1、2014高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽章程和全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽參賽規(guī)則（以下簡稱為“競賽章程和參賽規(guī)則”，可從全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽網(wǎng)站下載）。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽章程和參賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽章程和參賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽章程和參賽

2、規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們授權(quán)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽組委會，可將我們的論文以任何形式進(jìn)行公開展示（包括進(jìn)行網(wǎng)上公示，在書籍、期刊和其他媒體進(jìn)行正式或非正式發(fā)表等）。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫）： A 我們的參賽報(bào)名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號的話）： 所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜?河南師范大學(xué) 參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 指導(dǎo)教師組 （論文紙質(zhì)版與電子版中的以上信息必須一致，只是電子版中無需簽名。以上內(nèi)容請仔細(xì)核對，提交后將不再允許做任何修改。如填寫錯(cuò)誤，論文可能被取消評獎(jiǎng)資格。） 日期： 年 月

3、 日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）：2014高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時(shí)使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進(jìn)行編號）：SARS的傳播摘要本文分析了題目所提供的早期SARS傳播模型的合理性和應(yīng)用性，認(rèn)為該模型可以預(yù)測疫情發(fā)展的大致趨勢，但是存在一定的不足。第一，混淆了累計(jì)患病人數(shù)與累計(jì)確診人數(shù)的概念；第二，借助其他地區(qū)的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，后期預(yù)測不夠準(zhǔn)確；第三，早期模型中參數(shù)L,參數(shù)K，存在不合理性。針對早期模型的不足，在系統(tǒng)分析了S

4、ARS的傳播機(jī)理后，把SARS的傳播過程劃分為：征兆期，爆發(fā)期，高峰期和衰退期4個(gè)階段。將每個(gè)階段影響SARS傳播的因素參數(shù)化，在傳染病SIR模型的基礎(chǔ)上，改進(jìn)得到SARS傳播模型。采用離散化的方法對本模型求數(shù)值解得到：北京SARS疫情的預(yù)測持續(xù)時(shí)間為106天，預(yù)測SARS患者累計(jì)2514人，與實(shí)際情況比較吻合。應(yīng)用SARS傳播模型，對隔離時(shí)間及隔離措施強(qiáng)度的效果進(jìn)行分析，得出結(jié)論：“早發(fā)現(xiàn)，早隔離”能有效地減少累計(jì)患病人數(shù)：“嚴(yán)格隔離”能有效縮短疫情持續(xù)時(shí)間。在建立模型的過程中發(fā)現(xiàn)，需要認(rèn)清SARS傳播的機(jī)理，獲得有效的數(shù)據(jù)。而題目所提供的累計(jì)確診人數(shù)并不等同于同期的患病人數(shù)，這給模型的建立

5、帶來了不小的困難，函數(shù)的求解則是基于MATLAB來進(jìn)行的。本文中分析了海外來京旅游人數(shù)受SARS的影響，建立時(shí)間序列半?yún)?shù)回歸模型進(jìn)行了預(yù)測，估算出SARS會對北京入境旅游業(yè)造成23.22億元人民幣損失，并預(yù)計(jì)北京海外旅游人數(shù)在10月以前能恢復(fù)正常。最后給當(dāng)?shù)貓?bào)刊寫上一篇短文，介紹了建立傳染病數(shù)學(xué)模型的重要性，并對此方式加以倡導(dǎo)。關(guān)鍵詞：SARS傳播 SIR模型 離散化 MATLAB 半?yún)?shù)回歸模型一、 問題重述SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，嚴(yán)重急性呼吸道綜合癥, 俗稱：非典型肺炎）是21世紀(jì)第一個(gè)在世界范圍內(nèi)傳播的傳染病。SARS的爆發(fā)和蔓延給

6、我國的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和人民生活帶來了很大影響，我們從中得到了許多重要的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，認(rèn)識到定量地研究傳染病的傳播規(guī)律、為預(yù)測和控制傳染病蔓延創(chuàng)造條件的重要性。請你們對SARS 的傳播建立數(shù)學(xué)模型，具體要求如下：1. 對附件1所提供的一個(gè)早期的模型，評價(jià)其合理性和實(shí)用性。2. 對SARS的傳播建立一個(gè)自己的模型，并說明：（1） 為什么優(yōu)于附件1中的模型；（2） 特別要說明怎樣才能建立一個(gè)真正能夠預(yù)測以及能為預(yù)防和控制提供可靠、足夠的信息的模型，這樣做的困難在哪里？（3） 對于衛(wèi)生部門所采取的措施做出評論，如：提前或延后5天采取嚴(yán)格的隔離措施，對疫情傳播所造成的影響做出估計(jì)。附件2提供的數(shù)據(jù)供參考。3.

7、收集SARS對經(jīng)濟(jì)某個(gè)方面影響的數(shù)據(jù)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行預(yù)測。附件3提供的數(shù)據(jù)供參考。4. 給當(dāng)?shù)貓?bào)刊寫一篇通俗短文，說明建立傳染病數(shù)學(xué)模型的重要性。二、 符號說明符號說明見表1.表1符號含義S（t）易感類人群占城市人口總數(shù)的比例I（t）傳染類人群占城市人口總數(shù)的比例R（t）排除類人群占城市人口總數(shù)的比例（t）SARS患者的就診率=t時(shí)刻被隔離的SARS患者數(shù)t時(shí)刻全社會SARS患者總數(shù)單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)傳染者與他人的接觸率L平均傳染期三、 對早期模型的評價(jià)和分析針對2003年在我國某些地區(qū)突發(fā)的SARS流行疫情，附件1給出了一個(gè)早起的分析預(yù)測模型，此模型主要采用“數(shù)據(jù)擬合”和“借鑒參數(shù)”的

8、方法對北京疫情走勢進(jìn)行預(yù)測。該模型用指數(shù)方程得到的解析公式解析了北京SARS疫情的前期走勢。在此基礎(chǔ)上，引入了傳染期限L對增長速度的影響，并考慮不同階段平均傳染概率k的變化。根據(jù)5月7日前公布的疫情區(qū)的SARS累計(jì)病例數(shù)目，分別對廣東、香港、北京的疫情進(jìn)行計(jì)算和分析，擬合出比較合理的參數(shù)。從而大致判斷出北京早期的實(shí)際病例數(shù)。最后將廣東、香港的參數(shù)分別應(yīng)用于北京的情況，對北京未來的疫情走勢進(jìn)行了預(yù)測，估計(jì)出最終累計(jì)病例數(shù)，并進(jìn)行比較分析。在數(shù)據(jù)擬合方面，該模型中有兩個(gè)疑點(diǎn)：  1、感染期限L的確定。由于被嚴(yán)格隔離、治愈、死亡等原因，感染者在某一時(shí)段后不再具有對易感人群的傳染力，故對病毒

9、的傳染加上感染期限是合理的。但在對該參數(shù)的確定上，作者為了較好地?cái)M合各階段的數(shù)據(jù) ,通過人為調(diào)試來確定L的取值，缺乏醫(yī)學(xué)上的支持，使模型的說服力減弱，合理性和可靠性大大降低。  2、文中認(rèn)為“K代表某種環(huán)境下一個(gè)人傳染他人的平均概率”。但從模型的公式中可以看出，參數(shù)K的實(shí)際意義是一個(gè)病人平均每天傳染其他人的個(gè)數(shù)。兩者之間有實(shí)質(zhì)的區(qū)別，文中的說法顯然不妥。  從預(yù)測思想來看，該模型是借鑒先發(fā)地區(qū)廣東、香港的有關(guān)參數(shù)對北京的疫情進(jìn)行預(yù)測的。由于廣東、香港的疫情和控制都在北京之前，已經(jīng)過了高峰期，到5月8日為止每日新增病例已降至10來例，基本處于后期控制階段。而當(dāng)時(shí)北京

10、的疫情剛過了高峰期，正處于社會劇烈調(diào)整時(shí)期，數(shù)據(jù)較為凌亂，略有下降趨勢，但不明顯。可見在當(dāng)時(shí)，采取這種借鑒是無奈之舉。  但是由于城市之間的政策，風(fēng)俗習(xí)慣等不同，城市之間的可比性不強(qiáng)，借鑒存在很大的局限性。如在香港，由于對傳播機(jī)制認(rèn)識不足，中途又出現(xiàn)高度感染的特殊情況。另外使用借鑒法無法對首發(fā)城市進(jìn)行預(yù)測。（1） 合理性：該模型在原有的SIR傳染病模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，考慮到傳染期限對疫情的影響，結(jié)合實(shí)際公布數(shù)據(jù)估計(jì)出這個(gè)固定參數(shù)的范圍，并控制參數(shù)K分段分析，得出了不同地區(qū)不同平均傳染概率下的疫情曲線圖。引入?yún)?shù)合理，有意義。由附件圖中可以看出，5月7日前各地的累計(jì)病例數(shù)與實(shí)際公布

11、的累計(jì)病例數(shù)擬合的很好，誤差很小。同時(shí)通過求導(dǎo)也給出了不同參數(shù)下日增病例數(shù)的變化情況。將香港、廣東、北京的擬合圖樣進(jìn)行比較分析，對三地的疫情發(fā)展的原因進(jìn)行了較為詳細(xì)、合理的分析。（2） 實(shí)用性：該模型設(shè)定的每個(gè)參數(shù)都具有實(shí)際意義，通過調(diào)整可控參數(shù)即可控制疫情的走勢。欲對某地區(qū)日后的疫情進(jìn)行預(yù)測，只需對固定參數(shù)L進(jìn)行確定，代入方程并給出初值即可；若要在限定時(shí)間內(nèi)時(shí)某地區(qū)疫情得以控制，只需調(diào)整其可控參數(shù)K，因此可硬此模型給出在一定參數(shù)疫情的發(fā)展態(tài)勢。針對北京的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，用合理的參數(shù)可以大致判斷出SARS早期傳播時(shí)較為準(zhǔn)確的累計(jì)病人數(shù)，進(jìn)而得到由于瞞報(bào)、漏報(bào)造成的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的誤差。該模型可為當(dāng)?shù)卣?/p>

12、供較為準(zhǔn)確的預(yù)報(bào)值并對政府的決策行為提供建議與指導(dǎo)，具有一定的實(shí)用性。四、 SARS的傳播模型(一) 問題的分析與準(zhǔn)備由于早期模型缺少對SARS傳播過程的系統(tǒng)分析，所以，要建立真正能預(yù)測病情發(fā)展的模型，應(yīng)該首先對整個(gè)傳播過程有一個(gè)全面而詳盡的分析。SARS的傳播大致經(jīng)歷了4個(gè)過程，相關(guān)描述可按照Kink于1986年提出的危機(jī)“四階段說”。第一階段是征兆期。在SARS傳播初期，由于SARS感染者需要經(jīng)歷一定時(shí)間才表現(xiàn)出臨床癥狀，所以在病毒實(shí)際上已經(jīng)廣泛傳播的情況下，政府和公眾并未引起注意.在這個(gè)時(shí)期，攜帶病毒的傳播源沒受到控制，平均傳播期長，但整個(gè)社會的發(fā)病率還較低。第二階段是迅速爆發(fā)期和蔓延期

13、。當(dāng)公眾發(fā)現(xiàn)感染者不斷增加時(shí)，恐慌情緒增加，政府隨即采取多種措施，但由于對病毒傳播的特點(diǎn)不清楚，并未收到預(yù)期效果。在這個(gè)時(shí)期，傳播源的平均傳播期依然較長，整個(gè)社會的發(fā)病率突然猛增。第三個(gè)階段是高峰期。當(dāng)高強(qiáng)度的措施實(shí)施后，病毒擴(kuò)散速度實(shí)際已經(jīng)被控制，發(fā)病人數(shù)保持穩(wěn)定，處在一個(gè)高平臺階段.在這個(gè)時(shí)期，有效隔離措施的產(chǎn)生，大大縮短了平均傳染期，但由于病患基數(shù)較大，社會發(fā)病率依然很高。第四個(gè)階段是衰退期和有效控制期。在高平臺現(xiàn)象一段時(shí)間以后，控制措施的作用開始顯現(xiàn)，患病人數(shù)開始下降，進(jìn)入控制時(shí)期。在這個(gè)時(shí)期，平均感染期最短，社會發(fā)病率低.疫情進(jìn)入了4個(gè)階段的最后時(shí)期。有了以上的分析，建立的模型就應(yīng)該

14、體現(xiàn)4個(gè)不同時(shí)期下疫情的發(fā)展過程，并能夠在此基礎(chǔ)上準(zhǔn)確預(yù)測疫情變化情況，提出切實(shí)可行的控制措施.考慮在經(jīng)典傳染病SIR模型基礎(chǔ)上，通過機(jī)理分析，加入合理的實(shí)際因素，建立適合SARS的分段微分方程模型，稱為SARS傳播的SIR改進(jìn)模型。(二) 基本假設(shè)1. SARS的持續(xù)期不太長，可以忽略在SARS持續(xù)期內(nèi)的城市人口的自然出生率和自然死亡率。2. 被SARS感染后經(jīng)治療康復(fù)的人群在SARS流行期不會被再次感染。3. 病人被嚴(yán)格隔離、治愈或者死亡后，不再有感染作用。4. 不考慮人口的流動(dòng)，僅僅在一個(gè)城市范圍內(nèi)研究SARS疫情的發(fā)展過程。(三) 常用基本模型針對早期模型的不足，需要在模型的合理性和實(shí)

15、用性方面進(jìn)行改進(jìn)。考慮在經(jīng)典傳染病模型SIR的基礎(chǔ)上，通過機(jī)理分析，用實(shí)際因素來描述SARS的傳播過程。為了簡化模型，這里不考慮人口的流動(dòng)帶來的影響，僅僅在一個(gè)封閉城市中研究SARS的傳播機(jī)理。那么，整個(gè)社會人群可以分為3類：S類：稱為易感類，該類成員沒有染上傳染病，但缺乏免疫能力，可以被染上傳染病。I類：稱為傳染類，該類成員已經(jīng)染上傳染病，而且可以傳染給S類成員。R類：稱為排除類或恢復(fù)類，R類成員或者是I類成員被嚴(yán)格隔離、治愈，或者死亡等。I類成員轉(zhuǎn)化為R類后，立刻失去傳染能力。S(t)、I(t)、R(t)分別表示t時(shí)刻上述3類成員占城市人口總數(shù)的比例。對于傳播過程有3條基本假設(shè)：A1：人口

16、總數(shù)為常數(shù)N，N足夠大，可以把變量S(t)、I(t)、R(t)視為連續(xù) 變量，還可進(jìn)一步假定為連續(xù)可微變量。A2：人群中3類成員均勻分布，傳播方式為接觸性傳播。單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)傳染者與他人的接觸率為，則一個(gè)傳播者在單位時(shí)間內(nèi)與S類成員的接觸率為S（t），因此，單位時(shí)間內(nèi)I類成員與S類成員的接觸總數(shù)為N*S（t）*I（t），這就是單位時(shí)間內(nèi)I類成員增加的數(shù)量，稱為發(fā)病率，它是S(t)和I(t)的雙線性函數(shù).A3：傳播者的被控制數(shù)正比于傳染者的數(shù)量NI（t），比例系數(shù)為v，v稱為被控制率，則平均傳染期為L=1/v=。=/v為一個(gè)傳染者在其傳播期內(nèi)與其他成員的接觸總數(shù)，稱為接觸數(shù)。那么SARS的傳播流

17、程如圖3：易感類NS（t）NSI.傳染病傳染類NI（t）vNS.控制排除類NI（t）圖三. SARS傳播流程圖在這個(gè)模型中，排除類NR（t）就是已確診SARS患者累計(jì)數(shù)，而N*1-S(t)是全社會累計(jì)SARS患者數(shù)，包括已確診的和未被發(fā)現(xiàn)的兩部分。(四) 模型的建立有了以上的機(jī)理分析，建立起針對SARS的改進(jìn)模型： dSdt=-SI (1) dIdt=-SI-vI (2) dRdt=vI I+R+S=1 S0>0,I0>0 R00該模型中參數(shù)和v在疫情發(fā)展的各個(gè)階段受實(shí)際因素影響，會有比較明顯的變化，現(xiàn)分析如下：1.參數(shù)表示單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)傳染者與他人的接觸率，其與全社會的警覺程度和

18、政府、公眾采取的各種措施有關(guān)，例如，佩戴口罩，減少停留在公共場所的時(shí)間，噴灑消毒藥劑，提高隔離強(qiáng)度等都能有效地降低接觸率的值。一般認(rèn)為，的數(shù)值隨著SARS發(fā)展的4個(gè)階段不斷變化.在SARS初期，由于潛伏期的存在和社會對SARS病毒傳播的速度認(rèn)識不足，政府和公眾并未引起重視，故維持在一個(gè)較高的數(shù)值；進(jìn)入爆發(fā)期后，公眾發(fā)現(xiàn)感染者不斷增加，恐慌情緒增加，隨即采取多種措施，使得到一定的控制，但效果不明顯，此處假設(shè)呈線性形式緩慢衰減；在高峰期，當(dāng)高強(qiáng)度的控制措施實(shí)施后，病毒傳播的有效接觸率明顯減少，可以認(rèn)為按天數(shù)呈指數(shù)形式衰減；此后進(jìn)入衰減期，l就維持在一個(gè)較低值附近。2.參數(shù)v表示傳播者的被控制率.L

19、=1/v稱為平均傳染期，表示一個(gè)傳播者在被隔離或者死亡之前具有傳播能力的平均時(shí)間.一般認(rèn)為，SARS患者經(jīng)過傳染期L過后，將隔離治療或者死亡，從I類成員變?yōu)镽類，失去傳播能力.L與政府采取的措施密切相關(guān)，例如，盡量早地發(fā)現(xiàn)病患，對疑似病例提前進(jìn)行隔離，“早發(fā)現(xiàn)，早隔離” ；提供更廣范圍的醫(yī)療手段，使更多的人接受有效的治療等，都可以有效地降低平均傳染期L的長度.因此這里將L直接抽象為每一時(shí)期SARS患者的就診率（t）的函數(shù)。平均傳染期L應(yīng)隨（t）的變化而變化。但是在初期，由于政府對SARS的認(rèn)識不足，并沒有采取有效控制措施， L的變化很小可以近似看作定值，這里我們?nèi)ARS病

20、毒最長潛伏期（約19天）為這個(gè)定值；在爆發(fā)期，有效控制措施的逐步加強(qiáng)，使SARS患者的就診率（t）逐漸增加，而平均傳染期L會逐漸減小并趨于一個(gè)定值，這里我們將SARS病毒平均潛伏期（約7天）定為L的最小值；在此后的高峰期以及衰減期，由于控制措施都保持在一定水平，L的值會維持在7天左右。(五) 針對北京疫情的模型求解首先采用數(shù)學(xué)推導(dǎo)的方法，確定參數(shù)和v，并證明模型有唯一解。1. 確定和v的關(guān)系令=v，方程組中（2）/（1）得：dIdS=-1+1S在病情剛開始時(shí)， dIdS=-1+1S0 ，由于S（t）是單調(diào)減少的，且I（t）最終趨近于0， 則當(dāng)S1 時(shí)， I（t）單調(diào)減少趨近于0；當(dāng)S>1

21、s時(shí)， I（t）先單調(diào)增加達(dá)到最大值，然后單調(diào)減少趨近于0.容易知道，當(dāng)S>1時(shí)，才滿足SARS的傳播規(guī)律，所以參數(shù)和v的取值必須滿足這個(gè)條件。2. 證明模型有唯一解 在初值條件下解微分方程組：dIdS=-1+1S I0+S0+R0=1 得到關(guān)系式：It=1-R0-S+1ln(SS0)令t趨于無窮，由1.得0=1-R0-S+1ln(SS0)因?yàn)镾>0，所以令fx=1-R0-x+1ln(xs0)則 limx0f(x)=-,fs0=1-R0-S0=I0>0當(dāng) S0<1 時(shí)，由于f（x）=0在(0，S0)范圍內(nèi)有根，因而在（0，1）內(nèi)有根。當(dāng)S0>1 時(shí)，因?yàn)?/p>

22、f'x=1-xx當(dāng)x>1時(shí)，f'x<0,所以f1>fS0=I0>0,因而f(x)=0在（0，1）內(nèi)也有根。注意到當(dāng)0<x<1時(shí)，f'x>0,故fx=0在（0，1）內(nèi)有唯一根。所以，S在（0，1）內(nèi)有唯一解。3. 劃分SARS傳播的4個(gè)階段 由于SARS的傳播經(jīng)歷了4個(gè)階段，所以，要以具體的指標(biāo)劃分這4個(gè)階段。因?yàn)樵?個(gè)階段中，日發(fā)病率t=NS(t)I(t)是一個(gè)區(qū)分每個(gè)階段特點(diǎn)的關(guān)鍵特征，所以以日發(fā)病率作為劃分的指標(biāo)。從第一個(gè)患者出現(xiàn)日開始： 征兆期：日發(fā)病率在10（人/天）以下.北京疫情期的前40天。爆發(fā)期

23、：從日發(fā)病率10（人/ 天）到日發(fā)病率最大，即ddt=0時(shí)。北京疫情期的 第40天到第74天。高峰期：從日發(fā)病率最大到患者數(shù)量最大， 即 dIdt=0時(shí).北京疫情期的第74天到 第79天。衰退期：患者數(shù)量最大點(diǎn)以后.北京疫情期第79天以后。4.確定和v 根據(jù)北京最終SARS患者總數(shù)2521人以及北京人口總數(shù)（約14000000人） ，得 S=1-252114000000=0.99981，所以 1=V>1。因?yàn)槠骄鶄魅酒贚=1V，而L是SARS患者就診率（t）的函數(shù)，且L7，19， 所以，這里設(shè)計(jì)L函數(shù)為： L=7e1-(t)（t）由政府的控制措施決定，它的變化反映了政

24、府控制措施的力度.根據(jù)實(shí)際情況，推導(dǎo)出：   ï 0 0t<40 t= log10(t-403.78+1) 40t<741 t74而接觸率與全社會的警覺程度和公眾采取的各種措施有關(guān)，根據(jù)實(shí)際情況 確定為：0.126 0t<40 0.126-t3400 40t<74 = 0.116-lnt33 74t<79 0.0672 t79確定出所有的參數(shù)后，做出北京各時(shí)期累計(jì)全社會SARS患者數(shù)和各時(shí)期累計(jì)確診SARS患者數(shù)預(yù)測圖（圖4）以及北京市預(yù)測確診SARS患者累計(jì)和實(shí)際確診SARS患者累計(jì)對比圖（圖5）。同時(shí)得到：北京SARS疫情的預(yù)測持續(xù)時(shí)間為1

25、06天，預(yù)測SARS患者累計(jì)2514人。(計(jì)算程序見附件1：改進(jìn)模型程序 )圖4   北京市預(yù)測非典病人累計(jì)總數(shù)和預(yù)測非典病人確診病例累計(jì)對比圖圖5  北京市預(yù)測確診病例累計(jì)和實(shí)際確診病例累計(jì)對比圖(六) 模型的分析與評價(jià)，為什么優(yōu)于附件1中的模型1.從圖5可以看出，本模型對數(shù)據(jù)的擬合程度非常高，完全克服了早期模型對后期數(shù)據(jù)預(yù)測不準(zhǔn)的缺陷。做出標(biāo)準(zhǔn)化殘差分析圖，如圖6：圖6   該模型的標(biāo)準(zhǔn)化殘差分布圖（實(shí)際值預(yù)測值）可以看出，殘差分布比較均勻，殘差平方和為2.0361，低于初期模型的5.510。通過以上分析得出結(jié)

26、論：該SARS模型不僅在預(yù)測前期病情的時(shí)候非常準(zhǔn)確，而且在預(yù)測后期病情的時(shí)候也沒有出現(xiàn)明顯偏差，預(yù)測值與實(shí)際值非常吻合。該模型能對整個(gè)病情的發(fā)展做出準(zhǔn)確預(yù)測，這是該模型優(yōu)于早期模型的方面之一。2.該模型根據(jù)附件給出的數(shù)據(jù)設(shè)置變量，各變量之間互相影響，關(guān)系明確；同時(shí)設(shè)定的參數(shù)合情合理，意義明確，消除了人為因素對模型結(jié)果的影響。3.早期模型在沒有對SARS的傳播過程進(jìn)行系統(tǒng)分析的情況下就簡單地以高峰期作為分析的臨界點(diǎn)，同時(shí)，模型并沒有提出高峰期的確定方法，模型的實(shí)際應(yīng)用范圍受到限制。而該模型在分析SARS傳播過程的前提下，依據(jù)日發(fā)病率把整個(gè)傳播過程細(xì)分為征兆期，爆發(fā)期，高峰期和衰退期4個(gè)階段，并且

27、考慮了每個(gè)階段影響SARS傳播的實(shí)際因素，能夠更好地反映實(shí)際因素對SARS傳播的影響。4.早期模型預(yù)測的僅僅是已確診累計(jì)SARS患者數(shù)，不包括未被發(fā)現(xiàn)的患者人數(shù)，這樣的做法不能對防治工作提供真正有用的數(shù)據(jù)。而該模型不僅能準(zhǔn)確預(yù)測已確診累計(jì)病例，而且能夠預(yù)測未被發(fā)現(xiàn)的患者人數(shù)，可以對防治工作提供更有用的數(shù)據(jù)。5.早期模型用參數(shù)K代表一個(gè)病人每天傳染他人的人數(shù)。模型沒有給出K值的具體算法，只是不斷地進(jìn)行人工調(diào)整，同時(shí)沿用了香港疫情分析中的數(shù)據(jù)來預(yù)測北京的情況，未對北京的實(shí)際情況進(jìn)行充分的考慮。而該模型用參數(shù)表示單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)傳染者與他人的接觸率，并且考慮了4個(gè)階段內(nèi)的變化情況，給出了l的函數(shù)表達(dá)式

28、。6.早期模型用參數(shù)L代表平均每個(gè)病人在被發(fā)現(xiàn)前后可以造成直接傳染的期限，并且把L的值固定在20天，就造成了后期預(yù)測值明顯偏離實(shí)際值的結(jié)果.而該模型中建立了L的分段函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)各個(gè)階段的具體影響因素控制L的大小。這樣，在后期的預(yù)測上，也與實(shí)際值相當(dāng)吻合。綜上，該模型彌補(bǔ)了早期模型的不足，簡化了問題的復(fù)雜度，使模型的預(yù)測更為客觀、準(zhǔn)確，實(shí)際應(yīng)用范圍得到擴(kuò)大，實(shí)用性強(qiáng)。(七) 說明怎樣才能建立一個(gè)真正能夠預(yù)測以及能為預(yù)防和控制提供可靠、足夠的信息的模型，這樣做的困難在哪里？要建立一個(gè)能夠預(yù)測以及能為預(yù)防和控制提供可靠、足夠的信息的模型，應(yīng)該具有下述特征。1.在模型中盡可能多地表達(dá)出可能影響SA

29、RS傳播的主要因素。影響SARS傳播的主要因素，如隔離強(qiáng)度、隔離時(shí)間、未被隔離的病人的平均傳染概念等都要準(zhǔn)確地體現(xiàn)在模型中。同時(shí)，要兼顧人口流動(dòng)、交通、旅游對疫情傳播造成的影響，會使我們的模型體現(xiàn)的信息更加全面可靠。困難：某些參數(shù)比較抽象，信息難以收集、難以統(tǒng)計(jì)，對實(shí)際操作造成困難。2.好的模型應(yīng)該避免出現(xiàn)過多的次要因素。困難：考慮過多的次要因素，勢必會大幅增加模型復(fù)雜度和計(jì)算難度，造成模型很難甚至無法求解。3.模型應(yīng)該從機(jī)理上反應(yīng)SARS傳播的規(guī)律，參數(shù)應(yīng)該具有實(shí)際意義。純粹從數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)角度建立的模型，雖然數(shù)據(jù)擬合比較好，但預(yù)報(bào)效果一般不太好，且不易進(jìn)行控制。困難：由于SARS是一種新的、突發(fā)

30、的傳播病，人們還沒能從機(jī)理上做出詳細(xì)闡述，要想準(zhǔn)確地表達(dá)發(fā)病和傳播的機(jī)理，比較困難。4.可變參數(shù)必須客觀、精簡、易于實(shí)施。可變參數(shù)要盡可能少，而且必須便與實(shí)施。如本文的模型有兩個(gè)可變參數(shù)：單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)傳染者與他人的接觸率和平均傳染期L都意義明確，方便實(shí)施。困難：可變參數(shù)太多，會造成實(shí)施控制時(shí)無所適從；可變參數(shù)如果不易實(shí)施，就失去了建模的意義。(八) 對于衛(wèi)生部門所采取的措施做出評論，如：提前或延后5天采取嚴(yán)格的隔離措施，對疫情傳播所造成的影響做出估計(jì)。附件2提供的數(shù)據(jù)供參考。在SARS傳播的實(shí)際過程中，有關(guān)部門采取了一些控制疫情的措施，在所有措施中，隔離開始的時(shí)間和隔離的強(qiáng)度是兩個(gè)比較關(guān)鍵的

31、因素，究竟這些因素對疫情傳播能造成怎樣的影響，現(xiàn)分析如下。改變隔離開始的時(shí)間通過對L調(diào)整實(shí)現(xiàn)，減小L的數(shù)值就提前了隔離時(shí)間；而改變隔離的強(qiáng)度通過對調(diào)整實(shí)現(xiàn)，減小的數(shù)值就提高了隔離的強(qiáng)度。以北京的隔離強(qiáng)度為100%，分別在100%和80%強(qiáng)度下用改進(jìn)SIR模型預(yù)測不同控制措施下累計(jì)病例總數(shù)（人）和疫情持續(xù)總時(shí)間（天）。結(jié)果如表1：開始時(shí)間隔離時(shí)間提前五天延后五天提前二十天隔離強(qiáng)度100%1458人/90天4170人/112天304人/69天隔離強(qiáng)度 80%2057人/167天5807人/205天446天/125天表1   不同控制措施下的結(jié)果分析表1，得出

32、結(jié)論：1. 在相同隔離強(qiáng)度下，發(fā)現(xiàn)隔離開始的時(shí)間越早，累計(jì)病例總數(shù)就越小。2. 在相同隔離開始時(shí)間下，隔離強(qiáng)度越大，疫情持續(xù)的時(shí)間就越短。3. 綜上，累計(jì)病例總數(shù)的大小主要由隔離開始時(shí)間的早晚決定；疫情持續(xù)時(shí)間的長短主要由隔離強(qiáng)度的大小決定。所以，有關(guān)部門采取的措施確實(shí)對疫情的控制起到了很大的作用：“早發(fā)現(xiàn)，早隔離”能有效減少累計(jì)病例總數(shù)；“嚴(yán)格隔離”能有效縮短疫情持續(xù)時(shí)間。五、 SARS對旅游業(yè)的影響SARS的流行會對國民經(jīng)濟(jì)帶來一定的影響，現(xiàn)在題目提供了北京市接待海外旅游人數(shù)的數(shù)據(jù)，要求根據(jù)這些數(shù)據(jù)，預(yù)測SARS對北京市的旅游業(yè)所產(chǎn)生的影響。(一) 預(yù)測正常情況下2003年旅游人數(shù)旅游業(yè)隨

33、著社會經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，會有一個(gè)逐年提高的趨勢。如果沒有SARS的流行，那么，海外旅游人數(shù)會以一定的規(guī)律保持增長的趨勢。現(xiàn)在需要預(yù)測正常情況下2003年的旅游人數(shù)，采用季節(jié)性時(shí)間序列的半?yún)?shù)回歸模型進(jìn)行預(yù)測。一般的半?yún)?shù)回歸模型是指:Y='+gT+ （3）其中(X,T)RP×R1為隨機(jī)向量或設(shè)計(jì)點(diǎn)列，T的支撐集為有界閉集，為P×1的未知參數(shù)向量，g（）是定義于一有界閉集上的未知函數(shù)，E為隨機(jī)誤差，E=0,E2=2（未知），且與X,T互相獨(dú)立。對季節(jié)性時(shí)間序列資料Xij(i=1,2,n;j=1,2,l)，其中n為年份長度，l為季節(jié)長度。根據(jù)時(shí)間序列資料的加法原理有如下參數(shù)回

34、歸模型 Xij=bi+gj+j （4） 其中b為模型參數(shù)，主要反應(yīng)時(shí)間序列在年度上的增長趨勢。G(j)為未知函數(shù)，主要反應(yīng)時(shí)間序列在季節(jié)上的效應(yīng)，Eij=0,Eij2=2且ij相互獨(dú)立。顯然模型中不應(yīng)包含常數(shù)項(xiàng)，因?yàn)槌?shù)項(xiàng)可包含在季節(jié)效應(yīng)中。在對旅游人數(shù)的估計(jì)時(shí)，因?yàn)椴捎昧?9972002年數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，所以年份長度n=6，而季節(jié)上的效應(yīng)實(shí)際上就是每個(gè)月的效應(yīng)，季節(jié)長度l=12。參數(shù)估計(jì)如下：1.把b看為已知g(j)的最小二乘估計(jì)為使iXij-bi-g(j)2最小的解，即gj=Xj-bn+12 （5）其中，Xj=iXij/n，即為所有數(shù)據(jù)在季節(jié)點(diǎn)j上的均數(shù)，顯然g(j)也是g(j)的一個(gè)臨

35、近估計(jì)。 2.將（5）帶入（4）后b的最小二乘估計(jì)為使ij(Xij-bi-(XJ-bn+12)2最小的解，作變換Xij=Xij-Xj，i=i-n+12則b=ijiXijlji2 （6）在小樣本條件下，誤差的總體方差2估計(jì)為2=1nl-l-1i=1Rj=11(Xij-bi)2 （7）將北京海外旅游人數(shù)19972002年的數(shù)據(jù)帶入式（5）、（6）、（7），得到： b=1.82452=0.0044gj =(4.5642，13.2808,12.5142,17.2142,17.9975,16.3975,16.0808,21.0808,20.7475，21.5828,18.1642,12.4642)根據(jù)這

36、些參數(shù)，預(yù)測正常情況下2003年的旅游人數(shù)（計(jì)算程序見附件2：時(shí)間序列程序），結(jié)構(gòu)如表2（單位：萬人）：月份123456789101112人數(shù)15.417.125.330.030.829.228.933.933.634.431.025.3表2 正常情況下2003年旅游人數(shù)預(yù)測19972003年旅游人數(shù)的變化如圖7所示：圖7 1997-2003年旅游人數(shù)的變化(二) 季節(jié)性時(shí)間序列半?yún)?shù)模型的檢驗(yàn)我們利用時(shí)間序列模型對19972002年的旅游人數(shù)進(jìn)行擬合，在于實(shí)際值對照，畫出殘差圖（圖8）：圖8 1997-2003年各月旅游人數(shù)估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)化殘差圖中，標(biāo)準(zhǔn)化殘差隨機(jī)均勻分布在x軸周圍，說明時(shí)間序

37、列模型對19972002年旅游人數(shù)的擬合程度比較高，能夠?qū)?003年各個(gè)月份的旅游人數(shù)做出比較準(zhǔn)確地預(yù)測。(三) 預(yù)測2003年實(shí)際旅游人數(shù)實(shí)際旅游人數(shù)受到SARS的影響，從3月份開始下降，在5月份達(dá)到最低點(diǎn)后開始回升。做出實(shí)際旅游人數(shù)yi占預(yù)測旅游人數(shù)yi的百分比圖，如圖9：圖9 實(shí)際旅游人數(shù)占預(yù)測旅游人數(shù)的百分比圖對5月以后旅游人數(shù)的回升用對數(shù)函數(shù)進(jìn)行擬合：yi=1.8et-101.5-1yi，t5根據(jù)這個(gè)函數(shù)預(yù)測出2003年實(shí)際旅游人數(shù)，如表3（單位：萬人）：月份123456789101112人數(shù)15.417.123.511.61.782.618.816.231.134.431.025.

38、3 表3 2003年實(shí)際旅游人數(shù)預(yù)測旅游人數(shù)在9月1日時(shí)恢復(fù)到正常水平的92.6%，在9月4日左右恢復(fù)正常水平。2003年的旅游總?cè)藬?shù)比預(yù)測減少116.11萬人。若平均每位旅游者花銷2000元人民幣，則累計(jì)經(jīng)濟(jì)損失達(dá)到23.22億人民幣，比預(yù)計(jì)經(jīng)濟(jì)收入減少了34.67%。可以看出，SARS對旅游業(yè)的影響還是比較大的，使整個(gè)旅游業(yè)收入減少了3成左右。(四) 該模型的改進(jìn)本文在原本的模型的基礎(chǔ)上，改進(jìn)得到了SARS傳播模型。模型能夠比較準(zhǔn)確地預(yù)測出累計(jì)病例數(shù)，還能隔離時(shí)間及隔離措施強(qiáng)度的效果進(jìn)行分析，具有很好的合理性和實(shí)用性。但本模型還有一些可以完善的地方：1.本模型不考慮人口的流動(dòng)，僅僅在一個(gè)城

39、市范圍內(nèi)研究SARS的傳播機(jī)理.可以增加參數(shù)uij表示第i個(gè)城市向第j個(gè)城市的人口流動(dòng)率，定量地研究相鄰的N個(gè)城市之間人口的流動(dòng).這樣，就需要有關(guān)方面提供城市間人口流動(dòng)數(shù)據(jù)來確定參數(shù)uij。2.對SARS最新研究表明，該病毒對小孩的影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于成年人.因此，可以將模型中R(t)、I(t)、S(t)改變?yōu)镾（a,t）、I(a,t)、R(a,t),分別表示t時(shí)刻時(shí)易感類、傳 染類、恢復(fù)類按年齡分布的密度函數(shù).這樣，模型就能研究不同年齡層次的病情發(fā)展情況。(五) 寫給報(bào)刊的短文傳染病模型的研究任重道遠(yuǎn)傳染病是危及人類身體健康的重要因素之一, 長期以來一直受到世界各國的 關(guān)注。 隨著社會的發(fā)展、 衛(wèi)生

40、設(shè)施和醫(yī)療水平的改善和人類文明的不斷發(fā)展, 諸 如霍亂、 天花等曾經(jīng)肆虐全球的傳染病已經(jīng)得到了有效的控制。 但是在世界的某 些地區(qū), 由于戰(zhàn)爭對抗、 人為失誤或病毒變異等因素, 還不時(shí)出現(xiàn)傳染病流行的 情況,如 82年英國的全國性沙門氏菌病暴發(fā)流行,以及最近迅速蔓延全球的 SARS 等。目前很多學(xué)者對 SARS 的傳播進(jìn)行了大量的研究。 大部分研究采用常微分方 程方法進(jìn)行分析, 以個(gè)體相互作用的方式研究病毒的傳播。 最近中國科學(xué)院研究生院借鑒流體力學(xué)中宏觀偏微分方程與微觀分子動(dòng)力學(xué)方法相結(jié)合的方法, 首次 建立了傳染病傳播概率模型。 這些模型的出現(xiàn)為疫情的評估和控制提供了科學(xué)數(shù) 據(jù),其重要性可

41、從這次 SARS 事件中窺見一斑:1、 科學(xué)預(yù)測,合理分析。在疫情忽然爆發(fā)引起公眾普遍關(guān)注后,人們最關(guān)心的問題有:“ SARS 疫情 將如何發(fā)展?何時(shí)才能得到有效控制?有沒有辦法對它進(jìn)行科學(xué)預(yù)測?” 以上問 題均可以通過建立數(shù)學(xué)模型來解決。作為中國的首都,同時(shí)又是重災(zāi)區(qū)的北京, 正是眾人關(guān)注的焦點(diǎn)。之前已有模型預(yù)測北京在實(shí)施嚴(yán)格的隔離政策之后, 4月 底高峰期過后將呈現(xiàn)下降趨勢,直至 7月將實(shí)現(xiàn)零增長,屆時(shí)累計(jì)患者數(shù)將達(dá) 2800多增長,屆時(shí)累計(jì)患者數(shù)將達(dá) 2800多人。事實(shí)證明這一預(yù)測雖不全中亦不遠(yuǎn)矣。2、理智對待,減小恐慌 。在疫情爆發(fā)初期, 未知病毒的神秘性容易對人造成心理干擾, 導(dǎo)致大

42、片人群 的恐慌。 但根據(jù)傳染病模型, 我們知道當(dāng)一個(gè)傳染期內(nèi)每個(gè)病人有效接觸易感者 的平均人數(shù)小于一個(gè)人時(shí), 病人的比例將逐漸變小, 最終實(shí)現(xiàn)零增長。 也就是說 一旦采用嚴(yán)格控制隔離的方法有效地切斷了病源和易感人群的聯(lián)系, 將病人的有 效接觸人數(shù)減少到一個(gè)以下,必然可以達(dá)到有效控制或消除疾病的目的。 3、模擬預(yù)測,指導(dǎo)控制措施。一些模型對政府控制的力度和時(shí)機(jī)作了相應(yīng)的模擬, 為各地區(qū) SARS 疫情發(fā) 展前景預(yù)測及政府控制疫情政策的制訂給出了科學(xué)依據(jù), 并提出了制訂給出了科學(xué)依據(jù), 并提出了一些實(shí)用的建 議。如:及早采取果斷控制措施;即使防范措施晚了一些,出現(xiàn)了高峰,但只要 控制嚴(yán)格,降低感染

43、率(即嚴(yán)格進(jìn)行人群隔離,切斷傳染途徑) ,前景還是樂觀 的,因?yàn)橐咂陂L度與感染人數(shù)峰值并不呈正比例關(guān)系等。4、吸取經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn),預(yù)防疫情反彈。即使在疫情已接近尾聲的今天,對傳染病模型的研究仍在繼續(xù)。在此次 SARS 戰(zhàn)役中,我們獲得了寶貴的數(shù)據(jù),也吸取了不少的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)。通過模型預(yù) 測,有專家指出:后期絕對不能松懈大意,哪怕是幾個(gè)病人逃脫控制,也可能造 成疫情的反彈, 不僅會造成總感染人數(shù)的增加, 更為嚴(yán)重的是導(dǎo)致疫期的顯著延 長,由此對我國的國際形象、社會心理、經(jīng)濟(jì)增長造成重大損失。目前對 SARS 傳播的研究主要是以個(gè)體相互作用的情況而言, 其計(jì)算結(jié)果的 準(zhǔn)確性、 可靠性將受到限制。 隨著疫情接

44、近尾聲, 對 SARS 的傳染病學(xué)機(jī)理和傳 播機(jī)制越來越了解, 可考慮疫情的空間分布和時(shí)間發(fā)生的概率, 結(jié)合計(jì)算機(jī)進(jìn)行 大量模擬, 得出更為全面和準(zhǔn)確的模型。 進(jìn)一步的工作和更準(zhǔn)確結(jié)果的得出, 將 有待于專家學(xué)者們進(jìn)行深入研究。(六) 參考書目  , 2003年9月23日  2胡鞍鋼，正確認(rèn)識SARS危機(jī)，民主與科學(xué)，第3期：第58頁，2003  3王文昌等，季節(jié)性時(shí)間序列資料預(yù)測的半?yún)?shù)回歸模型，中國衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)，14 卷第6期：第46頁，1997附件附件1：改進(jìn)模型程序function f=sorS(1)=14000000;I(1)=1;R(1)=0;na=0.126;F=19;L=19;JU=19;M(1)=1;for i=2:74 %初期與爆發(fā)期 if i>=40&i<74 JU=JU-0.25;end if i>=40 na=na-0.01/35; %爆發(fā)期緩慢減少endS(i)=S(i-1)*I(i-1)/14000000; %求解S,I,Rif i>L+2 R(i)=S(i-L-2)-S(i-L-1);else R(i)=0;endif i>=51 F=F-0.5;L=fix(F); if F=L R(i)=S(i-L