕對介電常數的關系 e = e 0 e r = e 0（1+ ce）兩個重要定理 有電介質時的高斯定理 通過任意封閉曲面的電位移通量等于該封閉面所包圍的自由電荷的代數和，即 有電介質時的環路定理 在靜電場中，電場強度E的環流恒為零，即式中的場強E為所有電荷（包括自由電荷和極化電荷）所產生的合場強.幾個基本概念 靜電感應 金屬導體中的自由電子在外電場E0的作用下，相對于晶格離子作定向運

18、動，由于電子的定向運動，并在導體一側面集結，使該側面出現負電荷，而相對的另一側面出現正電荷，這就是靜電感應. 靜電屏蔽 利用導體靜電平衡的性質，使導體空腔內部空間不受腔外電荷和電場的影響，或者將導體空腔接地，使腔外空間免受腔內電荷和電場影響，這類操作都稱為靜電屏蔽. 位移極化 由于無極分子的電極化是分子的正負電荷的中心在外電場的作用下發生相對位移的結果，所以這種電極化稱為位移極化. 取向極化 有極分子的電極化是分子電偶極子在外電場的作用下發生轉向的結果，故這種電極化稱為取向極化. 電位移線 為了描述電位移，仿照電場線方法在有電介質的靜電場中做電位移線，使線上每一點的切線方向和該點電位移的方向相

19、同，并規定在垂直于電位移線的單位面積上通過的電位移線數目等于該點的電位移的量值. D線發自正自由電荷止于負自由電荷. 電容器 兩個帶有等值而異號電荷的導體所組成的帶電系統稱為電容器. 電容器的電容定義為電容器所帶電荷量與其電壓之比，即它僅與兩極板的尺寸、幾何形狀、周圍介質及相對位置有關.三種主要的計算 場強與電勢的計算：求場強時，用有電介質時的高斯定理，先求D，再用求出E，可以不用考慮極化電荷，計算很方便，但只有當電場分布具有前面講過的三種特殊對稱性時，才能應用.求電勢時，因為計算極化電荷不方便，所以求電勢時一般不用疊加法，而常用電勢的定義式來計算. 電容器電容的計算：一般情況下，先設電容器兩

20、極板所帶電荷量為±Q，確定兩極板間的場強分布，然后由求兩極板間的電勢差，最后利用電容器電容的定義式計算；對于幾種常見的電容器，可以直接利用其結果：平行板電容器、球形電容器、圓柱形電容器；至于電容器串、并聯的等值電容，有（串聯）和（并聯）；個別情況下，也可利用電容器的儲能公式計算. 電場能量的計算：電容器的儲能，可直接利用公式電場中的能量 其中，為電場能量密度，即電場單位體積中的能量.對于各向同性電介質，有思考題答題要點1 尖端放電的物理實質是什么？答：尖端放電的物理實質，是尖端處的強電場致使附近的空氣分子電離，電離所產生的帶電粒子在電場的作用下急劇運動和相互碰撞，碰撞又使更多的空氣分

21、子電離，并非尖端所帶的電荷直接釋放到空間去.2 將一個帶電+q、半徑為RB的大導體球B，移近一個半徑為RA而不帶電的小導體球A，如思考題2用圖所示，試判斷下列說法是否正確？并說明理由.(1) B球電勢高于A球；(2) 以無限遠為電勢零點，A球的電勢：VA < 0.答：(1) 正確.不帶電的導體球A在帶電+q的導體球B的電場中，將有感應電荷分布于表面.另外，定性畫出電場線，如思考題2用圖所示，在靜電場的電場線方向上電勢逐點降低，由圖可知電場線自導體球B指向導體球A，故B球電勢高于A球.(2) 不正確.若以無窮遠處為電勢零點V0，如思考題2用圖所示，可知A球的電場線伸向無窮遠處.所以，VA

22、0. 思考題2用圖3 怎樣能使導體凈電荷為零，而其電勢不為零？答：將不帶電的絕緣導體(與地絕緣并與其它任何帶電體絕緣)置于某電場中，則該導體有而導體的電勢V0.4 怎樣理解靜電平衡時導體內部各點的電場強度為零？答：必須注意以下兩點：(1)這里的“點”是指導體內的宏觀點，即無限小體積元.對于微觀點，例如導體中某電子或某原子核附近的一個幾何點，場強一般不為零；(2)靜電平衡的這一條件，只有在導體內部的電荷除靜電場力以外不受其他力（如“化學力”）的情況下才能成立.5 怎樣理解導體表面附近的電場強度與表面上對應點的電荷面密度成正比？答：注意不要誤解為“導體表面附近一點的場強，只是由該點的一個面電荷元產

23、生的”.實際上這個場強是導體表面上全部電荷所貢獻的合場強.如果場中不止一個導體，則這個場強應是所有導體表面上的全部電荷的總貢獻.6為什么不能使一個物體無限制地帶電？答：所謂一個物體帶電，就是指它因失去電子而有多余的凈的正電荷或因獲得電子而有多余的負的凈電荷.當物體帶電時，在其周圍空間產生電場，其電場強度隨物體帶電荷量的增加而增大.帶電體附近的大氣中總是存在著少量游離的電子和離子，這些游離的電子和離子在其強電場作用下，獲得足夠的能量，使它們和中性分子碰撞時產生碰撞電離，從而不斷產生新的電子和離子，這種電子和離子的形成過程如雪崩一樣地發展下去，導致帶電物體附近的大氣被擊穿.在帶電體帶電的作用下，碰

24、撞電離產生的、與帶電體電荷異號的電荷來到帶電體上，使帶電體的電荷量減少.所以一個物體不能無限制地帶電.如尖端放電現象.7 感應電荷的大小和分布怎樣確定？答：當施感電荷Q接近于一導體時，導體上出現等量異號的感應電荷±q´.其分布一方面與導體的表面形狀有關，另一方面與施感電荷Q有關，導體靠近Q的一端，將出現與Q異號的感應電荷q´.而一般情況下q´并不等于Q，q´的大小及其在導體上的分布情況由靜電平衡條件決定，最終總是使得±q´與施感電荷Q在導體內任一點產生的合電場強度為零，只有在一些特殊情視下，q´的大小才會與Q相等.

25、8 怎樣理解導體殼外電荷對殼內的影響？答：封閉導體殼不論接地與否，其內部的電場均不受殼外電荷的影響，對此不能產生誤解，以為由于殼的存在，殼外電荷不在殼內產生電場.實際上，殼外電荷也要在殼內激發電場，只是由于這個場與殼外表面的感應電荷在殼內激發的場的合場強為零，才造成殼內電場不受殼外電荷影響這一結果.9 怎樣理解導體殼內電荷對殼外的影響？答：對一個不接地的中性導體殼，殼外無帶電體，但殼外空間仍然可能有場，這個場是殼內電荷間接引起的.例如殼內有一正電荷q，則殼內、外壁的感應電荷將分別為-q和+q.外壁電荷將發出電場線，所以殼外空間有場.但是不要以為由于殼的存在，殼內電荷q不在殼外空間激發場.實際上

26、殼內電荷q和內壁感應電荷-q都要在殼外空間激發場，只不過其合場強為零，才使得殼外空間的場只是由外壁感應電荷+q所決定.而且應當注意，無論殼內電荷分布如何，它和內壁感應電荷在殼外空間激發的合場強始終為零.殼外空間的場只與殼內電荷的總電荷量有關，而與它們的分布無關.10 在靜電場中的電介質和導體表現出有何不同的特征？答：靜電場中的導體的主要特征是表面有感應電荷，內部場強處處為零，表面為等勢面，導體為等勢體.而電介質的主要特征是在電場中被極化產生極化電荷，介質內部場強不為零，方向與外加電場方向一致，一般說介質表面不是等勢面.11 電介質的極化現象與導體的靜電感應現象有什么區別？答：導體的靜電感應現象

27、從微觀上看，是金屬中有大量自由電子，它們在電場的作用下可以在導體內作宏觀移動，電子的移動使導體中的電荷重新分布，結果在導體表面出現感應電荷.感應電荷產生的電場與外電場的方向相反，因此隨著感應電荷的堆積，導體中的合場強逐漸減小，達到靜電平衡時，感應電荷產生的電場與外加電場相互抵消，導體中的合場強為零，導體中自由電子的宏觀移動也停止.電介質的極化現象從微觀上看，分子中的電子與原子核的結合相當緊密，電子處于束縛狀態.把電介質引入靜電場時，電子與原子核之間，只能作一微觀的相對位移，或者它們之間的連線稍微改變方向（有時兩種情況都發生），結果在沿場強方向的兩個表面出現極化電荷.極化電荷所產生的電場只是部分

28、地抵消外加電場，達到穩定時，電介質內部的電場強度不為零.12 怎樣理解電勢能與電場能？答：電勢能是帶電體之間或帶電體與電場之間的相互作用能，隨電勢能零點的選取而改變，其正負取決于相互作用性質.由于電勢能在所求點A處的值等于將電荷從無限遠（電勢能零點處）移至A處外力反抗電場力做的功，外力做功的正負與電勢能正負一致.也可由相互作用判斷，如是排斥作用，則是正值，如是吸引作用，則是負值.電場能是電場物質所包含的固有能量，與勢能零點的選取無關.電勢能是電場能的一部分，也表示電場能隨位置改變的變化.在某些情況，如電容器中，由于電場只存在于電容器內部，電容器儲能它既是電場能，又是電勢能.13 怎樣使導體有過

29、剩的正(或負)電荷，而其電勢為零？答：將不帶電的導體置于負電荷(或正電荷)的電場中，再將該導體接地，然后撤除接地線.則該導體有正電荷(或負電荷)，并且電勢為零.14 怎樣使導體有過剩的負電荷，而其電勢為正？ 答：將一帶少量負電荷-q的導體置于另一正電荷Q ( Q >> q )的電場中，由于Q >> q ，帶負電荷的導體并未明顯改變原電場，這時該導體有過剩的負電荷，而其電勢為正.15 電介質在外電場中極化后，兩端出現等量異號電荷，若把它截成兩半后分開，再撤去外電場，問這兩個半截的電介質上是否帶電？為什么？答：不帶電.因為從電介質極化的微觀機制看有兩類：非極性分子在外電場中

30、沿電場方向產生感應電偶極矩；極性分子在外電場中其固有電偶極矩在該電場作用下沿著外電場方向取向.其在外電場中極化的宏觀效果是一樣的，在電介質的表面上出現的電荷是束縛電荷，這種電荷不像導體中的自由電荷那樣能用傳導的方法引走.當電介質被裁成兩段后撤去電場，極化的電介質又恢復原狀，仍各保持中性.16 一個孤立導體球帶電荷量為，其表面附近的電場強度沿什么方向？當我們把另一帶電體移近這個導體球時，球表面附近的電場強度將沿什么方向？表面上的電荷分布是否均勻？表面是否是等勢體？電勢值有無變化？球體內的電場強度有無變化？答：孤立帶電導體球的電荷在表面均勻分布，因此表面附近電場強度的方向與導體表面的法線方向平行，

31、即沿球體的徑向方向.然而，當把另一帶電體移近導體球時，由于靜電感應，導體球表面上的電荷不再均勻分布，不過電場強度的方向仍與導體表面垂直.處于靜電平衡狀態的導體球，其表面是一個等勢體，但其電勢值相比原孤立導體球會有變化；不過此時球體內的電場與原孤立導體球體內的電場卻是一樣的，電場強度皆為0.17 一個不帶電的導體球的電容是多少？當平行板電容器的兩極板上分別帶上等值同號電荷時，與當平行板電容器的兩極板上分別帶上同號不等值的電荷時，其電容值是否相同？答：電容是表述導體的一種電學性質，它與導體是否帶電或帶電多少無關，因此一個不帶電的導體球的電容仍為，R為導體球半徑.同理，當平行板電容器的兩極板上分別帶

32、上等值同號電荷時，與平行板電容器的兩極板上分別帶上同號不等值的電荷時，其電容值是相同的.18 一個帶電的金屬球殼里充滿了均勻電介質，外面是真空，此球殼的電勢是多少？若球殼內為真空，球殼外是無限大均勻電介質，這時球殼的電勢為多少？答：設金屬球殼半徑為R，帶電荷量為q，均勻電介質的相對介電常數為，則當該球殼里充滿均勻電介質而外面為真空時，其電勢為；當該球殼內為真空而外面為無限大均勻電介質時，其電勢為.19 用電源對平行板電容器充電后即斷開電源，然后將兩極板移近，問在此過程中外力做正功還是做負功？電容器儲能是增加還是減少？如果充電后不斷開電源，情況又如何？答：對平行板電容器充電后斷開電源，然后將兩極

33、板移近，在此過程中外力做負功，電容器儲能減少；如果充電后不斷開電源，則該過程中外力做正功，電容器儲能增加.例題精選1 一長為L，電荷量為q的均勻帶電細棒，其中垂線上P點置一點電荷q0，P點到細棒的距離為，求它們之間的庫侖力.解：將該帶電細棒分成一系列的線段元，任取一距O為x，長為dx的線段元，則其帶電荷量dq=dx（為電荷線密度），它與q0的庫侖力的大小為：dF的方向如習題1用圖所示.， 習題1用圖由于對稱性, dFx 相互抵消, dFy 相互加強，故習題2用圖a)b)2 真空中一立方體形的高斯面，邊長a 0.1 m，位于如習題2用圖a所示位置已知空間的場強分布為：Ex = bx ，Ey =

34、0 ，Ez = 0.常量b1 000 N/（C·m）試求通過該高斯面的電通量 解：如習題2用圖b所示，通過x = a處平面1的電場強度通量1 = -E1 S1= -b a3通過x = 2a處平面2的電場強度通量2 = E2 S2 = 2b a3其它平面的電場強度通量都為零因而通過該高斯面的總電場強度通量為 (N·m2/C)3 如習題3用圖所示為一個均勻帶電的球層，其電荷體密度為，球層內表面半徑為R1，外表面半徑為R2設無限遠處為電勢零點，求空腔內任一點的電勢習題3用圖解：由高斯定理可知空腔內E0，故帶電球層的空腔是等勢區，各點電勢均為V. 在球層內取半徑為rrdr的薄球層，

35、其電荷為該薄層電荷在球心處產生的電勢為故整個帶電球層在球心處產生的電勢為因為空腔內為等勢區，所以空腔內任一點的電勢V為 本題根據電勢定義計算亦可。4兩個帶等量異號電荷的均勻帶電同心球面，半徑分別為R10.03 m和R20.10 m已知兩者的電勢差為450 V，求內球面上所帶的電荷解：設內球上所帶電荷為Q，則兩球間的電場強度大小為 (R1 < r < R2)故兩球的電勢差為 2.14×10-9 C5 如習題5用圖a所示，半徑為R1和R2的兩個同心球面均勻帶電，電荷量分別為Q1和Q2. 試求區域1、2、3中的電勢； 討論Q1 = - Q2和Q2 = - Q1R2/R1兩種情況

36、下各區域中的電勢，并畫出V-r曲線. 習題5用圖a)b)解：（1）利用高斯定理可得 、相應各區域的電勢分布為 （2）當Q2 = -Q1時，V3 = 0；當Q2 = -Q1時，；在此兩種情況下的V-r曲線如習題5用圖b所示.6在一個平面上各點的電勢滿足下式：x和y為這點的直角坐標，a和b為常數.求任一點電場強度的Ex和Ey兩個分量.解：根據可知7 如習題7用圖所示，一厚為a的無限大帶電平板，電荷體密度 = kx （0 x a）， k為一正值常數.求： 板外兩側任一點 M1、M2的電場強度大小； 板內任一點M的電場強度； 場強最小的點在何處.習題7用圖解：（1）在x處取厚為dx的平板，其帶電荷量，

37、電荷面密度為.則 （2）板內任一點M左側產生的場強方向沿x軸正向，且M右側產生的場強方向沿x軸負向，且故 8一根長為L的細棒，彎成半圓形，其上均勻帶電，電荷線密度為，試求在圓心O點的電勢.解：半圓形導線半徑，由電勢疊加原理計算O點電勢， ， 故 9如習題9用圖所示，在內、外半徑分別為R1和R2的帶電球殼內，各點的體電荷密度均為，求距球心O為r的P點的電勢. 習題9用圖 解： ，則r < R1： ， ；R1<r <R2： ， ； rR2：， . 10半徑為R的均勻帶電球面置于真空中，其面電荷密度為，求 （1）球面內、外的電場強度；（2）球面內、外的電勢.解：（1） 當時，因為球

38、面內無電荷，所以 ；當時，因為 ，故有 .（2） 當r<R時， ；當r>R時， .11如習題11用圖所示，中性金屬球A，半徑為R，它離地球很遠在與球心O相距分別為a與b的B、C兩點，分別放上電荷為qA和qB的點電荷，達到靜電平衡后，問： 金屬球A內及其表面有電荷分布嗎？ 金屬球A中的P點處電勢為多大？（選無窮遠處為電勢零點）習題11用圖解：(1) 靜電平衡后，金屬球A內無電荷，其表面有正、負電荷分布，但凈電荷為零.(2) 金屬球為等勢體，設金屬球表面電荷面密度為s，則由（1）已知 故 例一半徑為的導體球原來不帶電，在球外距球心為處放一點電荷，求球電勢。若將球接地，求其上的感應電荷。

39、【解】由于導體球是一個等勢體，故只要求得球內任一點的電勢，即為球的電勢。此題中球心的電勢可以用電勢迭加原理求出，它等于點電荷在球心提供的電勢與導體球在球心提供的電勢的代數和。 若導體球上的總電量為，由于只分布在球表面，故它在球心提供的電勢為球面上各微元電荷在球心提供的微元電勢的積分： 。因球上原來不帶電，即總電量，故導體球在球心提供的電勢為零，只有點電荷在球心提供電勢：若將導體球接地，則導體球總電量不再為零，而球心處電勢應為零，即有：可解得：習題12用圖12半徑為R1的導體球，被一與其同心的導體球殼包圍著，其內外半徑分別為R2、R3 ，如習題12用圖所示，使內球帶電q、球殼帶電Q，試求： 電勢

40、分布的表示式； 用導線連接球和球殼后的電勢分布； 外殼接地后的電勢分布. 解：（1）根據靜電平衡條件，可知球殼內表面感應電荷為q，且均勻分布，而導體球所帶電荷量q也均勻分布在導體球表面；根據電荷守恒可知，導體球殼外表面均勻分布電荷的總電荷量為（Q + q）.因此，靜電平衡后空間電勢分布可視為三個均勻帶電球面的電勢疊加.已知均勻帶電球面的電勢為由此可得，時， 時， 時， 時， （2）導體連接后，導體球帶電荷量q與球殼內表面感應電荷q中和，導體球殼與導體球等電勢，電荷分布在導體球殼的外表面，電荷量為，由此可得時， 時， （3）外殼接地后，外表面電荷q + Q被中和，則為兩均勻帶電球面電勢疊加，故時

41、， 時， 時， 13已知導體球半徑為R1，帶電荷量為q.一導體球殼與球同心，內外半徑分別為R2和R3，帶電荷量為Q，如習題13用圖所示.求： 電場的分布； 球和球殼的電勢V1和V2以及它們的電勢差； 若球殼接地，V1和V2以及電勢差； 用導線連接球與球殼后V1和V2的值.解：（1）先確定電荷的分布：因內球表面帶電荷量為q，則球殼內表面的感應電荷為-q；又因球殼所帶的電荷量為Q，根據電荷守恒定律可知，球殼外表面的帶電荷量應為（q+Q）.下面分別用兩種方法計算該帶電系統的電場分布.利用高斯定理求解.因電荷分布具有球對稱性，可用高斯定理計算電場.以半徑為r的同心球面為高斯面，由計算可得r<R1時，； R1<r<R2時，；R2<R<R3時，； r>R3時，（2）求球體和球殼的電勢及它們的電勢差.方法一：根據電勢定義式，可得球的電勢為球殼的電勢為球與球殼的電勢差為方法二：利用電勢疊加原理計算.空間任一點的電勢都可以看作這三個帶電球面在該點所產生的電勢的代數和.已知均勻帶電球面產生的電勢為由此可得 ， ，所以 （3）若導體球接地，球殼外表面電荷中和.用高斯定理可求得場強分布所以得