1、 數學模型作業解答第二章(1)（2008年9月16日）1 學校共1000名學生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍.學生們要組織一個10人的委員會，試用下列辦法分配各宿舍的委員數：（1）. 按比例分配取整數的名額后,剩下的名額按慣例分給小數部分較大者;（2）. 1中的Q值方法；（3）.dHondt方法：將A、B、C各宿舍的人數用正整數n=1,2,3,相除，其商數如下表： 1 2 3 4 5ABC235 117.5 78.3 58.75 333 166.5 111 83.25 432 216 144 108 86.4將所得商數從大到小取前10個（10為席位數），在數字下標

2、以橫線，表中A、B、C行有橫線的數分別為2，3，5，這就是3個宿舍分配的席位.你能解釋這種方法的道理嗎？如果委員會從10個人增至15人，用以上3種方法再分配名額，將3種方法兩次分配的結果列表比較. 解：先考慮N=10的分配方案， 方法一（按比例分配） 分配結果為： 方法二（Q值方法）9個席位的分配結果（可用按比例分配）為：第10個席位：計算Q值為 最大，第10個席位應給C.分配結果為 方法三（dHondt方法） 此方法的分配結果為：此方法的道理是：記和為各宿舍的人數和席位（i=1,2,3代表A、B、C宿舍）.是每席位代表的人數，取從而得到的中選較大者，可使對所有的盡量接近. 再考慮的分配方案，

3、類似地可得名額分配結果.現將3種方法兩次分配的結果列表如下：宿舍（1） （2） （3）（1） （2） （3）ABC 3 2 2 3 3 3 4 5 54 4 35 5 56 6 7總計 10 10 1015 15 152 試用微積分方法，建立錄像帶記數器讀數n與轉過時間的數學模型.解： 設錄像帶記數器讀數為n時，錄像帶轉過時間為t.其模型的假設見課本.考慮到時間內錄像帶纏繞在右輪盤上的長度，可得兩邊積分，得 第二章(2)（2008年10月9日）15速度為的風吹在迎風面積為的風車上，空氣密度是 ，用量綱分析方法確定風車獲得的功率與、S、的關系.解: 設、S、的關系為， 其量綱表達式為:P=, =

4、,=,=,這里是基本量綱.量綱矩陣為：A=齊次線性方程組為：它的基本解為由量綱定理得， ， 其中是無量綱常數.16雨滴的速度與空氣密度、粘滯系數和重力加速度有關，其中粘滯系數的定義是：運動物體在流體中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數為粘滯系數，用量綱分析方法給出速度的表達式.解：設, 的關系為,=0.其量綱表達式為=LM0T-1，=L-3MT0，=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，=LM0T-2,其中L，M，T是基本量綱.量綱矩陣為 A=齊次線性方程組Ay=0 ，即 的基本解為y=(-3 ,-1 ,1 ,1)由量綱定理 得 . ，其

5、中是無量綱常數.16雨滴的速度與空氣密度、粘滯系數、特征尺寸和重力加速度有關，其中粘滯系數的定義是：運動物體在流體中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數為粘滯系數，用量綱分析方法給出速度的表達式.解：設,， 的關系為.其量綱表達式為=LM0T-1，=L-3MT0，=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，=LM0T0 ，=LM0T-2其中L，M，T是基本量綱.量綱矩陣為A=齊次線性方程組Ay=0 即 的基本解為 得到兩個相互獨立的無量綱量即 . 由 , 得 , 其中是未定函數. 20.考察阻尼擺的周期，即在單擺運動中考慮阻力，并設阻力與擺的速

6、度成正比.給出周期的表達式，然后討論物理模擬的比例模型，即怎樣由模型擺的周期計算原型擺的周期.解：設阻尼擺周期,擺長, 質量,重力加速度，阻力系數的關系為其量綱表達式為：， 其中，是基本量綱.量綱矩陣為 A=齊次線性方程組 的基本解為得到兩個相互獨立的無量綱量, , ，其中是未定函數 . 考慮物理模擬的比例模型，設和不變，記模型和原型擺的周期、擺長、質量分別為,；,;,. 又 當無量綱量時， 就有 .數學模型作業解答第三章1（2008年10月14日）1. 在3.1節存貯模型的總費用中增加購買貨物本身的費用,重新確定最優訂貨周期和訂貨批量證明在不允許缺貨模型中結果與原來的一樣，而在允許缺貨模型中

7、最優訂貨周期和訂貨批量都比原來結果減少解：設購買單位重量貨物的費用為,其它假設及符號約定同課本 對于不允許缺貨模型，每天平均費用為： 令 ， 解得由 ，得與不考慮購貨費的結果比較，、的最優結果沒有變 對于允許缺貨模型，每天平均費用為： 令，得到駐點：與不考慮購貨費的結果比較，、的最優結果減少2建立不允許缺貨的生產銷售存貯模型設生產速率為常數，銷售速率為常數，在每個生產周期內，開始的一段時間一邊生產一邊銷售，后來的一段時間只銷售不生產，畫出貯存量的圖形.設每次生產準備費為，單位時間每件產品貯存費為，以總費用最小為目標確定最優生產周期，討論和的情況. 解：由題意可得貯存量的圖形如下：O 貯存費為

8、又 , 貯存費變為 于是不允許缺貨的情況下，生產銷售的總費用（單位時間內）為 . , 得 易得函數取得最小值，即最優周期為： . 相當于不考慮生產的情況. . 此時產量與銷量相抵消，無法形成貯存量.第三章2（2008年10月16日）3在3.3節森林救火模型中，如果考慮消防隊員的滅火速度與開始救火時的火勢有關，試假設一個合理的函數關系，重新求解模型.解：考慮滅火速度與火勢有關，可知火勢越大，滅火速度將減小，我們作如下假設: ，分母而加的.總費用函數最優解為 5在考慮最優價格問題時設銷售期為T，由于商品的損耗，成本隨時間增長，設，.又設單位時間的銷售量為.今將銷售期分為兩段，每段的價格固定，記作.

9、求的最優值，使銷售期內的總利潤最大.如果要求銷售期T內的總售量為，再求的最優值. 解：按分段價格，單位時間內的銷售量為 又 .于是總利潤為=, 得到最優價格為:在銷售期T內的總銷量為于是得到如下極值問題： 利用拉格朗日乘數法，解得：即為的最優值.第三章3（2008年10月21日）6. 某廠每天需要角鋼100噸，不允許缺貨.目前每30天定購一次，每次定購的費用為2500元.每天每噸角鋼的貯存費為0.18元.假設當貯存量降到零時訂貨立即到達.問是否應改變訂貨策略？改變后能節約多少費用？解：已知：每天角鋼的需要量r=100(噸);每次訂貨費2500（元）;每天每噸角鋼的貯存費0.18（元）.又現在的

10、訂貨周期T30（天）根據不允許缺貨的貯存模型：得：令 ， 解得： 由實際意義知：當（即訂貨周期為）時，總費用將最小. 又300100k =35333100k（353.33100k）（300100k）5333.故應改變訂貨策略.改變后的訂貨策略（周期）為T=，能節約費用約5333元.數學模型作業解答第四章（2008年10月28日）1. 某廠生產甲、乙兩種產品,一件甲產品用原料1千克, 原料5千克；一件乙產品用原料2千克, 原料4千克.現有原料20千克, 原料70千克.甲、乙產品每件售價分別為20元和30元.問如何安排生產使收入最大？解：設安排生產甲產品x件,乙產品y件，相應的利潤為S則此問題的數

11、學模型為： max S=20x+30y s.t. 這是一個整線性規劃問題，現用圖解法進行求解可行域為：由直線：x+2y=20, :5x+4y70 y 以及x=0,y=0組成的凸四邊形區域. 直線：20x+30y=c在可行域內 平行移動. 易知：當過與的交點時， xS取最大值. 由 解得 此時 20350（元）2. 某廠擬用集裝箱托運甲乙兩種貨物，每箱的體積、重量以及可獲利潤如下表：貨物體積（立方米/箱）重量（百斤/箱）利潤（百元/箱）甲5220乙4510 已知這兩種貨物托運所受限制是體積不超過24立方米，重量不超過13百斤.試問這兩種貨物各托運多少箱，使得所獲利潤最大，并求出最大利潤.解:設甲

12、貨物、乙貨物的托運箱數分別為,所獲利潤為則問題的數學模型可表示為 這是一個整線性規劃問題. 用圖解法求解. 可行域為：由直線 及組成直線 在此凸四邊形區域內平行移動. 易知：當過與的交點時，取最大值由 解得 . 3某微波爐生產企業計劃在下季度生產甲、乙兩種型號的微波爐.已知每臺甲型、乙型微波爐的銷售利潤分別為3和2個單位.而生產一臺甲型、乙型微波爐所耗原料分別為2和3個單位,所需工時分別為4和2個單位.若允許使用原料為100個單位,工時為120個單位,且甲型、乙型微波爐產量分別不低于6臺和12臺.試建立一個數學模型,確定生產甲型、乙型微波爐的臺數,使獲利潤最大并求出最大利潤.解：設安排生產甲型

13、微波爐件,乙型微波爐件,相應的利潤為S.則此問題的數學模型為： max S=3x +2y s.t. 這是一個整線性規劃問題 用圖解法進行求解可行域為：由直線：2x+3y=100, :4x+2y120 及x=6,y=12組成的凸四邊形區域. 直線：3x+2y=c在此凸四邊形區域內平行移動. 易知：當過與的交點時, S取最大值. 由 解得 . 3100.數學模型作業解答第五章1（2008年11月12日）1.對于5.1節傳染病的模型，證明： （1）若，然后減少并趨于零；單調減少至 （2）解：傳染病的模型（14）可寫成 （1） （2） 4在5.3節正規戰爭模型（3）中，設乙方與甲方戰斗有效系數之比為初

14、始兵力相同. (1) 問乙方取勝時的剩余兵力是多少,乙方取勝的時間如何確定. (2) 若甲方在戰斗開始后有后備部隊以不變的速率增援,重新建立模型,討論如何判斷雙方的勝負. 解:用表示甲、乙交戰雙方時刻t的士兵人數,則正規戰爭模型可近似表示為: 現求(1)的解: (1)的系數矩陣為.再由初始條件，得又由其解為 (1) 即乙方取勝時的剩余兵力數為又令注意到. (2) 若甲方在戰斗開始后有后備部隊以不變的速率增援.則 相軌線為 此相軌線比書圖11中的軌線上移了乙方取勝的條件為第五章2（2008年11月14日）中心室, 排除6. 模仿5.4節建立的二室模型來建立一室模型（只有中心室），在快速靜脈注射、

15、恒速靜脈滴注（持續時間為）和口服或肌肉注射3種給藥方式下求解血藥濃度，并畫出血藥濃度曲線的圖形. 解: 設給藥速率為 (1)快速靜脈注射: 設給藥量為 則(2)恒速靜脈滴注(持續時間為): 設滴注速率為解得 (3) 口服或肌肉注射: 3種情況下的血藥濃度曲線如下：(1)(2)(3)Ot 第五章3（2008年11月18日）8. 在5.5節香煙過濾嘴模型中, (1) 設求 (2) 若有一支不帶過濾嘴的香煙,參數同上,比較全部吸完和只吸到處的情況下，進入人體毒物量的區別.解， (2) 對于一支不帶過濾嘴的香煙,全部吸完的毒物量為只吸到處就扔掉的情況下的毒物量為4在5.3節正規戰爭模型（3）中，設乙方

16、與甲方戰斗有效系數之比為初始兵力相同. (1) 問乙方取勝時的剩余兵力是多少,乙方取勝的時間如何確定. (2) 若甲方在戰斗開始后有后備部隊以不變的速率增援,重新建立模型,討論如何判斷雙方的勝負. 解:用表示甲、乙交戰雙方時刻t的士兵人數,則正規戰爭模型可近似表示為: 現求(1)的解: (1)的系數矩陣為.再由初始條件，得又由其解為 (1) 即乙方取勝時的剩余兵力數為又令注意到. (2) 若甲方在戰斗開始后有后備部隊以不變的速率增援.則 相軌線為 此相軌線比書圖11中的軌線上移了乙方取勝的條件為數學模型作業解答第六章（2008年11月20日）1.在6.1節捕魚模型中，如果漁場魚量的自然增長仍服

17、從Logistic規律，而單位時間捕撈量為常數h(1)分別就，這3種情況討論漁場魚量方程的平衡點及其穩定狀況(2)如何獲得最大持續產量，其結果與6.1節的產量模型有何不同解：設時刻t的漁場中魚的數量為，則由題設條件知：變化規律的數學模型為記(1).討論漁場魚量的平衡點及其穩定性：由，得 即 ，(1)的解為：當，(1)無實根，此時無平衡點；當，(1)有兩個相等的實根，平衡點為.， 不能斷定其穩定性.但 及 均有 ，即不穩定；當，時，得到兩個平衡點：， 易知： ， ， ，平衡點不穩定，平衡點穩定x(2)最大持續產量的數學模型為即 ， 易得 此時 ，但這個平衡點不穩定這是與6.1節的產量模型不同之處

18、要獲得最大持續產量，應使漁場魚量，且盡量接近，但不能等于2.與Logistic模型不同的另一種描述種群增長規律的是Gompertz模型：其中r和N的意義與Logistic模型相同設漁場魚量的自然增長服從這個模型，且單位時間捕撈量為討論漁場魚量的平衡點及其穩定性，求最大持續產量及獲得最大產量的捕撈強度和漁場魚量水平解：變化規律的數學模型為 記 令，得 ，平衡點為 . 又， 平衡點是穩定的，而平衡點不穩定. 0 最大持續產量的數學模型為：由前面的結果可得 ，令得最大產量的捕撈強度從而得到最大持續產量，此時漁場魚量水平3設某漁場魚量(時刻漁場中魚的數量)的自然增長規律為：其中為固有增長率,為環境容許

19、的最大魚量. 而單位時間捕撈量為常數.1求漁場魚量的平衡點,并討論其穩定性;2試確定捕撈強度,使漁場單位時間內具有最大持續產量,求此時漁場魚量水平.解：1變化規律的數學模型為 記,令 ，即 -（1） ， （1）的解為： 當時，（1）無實根，此時無平衡點； 當時，（1）有兩個相等的實根，平衡點為. ， 不能斷定其穩定性.但 及 均有 ，即不穩定； 當時，得到兩個平衡點： ， 易知 ， ， 平衡點不穩定 ，平衡點穩定. 2最大持續產量的數學模型為： 即 ， 易得 此時 ，但這個平衡點不穩定.要獲得最大持續產量，應使漁場魚量,且盡量接近,但不能等于. 數學模型第七章作業（2008年12月4日）1 對

20、于7.1節蛛網模型討論下列問題：（1）因為一個時段上市的商品不能立即售完，其數量也會影響到下一時段的價格，所以第時段的價格由第和第時段的數量和決定，如果仍設仍只取決于，給出穩定平衡的條件，并與7.1節的結果進行比較.2已知某商品在時段的數量和價格分別為和，其中1個時段相當于商品的一個生產周期.設該商品的需求函數和供應函數分別為和.試建立關于商品數量的差分方程模型，并討論穩定平衡條件.3 已知某商品在時段的數量和價格分別為和，其中1個時段相當于商品的一個生產周期.設該商品的需求函數和供應函數分別為和.試建立關于商品數量的差分方程模型，并討論穩定平衡條件.數學模型作業解答第七章（2008年12月4

21、日）2 對于7.1節蛛網模型討論下列問題：（1）因為一個時段上市的商品不能立即售完，其數量也會影響到下一時段的價格，所以第時段的價格由第和第時段的數量和決定，如果仍設仍只取決于，給出穩定平衡的條件，并與7.1節的結果進行比較.（2）若除了由和決定之外，也由前兩個時段的價格和確定.試分析穩定平衡的條件是否還會放寬.解：（1）由題設條件可得需求函數、供應函數分別為： 在點附近用直線來近似曲線，得到 由（2）得 （1）代入（3）得 對應齊次方程的特征方程為 特征根為當時，則有特征根在單位圓外，設，則 即平衡穩定的條件為與的結果一致.（2）此時需求函數、供應函數在處附近的直線近似表達式分別為： 由（5

22、）得， 將（4）代入（6），得 對應齊次方程的特征方程為代數方程（7）無正實根，且不是（7）的根.設（7）的三個非零根分別為，則對（7）作變換： 則 其中 用卡丹公式：其中求出，從而得到，于是得到所有特征根的條件.2已知某商品在時段的數量和價格分別為和，其中1個時段相當于商品的一個生產周期.設該商品的需求函數和供應函數分別為和.試建立關于商品數量的差分方程模型，并討論穩定平衡條件.解：已知商品的需求函數和供應函數分別為和.設曲線和相交于點，在點附近可以用直線來近似表示曲線和： -（1） -（2）從上述兩式中消去可得 ， -（3）上述（3）式是我們所建立的差分方程模型，且為二階常系數線性非齊次差

23、分方程.為了尋求點穩定平衡條件，我們考慮（3）對應的齊次差分方程的特征方程： 容易算出其特征根為 -（4）當8時，顯然有 -（5）從而 2，在單位圓外下面設，由(5)式可以算出 要使特征根均在單位圓內，即 ，必須 故點穩定平衡條件為 3 已知某商品在時段的數量和價格分別為和，其中1個時段相當于商品的一個生產周期.設該商品的需求函數和供應函數分別為和.試建立關于商品數量的差分方程模型，并討論穩定平衡條件.解：已知商品的需求函數和供應函數分別為和.設曲線和相交于點，在點附近可以用直線來近似表示曲線和： -（1） - -（2）由（2）得 -（3） （1）代入（3），可得 ， -（4）上述（4）式是我

24、們所建立的差分方程模型，且為二階常系數線性非齊次差分方程.為了尋求點穩定平衡條件，我們考慮（4）對應的齊次差分方程的特征方程： 容易算出其特征根為 -（4）當8時，顯然有 -（5）從而 2，在單位圓外下面設，由(5)式可以算出 要使特征根均在單位圓內，即 ，必須 故點穩定平衡條件為 數學模型作業解答第八章（2008年12月9日）1 證明8.1節層次分析模型中定義的階一致陣有下列性質：（1） 的秩為1，唯一非零特征根為；（2） 的任一列向量都是對應于的特征向量. 證明： （1）由一致陣的定義知：滿足，于是對于任意兩列，有，.即列與列對應分量成比例.從而對作初等行變換可得： B這里.，從而秩再根據

25、初等行變換與初等矩陣的關系知：存在一個可逆陣，使，于是C易知C的特征根為（只有一個非零特征根）.又，與C有相同的特征根，從而A的非零特征根為，又對于任意矩陣有.故A的唯一非零特征根為.（2）對于A的任一列向量，有 的任一列向量都是對應于的特征向量.7. 右下圖是5位網球選手循環賽的結果，作為競賽圖，它是雙向連通的嗎？找出幾條完全路徑，用適當方法排出5位選手的名次.21345解：這個5階競賽圖是一個5階有向Hamilton圖.其一個有向Hamilton圈為3.所以此競賽圖是雙向連通的. 等都是完全路徑. 此競賽圖的鄰接矩陣為 令，各級得分向量為， ， ， 由此得名次為5，1（4），2，3 （選手

26、1和4名次相同）. 注：給5位網球選手排名次也可由計算A的最大特征根和對應特征向量得到：，數學模型作業（12月16日）解答1.基于省時、收入、岸間商業、當地商業、建筑就業等五項因素，擬用層次分析法在建橋梁、修隧道、設渡輪這三個方案中選一個，畫出目標為“越海方案的最優經濟效益”的層次結構圖.越海方案的最優經濟效益解：目標層 建筑就 業岸間商 業當地商業收入省時 準則層修隧道建橋梁設渡輪 方案層 2.簡述層次分析法的基本步驟. 問對于一個即將畢業的大學生選擇工作崗位的決策問題要分成哪3個層次？具體內容分別是什么？答：層次分析法的基本步驟為：（1）建立層次結構模型；（2）構造成對比較陣；（3）計算權

27、向量并做一致性檢驗；（4）計算組合權向量并做組合一致性檢驗 對于一個即將畢業的大學生選擇工作崗位的決策問題，用層次分析法一般可分解為目標層、準則層和方案層這3個層次. 目標層是選擇工作崗位，方案層是工作崗位1、工作崗位2、工作崗位3等，準則層一般為貢獻、收入、發展、聲譽、關系、位置等.3用層次分析法時，一般可將決策問題分解成哪3個層次？試給出一致性指標的定義以及n階正負反陣A為一致陣的充要條件. 答：用層次分析法時，一般可將決策問題分解為目標層、準則層和方案層這3個層次； 一致性指標的定義為：n階正互反陣A是一致陣的充要條件為：A的最大特征根=n 第九章（2008年12月18日）1在節傳送帶效

28、率模型中,設工人數固定不變.若想提高傳送帶效率D,一種簡單的方法是增加一個周期內通過工作臺的鉤子數，比如增加一倍，其它條件不變另一種方法是在原來放置一只鉤子的地方放置兩只鉤子，其它條件不變，于是每個工人在任何時刻可以同時觸到兩只鉤子，只要其中一只是空的，他就可以掛上產品，這種辦法用的鉤子數量與第一種辦法一樣試推導這種情況下傳送帶效率的公式，從數量關系上說明這種辦法比第一種辦法好解：兩種情況的鉤子數均為第一種辦法是個位置，單鉤放置個鉤子；第二種辦法是個位置，成對放置個鉤子 由節的傳送帶效率公式，第一種辦法的效率公式為當較小，時，有， 下面推導第二種辦法的傳送帶效率公式：對于個位置，每個位置放置的

29、兩只鉤子稱為一個鉤對，考慮一個周期內通過的個鉤對任一只鉤對被一名工人接觸到的概率是； 任一只鉤對不被一名工人接觸到的概率是；記由工人生產的獨立性及事件的互不相容性得，任一鉤對為空的概率為，其空鉤的數為；任一鉤對上只掛上件產品的概率為，其空鉤數為所以一個周期內通過的個鉤子中，空鉤的平均數為 于是帶走產品的平均數是 ，未帶走產品的平均數是 ）此時傳送帶效率公式為 近似效率公式：由于 當時，并令，則 兩種辦法的比較：由上知：，當時， 所以第二種辦法比第一種辦法好數學模型作業解答 第九章（2008年12月23日）一報童每天從郵局訂購一種報紙，沿街叫賣.已知每100份報紙報童全部賣出可獲利7元.如果當天

30、賣不掉，第二天削價可以全部賣出，但報童每100份報紙要賠4元.報童每天售出的報紙數是一隨機變量，其概率分布如下表：售出報紙數（百份）012345概率0050.10.250.350.150.1試問報童每天訂購多少份報紙最佳(訂購量必須是100的倍數)？解：設每天訂購百份紙，則收益函數為 收益的期望值為G(n) = + 現分別求出 =時的收益期望值. G(0)=0；G(1)=0.05+70.1+7（0.25+0.35+0.15+0.1）=6.45;G(2)= ();G(3)=() G(4)=() G(5)= 當報童每天訂300份時，收益的期望值最大. 數模復習資料第一章1. 原型與模型原型就是實際

31、對象.模型就是原型的替代物.所謂模型, 按北京師范大學劉來福教授的觀點：模型就是人們為一定的目的對原型進行的一個抽象.如航空模型、城市交通模型等.模型2. 數學模型對某一實際問題應用數學語言和方法,通過抽象、簡化、假設等對這一實際問題近似刻劃所得的數學結構,稱為此實際問題的一個數學模型. 例如力學中著名的牛頓第二定律使用公式來描述受力物體的運動規律就是一個成功的數學模型.或又如描述人口隨時間自由增長過程的微分方程.3. 數學建模所謂數學建模是指根據需要針對實際問題組建數學模型的過程.更具體地說,數學建模是指對于現實世界的某一特定系統或特定問題,為了一個特定的目的,運用數學的語言和方法,通過抽象

32、和簡化,建立一個近似描述這個系統或問題的數學結構(數學模型),運用適當的數學工具以及計算機技術來解模型,最后將其結果接受實際的檢驗,并反復修改和完善.數學建模過程流程圖為：實際問題抽象、簡化、假設確定變量、參數歸結數學模型 數學地、數值地 求解模型估計參數否 檢驗模型(用實例或有關知識)符合否？是評價、推廣并交付使用產生經濟、社會效益4.數學建模的步驟依次為：模型準備、模型假設、模型構成、模型求解、模型分析、模型檢驗、模型應用5.數學模型的分類數學模型可以按照不同的方式分類,常見的有：a.按模型的應用領域分類 數學模型 b.按建模的數學方法分類 數學模型 c.按建模目的來分類 數學模型 d.層

33、次分析法的基本步驟：1.建立層次結構模型2.構造成對比較陣3.計算權向量并作一致性檢驗4.計算組合權向量并作組合一致性檢驗e.n階正互反正A是一致陣的充要條件為A的最大特征值為nf.正互反陣最大特征根和特征向量的實用算法：冪法、和法、根法4在“椅子擺放問題”的假設條件中，將四腳的連線呈正方形改為呈長方形，其余條件不變.試構造模型并求解.解：設椅子四腳連線呈長方形ABCD. AB與CD的對稱軸為軸，用中心點的轉角表示椅子的位置.將相鄰兩腳A、B與地面距離之和記為;C、D與地面距離之和記為.并旋轉.于是，設就得到.數學模型：設是上的非負連續函數.若,有,且,則,使.模型求解:令 .就有 .再由的連

34、續性,得到是一個連續函數. 從而是上的連續函數.由連續函數的介值定理：,使.即,使.又因為,有.故.9 （1）某甲早8：00從山下旅店出發，沿一條路徑上山，下午5：00到達山頂并留宿.次日早8：00沿同一路徑下山，下午5：00回到旅店.某乙說，甲必在兩天中的同一時刻經過路徑中的同一地點.為什么？（2）37支球隊進行冠軍爭奪賽，每輪比賽中出場的每兩支球隊中的勝者及輪空者進入下一輪，直至比賽結束.問共需進行多少場比賽，共需進行多少輪比賽.如果是支球隊比賽呢？解：（1）方法一：以時間為橫坐標，以沿上山路徑從山下旅店到山頂的行程為縱坐標， 第一天的行程可用曲線（）表示 ，第二天的行程可用曲線（）表示，

35、（）（）是連續曲線必有交點,兩天都在時刻經過地點. x d 方法二：設想有兩個人， () 一人上山，一人下山，同一天同 時出發，沿同一路徑,必定相遇. () t 早8 晚5 方法三：我們以山下旅店為始點記路程,設從山下旅店到山頂的路程函數為(即t時刻走的路程為),同樣設從山頂到山下旅店的路函數為,并設山下旅店到山頂的距離為(0).由題意知：,.令,則有，由于,都是時間t的連續函數,因此也是時間t的連續函數,由連續函數的介值定理,使,即.（2）36場比賽，因為除冠軍隊外，每隊都負一場；6輪比賽，因為2隊賽1輪，4隊賽2輪，32隊賽5輪. 隊需賽場，若，則需賽輪.2已知某商品在時段的數量和價格分別

36、為和，其中1個時段相當于商品的一個生產周期.設該商品的需求函數和供應函數分別為和.試建立關于商品數量的差分方程模型，并討論穩定平衡條件.解：已知商品的需求函數和供應函數分別為和.設曲線和相交于點，在點附近可以用直線來近似表示曲線和： -（1） - -（2）由（2）得 -（3） （1）代入（3），可得 ， -（4）上述（4）式是我們所建立的差分方程模型，且為二階常系數線性非齊次差分方程.為了尋求點穩定平衡條件，我們考慮（4）對應的齊次差分方程的特征方程： 容易算出其特征根為 -（5）當8時，顯然有 -（6）從而 2，在單位圓外下面設，由(5)式可以算出 要使特征根均在單位圓內，即 ，必須 故點穩

37、定平衡條件為 3設某漁場魚量(時刻漁場中魚的數量)的自然增長規律為：其中為固有增長率,為環境容許的最大魚量. 而單位時間捕撈量為常數.（1）求漁場魚量的平衡點,并討論其穩定性;（2）試確定捕撈強度,使漁場單位時間內具有最大持續產量,并求此時漁場魚量水平.解：（1）.變化規律的數學模型為 記,令 ，即 -（1） ， （1）的解為： 當時，（1）無實根，此時無平衡點； 當時，（1）有兩個相等的實根，平衡點為. ， 不能斷定其穩定性.但 及 均有 ，即不穩定； 當時，得到兩個平衡點： ， 易知 ， ， 平衡點不穩定 ，平衡點穩定. （2）最大持續產量的數學模型為： 即 ， 易得 此時 ，但這個平衡點

38、不穩定.要獲得最大持續產量，應使漁場魚量,且盡量接近,但不能等于.5某工廠生產甲、乙兩種產品,生產每件產品需要原材料、能源消耗、勞動力及所獲利潤如下表所示：品種原材料能源消耗(百元)勞動力(人)利潤(千元)甲2144乙3625現有庫存原材料1400千克；能源消耗總額不超過2400百元；全廠勞動力滿員為2000人.試安排生產任務(生產甲、乙產品各多少件),使利潤最大,并求出最大利潤.解：設安排生產甲產品件，乙產品件，相應的利潤為S.則此問題的數學模型為 模型的求解： 用圖解法.可行域為：由直線組成的凸五邊形區域. 直線在此凸五邊形區域內平行移動. 易知：當過的交點時，S取最大值. 由 解得：（千

39、元）. 故安排生產甲產品400件、乙產品200件,可使利潤最大,其最大利潤為2600千元.6. 某廠擬用集裝箱托運甲乙兩種貨物，每箱的體積、重量以及可獲利潤如下表：貨物體積（立方米/箱）重量（百斤/箱）利潤（百元/箱）甲5220乙4510 已知這兩種貨物托運所受限制是體積不超過24立方米，重量不超過13百斤.試問這兩種貨物各托運多少箱，使得所獲利潤最大，并求出最大利潤.解:設甲貨物、乙貨物的托運箱數分別為,所獲利潤為則問題的數學模型可表示為 這是一個整線性規劃問題. 用圖解法求解. 可行域為：由直線 及組成直線 在此凸四邊形區域內平行移動. 易知：當過與的交點時，取最大值由 解得 . 7.深水

40、中的波速與波長、水深、水的密度和重力加速度有關，試用量綱分析方法給出波速的表達式.解：設,， 的關系為=0.其量綱表達式為=LM0T-1，=LM0T0，=LM0T0，=L-3MT0， =LM0T-2,其中L，M，T是基本量綱. -4分量綱矩陣為 A= 齊次線性方程組Ay=0 ，即 的基本解為= = 由量綱定理 得 , , ，其中是未定函數 . 第二章(2)（2008年10月9日15速度為的風吹在迎風面積為的風車上，空氣密度是 ，用量綱分析方法確定風車獲得的功率與、S、的關系.解: 設、S、的關系為， 其量綱表達式為:P=, =,=,=,這里是基本量綱.量綱矩陣為：A=齊次線性方程組為：它的基本

41、解為由量綱定理得， ， 其中是無量綱常數.16雨滴的速度與空氣密度、粘滯系數和重力加速度有關，其中粘滯系數的定義是：運動物體在流體中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數為粘滯系數，用量綱分析方法給出速度的表達式.解：設, 的關系為,=0.其量綱表達式為=LM0T-1，=L-3MT0，=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，=LM0T-2,其中L，M，T是基本量綱.量綱矩陣為 A=齊次線性方程組Ay=0 ，即 的基本解為y=(-3 ,-1 ,1 ,1)由量綱定理 得 . ，其中是無量綱常數.16雨滴的速度與空氣密度、粘滯系數、特征尺寸和重力加

42、速度有關，其中粘滯系數的定義是：運動物體在流體中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數為粘滯系數，用量綱分析方法給出速度的表達式.解：設,， 的關系為.其量綱表達式為=LM0T-1，=L-3MT0，=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，=LM0T0 ，=LM0T-2其中L，M，T是基本量綱.量綱矩陣為A=齊次線性方程組Ay=0 即 的基本解為 得到兩個相互獨立的無量綱量即 . 由 , 得 , 其中是未定函數. 20.考察阻尼擺的周期，即在單擺運動中考慮阻力，并設阻力與擺的速度成正比.給出周期的表達式，然后討論物理模擬的比例模型，即怎樣由模型擺的周期計算原型擺的周期.解：設阻尼擺周期,擺長, 質量,重力加速度，阻力系數的關系為其量綱表達式為：， 其中，是基本量綱.量綱矩陣為 A=齊次線性方程組 的基本解為得到兩個相互獨立的無量綱量, , ，其中是未定函數 . 考慮物理模擬的比例模型，設和不