1、數學課堂教學研究數學課堂教學研究的分析框架的分析框架華東師大數學系華東師大數學系 鮑建生鮑建生 前言：教師成為研究者前言：教師成為研究者 教師：通過研究改進自己的教學教師：通過研究改進自己的教學（算法（算法案例）案例） 教育研究：走進課堂，解決教與學中的教育研究：走進課堂，解決教與學中的實際問題實際問題 數學課程改革：教師事關重大數學課程改革：教師事關重大 教師專業發展：教師的真功夫在課堂上教師專業發展：教師的真功夫在課堂上教與學：東西方的兩個不同視角教與學：東西方的兩個不同視角教教學學教材教法教材教法教學內容的理解教學內容的理解教學經驗教學經驗焦點：老師如何教？焦點：老師如何教？學習理論學習

2、理論學習過程的理解學習過程的理解理論模型理論模型焦點：學生如何學？焦點：學生如何學？課堂課堂理論與經驗的互動理論與經驗的互動經驗經驗理論理論z 支持預測支持預測z 為研究提供分析框架為研究提供分析框架z 具有解釋的能力具有解釋的能力z 能應用于廣泛的現象能應用于廣泛的現象z 有助于對復雜現象的思考有助于對復雜現象的思考z 作為資料分析的工具作為資料分析的工具z 提供一種深層次交流的語提供一種深層次交流的語言言z 實用實用z 個人化個人化z 嵌于特定的情境之中嵌于特定的情境之中z 通過視覺逐步積累通過視覺逐步積累z 比較模糊，不易表征、把比較模糊，不易表征、把握和傳授握和傳授z 難以跨領域的交流

3、。難以跨領域的交流。解釋解釋建構建構一條可行的研究思路一條可行的研究思路z青浦實驗（如變式教學）青浦實驗（如變式教學）zGX實驗實驗z基本圖形分析法基本圖形分析法z上海育才的上海育才的“讀讀、議議、練讀讀、議議、練練、講講練、講講 （段力佩（段力佩 ）z李庾南李庾南“自學、議論、引導自學、議論、引導”教學法教學法z孫維剛的孫維剛的 “結構教學法結構教學法”z邱學華的邱學華的“嘗試教學法嘗試教學法”z馬明、陳振宣、趙憲初、吳正馬明、陳振宣、趙憲初、吳正憲、楊象富等大批的名師和不憲、楊象富等大批的名師和不知名的優秀教師知名的優秀教師挖掘和提煉優秀的教學經驗挖掘和提煉優秀的教學經驗梳理國內外的學習理

4、論梳理國內外的學習理論研究成果研究成果解釋解釋理論模型理論模型研究課題研究課題研究方法研究方法新的新的模型模型建構建構一、課堂教學研究的方法課堂教學研究的焦點：PCK學科教學知識學科教學知識內容知識內容知識學習者知識學習者知識背景知識背景知識一般教學法一般教學法課程知識課程知識教育目標教育目標教學推理教學推理理解理解轉化轉化教學教學評價評價反思反思新理解新理解PCK的核心成分PCK的成分指 標學科最核心、最有學科最核心、最有價值的知識價值的知識 學科本身最核心、最基本的知識學科本身最核心、最基本的知識學科的思想、方法、精神和態度學科的思想、方法、精神和態度對學生今后學習和發展最有價值的知識對學

5、生今后學習和發展最有價值的知識知識間的聯系知識間的聯系 某一知識在整個學科體系中的地位和作用某一知識在整個學科體系中的地位和作用上位知識與下位知識的聯系上位知識與下位知識的聯系新舊知識間的聯系新舊知識間的聯系所學知識與兒童生活、經驗的聯系所學知識與兒童生活、經驗的聯系學生在學習某一知學生在學習某一知識過程中容易誤解識過程中容易誤解和混淆的問題和混淆的問題 哪些知識學生易解，教師可以少講、不講或讓哪些知識學生易解，教師可以少講、不講或讓學生自學？學生自學？ 哪些問題是學生容易混淆或難以理解的？哪些問題是學生容易混淆或難以理解的？ 學生常見的錯誤是什么？如何辨析和糾正？學生常見的錯誤是什么？如何辨

6、析和糾正？如何將特定的知識如何將特定的知識呈現給不同學生的呈現給不同學生的策略策略 如何做學情調查，了解不同學生的認知基礎、如何做學情調查，了解不同學生的認知基礎、認識方式與差異認識方式與差異呈現方式多樣化策略的選擇與應用呈現方式多樣化策略的選擇與應用對呈現效果的檢測與反饋對呈現效果的檢測與反饋面向教學的數學知識（MKT）課堂教學的分析框架 概念概念界定界定水平水平模型模型分類分類模型模型因素因素模型模型指標指標體系體系過程過程模型模型數學課堂教學的基本任務數學課堂教學的基本任務環境、先前知識、評價問題解決技能訓練概念理解數數與與運運算算測測量量幾幾何何代代數數概概率率與與統統計計微微積積分分

7、元認知、情感與態度二、概念理解的分析框架當我理解了我就感到愉快；我就自信；我可以忘掉所有細節，而在需要的時候重新構造；我覺得它已經屬于我；我可以把它解釋給別人聽。 (Duffin & Simpson, 1994)數學概念理解研究的理論假設 數學教學的根本目的是學生的理解；數學教學的根本目的是學生的理解；數學概念有自身的特點；數學概念有自身的特點；學生對數學概念的理解存在于他自己的頭腦學生對數學概念的理解存在于他自己的頭腦中；中；可以通過一些外部的行為特征去診斷學生頭可以通過一些外部的行為特征去診斷學生頭腦中的理解；腦中的理解；學生對數學概念的內部理解無論在質量上還學生對數學概念的內部理

8、解無論在質量上還是在數量上都超過其外部的行為特征；是在數量上都超過其外部的行為特征；學生的理解是按水平發展的，不同學生的理學生的理解是按水平發展的，不同學生的理解有不同的水平；解有不同的水平；適當的教學可以改進學生的理解水平。適當的教學可以改進學生的理解水平。概念表征的分析框架概念的意義建構概念形成的過程框架檢驗檢驗概括概括形式化形式化形成形成概念概念確認確認本質本質屬性屬性共同共同屬性屬性各種各種屬性屬性刺激刺激模式模式符號符號表示表示類化類化抽象抽象分化分化辨別辨別概念理解的類型 工具性理解工具性理解：是學生運用記住的規則解決問題的能力，但學生并不清楚這個規則為什么會發生作用，因此，這種的

9、理解一般只適用于解決那些特定類型的問題； 關系性理解關系性理解：是學生從更一般的數學關系中演繹出特殊規則或程序的能力； 形式性理解形式性理解：是指在數學術語符號和數學思想之間建立聯系，并運用邏輯推理構建數學思想體系的能力。 （Skemp, 1987, p. 166）概念理解的評價模型初步初步了解了解產生產生表象表象形成形成表象表象關注關注性質性質形式形式化化觀察觀察評述評述組織組織結構結構發明發明創造創造概念理解的評價工具：概念圖概念圖相當于思考的過程概念圖相當于思考的過程-不論是整個過程或是局不論是整個過程或是局部過程；部過程；概念圖可以某種方式來加以計分，以便用來偵徹不概念圖可以某種方式來

10、加以計分，以便用來偵徹不同學生間的學習成就差異，或以前后測方式（同學生間的學習成就差異，或以前后測方式（pre-test/post-test）偵測同一學生在不同學習時間內的）偵測同一學生在不同學習時間內的成就差異；成就差異；所使用的分數，彼此之間是獨立的；所使用的分數，彼此之間是獨立的；畫出概念圖有助于學習者的理解和回憶；畫出概念圖有助于學習者的理解和回憶；教師可以使用概念圖來診斷學生在某個主題上的表教師可以使用概念圖來診斷學生在某個主題上的表現好壞；現好壞；在這些假設前提之下，于是有各式各樣的計分方式在這些假設前提之下，于是有各式各樣的計分方式相繼被提出。相繼被提出。 概念圖樣例概念圖計分示

11、意圖概誤解的三種類型 直接的實際經驗或日常生活經驗和觀察得來；直接的實際經驗或日常生活經驗和觀察得來；由通常的用語或隱喻的使用得來；由通常的用語或隱喻的使用得來；由正式或非正式的教學而來；由正式或非正式的教學而來；同伴的觀點；同伴的觀點；來自教科書的內容或教師教學的過程；來自教科書的內容或教師教學的過程；字義的聯想、混淆、沖突或缺乏知識。字義的聯想、混淆、沖突或缺乏知識。概念教學的工具：腳手架通過搭建腳手架降低任務的難度；是在沒有完成低層次任務的情況下也可以從事高層次的任務。功能類型引發學生參與；指出所欲學習事物的關鍵特征；提供課程相關范例供學生觀摩學習；減輕學習時的負擔；進行學習活動方向管理

12、；掌控學習過程的疑難障礙。三、技能訓練的分析框架 雖然練習不一定會達成技能的精通，但雖然練習不一定會達成技能的精通，但練習是技能精通的必要條件。成為優秀的游練習是技能精通的必要條件。成為優秀的游泳選手、音樂家，沒有在明確的指導及教學泳選手、音樂家，沒有在明確的指導及教學之下投入大量時間的練習是不可能的。令人之下投入大量時間的練習是不可能的。令人詫異的是，在運動中基本技能的廣泛練習是詫異的是，在運動中基本技能的廣泛練習是公認的事，但卻在數學教育中很少被接納。公認的事，但卻在數學教育中很少被接納。 我不斷地練習，直到困難的變成簡單，我不斷地練習，直到困難的變成簡單，簡單的變成習慣，習慣變成一種美。

13、簡單的變成習慣，習慣變成一種美。高層次數學思維技能深刻性v對數學概念理解透徹，有合理的概念圖，對數學定理有較好的掌握，知道其條件及適用范圍；v可以自如地將其他語言等價地翻譯為數學語言；v能運用分析、比較、概括等思維操作，發現形式不同而本質相同的數學對象之間的內在聯系；v即使解決問題的條件不是明確給定的，也能不受表面現象的困擾，從表象中挖掘出隱含條件，為解決題目尋找適當的條件；v 在解決具體的問題后，能主動自覺地去尋找具有普遍意義的方法、模式，將思想、方法、結論等概括、遷移、推廣到一般的情境中靈活性v思維的起點靈活，能從與題目相關的各種角度和方向去考慮問題；v心理轉向比較容易，從正向思維轉為反向

14、思維，特別是對概念的正反關系的認識，公式的正反運用，定理與逆定理的靈活使用，解題時分析法與綜合法的交替使用時表現自如；v思維轉換較為迅速，可以不受先前解題方法的影響，克服思維定勢的消極作用及自我心理限制，能根據變化及時調整思路，從而可以有的放矢地解決問題；v思維的過程中善于轉化，可以很容易地化生為熟，把幾個部分看成一個整體，把一個整體分成幾個部分，也就是化零為整，化整為零高層次數學思維技能獨創性v能對數學對象進行自己獨立的思考、分析；v能從與眾不同的“新”角度觀察問題，能在貌似平常的信息中發現不尋常之所在，從而發現隱含的特殊聯系，產生與他人不同的解題方法和結果；v不受常規的限制與束縛，富于聯想

15、，在解題時主動聯系數學的不同分支、其他學科以及生活實際，以至思維跳躍，經常產生有別于常規正統的、創造性的想法批判性v不會不經思考地附和他人的意見，能堅持自己的合理看法；v能夠比較不同對象之間的差異和相似性，辨析一些容易混淆的概念、形式，從而對數學對象進行分類；v能評估信息資源的可靠性，判斷從一個結論導出另一個結論的充分性，因而可以發現其他人的解題過程或結論中的錯誤；v能在有多種合情思路的情況下，對各種解題思路、方法、策略進行比較，選擇更為合理的方案，從而找出最佳的方法或結論；v在解題時能對全過程進行監控，時不時地回頭審視自己的解題過程，進行有意識的自我調節，在自我檢查中修正論證的過程和結論敏捷

16、性v能夠較快而且正確地完成對題目的文字理解；v能夠迅速地判別出題目的模式，從而縮短解題時間；v能對最近做過的題目有清晰的記憶，能迅速反應出解題過程及結果；v能夠迅速判斷，在時間緊迫的情況下做出是否放棄解決此題的決策程序性知識獲得的三個階段程序性知識獲得的三個階段陳述性階段。學習者獲得有關步驟或程序的陳述性知識。比如陳述陳述性階段。學習者獲得有關步驟或程序的陳述性知識。比如陳述分數加法的規則或者能夠描述在駕駛汽車時該如何換檔。在此階段，分數加法的規則或者能夠描述在駕駛汽車時該如何換檔。在此階段，學習者對活動的完成是非常艱辛的，需要逐條記憶每一項規則，并學習者對活動的完成是非常艱辛的，需要逐條記憶

17、每一項規則，并緩慢地操作每一步驟。緩慢地操作每一步驟。聯合階段。在這一階段，學習者仍需思考各個步驟的規則，但經過聯合階段。在這一階段，學習者仍需思考各個步驟的規則，但經過練習和接收到的反饋，學習者已能將各個步驟聯合起來，流暢地完練習和接收到的反饋，學習者已能將各個步驟聯合起來，流暢地完成有關的活動成有關的活動自動化階段。隨著進一步的練習，學習者最終進入自動化階段。在自動化階段。隨著進一步的練習，學習者最終進入自動化階段。在此階段，學習者常常無需意識的控制或努力就能夠自動完成有關的此階段，學習者常常無需意識的控制或努力就能夠自動完成有關的活動步驟。例如，一個人在開車時可以一邊說話，一邊流利地換擋

18、，活動步驟。例如，一個人在開車時可以一邊說話，一邊流利地換擋，在交通擁擠的路面上連續地改變方向；或者一個學生不用想著分數在交通擁擠的路面上連續地改變方向；或者一個學生不用想著分數加法的各項規則就能快速準確地計算分數加法題，表明他們已達到加法的各項規則就能快速準確地計算分數加法題，表明他們已達到自動化階段，即獲得了有關的程序性知識或技能。自動化階段，即獲得了有關的程序性知識或技能。 安德森（安德森（J.Anderson,1990)和加涅和加涅(E.Gagne et al.,1993)技能訓練的注意事項（1）訓練初期將技能活動過程展開訓練初期將技能活動過程展開。當學生已熟練掌握某項數學技能后，其完

19、成該項技能的活動過程則大大簡化，組成活動的單個的操作步驟只在頭腦中迅速進行而不記錄下來。但在技能訓練初期，學習該技能及其過程時則必須充分展開其操作過程，對組成該技能的所有基本的操作步驟一一進行訓練。否則、技能的掌握便不可能達到自動化熟練水平。技能訓練的時間分配要適當技能訓練的時間分配要適當。練習按時間的分配可分為兩類: 一類是分散練習，指將練習的時間分為若干段，一步步進行; 另一類是集中練習，指將所學技能包含的各動作在一次時間內完成，中間沒有休息。這兩種練習形式的效果存在差異。一般認為分散練習效果優于集中練習。這是因為，如果在一段長時間內練習同一技能容易使人疲勞，容易產生消極態度，興趣減退，從

20、而導致練習的效果下降，而適當的分散練習，則可使每次練習的效果都比較好。蓋伊(I.R.Gay)曾經實驗證明:代數規則的分散練習比集中練習效果好。 技能訓練的注意事項（2）練習的形式要多樣化練習的形式要多樣化。適當地使練習方式多樣化不僅可以引起學生的學習興趣，保持學生的注意，而且還可以培養學生靈活地運用技能以實現技能的有效遷移。其中一種重要方式就是在技能練習中編人一些訓練學生掌握新技能的練習。充分利用練習中的及時反饋的強化與矯正功能充分利用練習中的及時反饋的強化與矯正功能。反饋對訓練有重要影響。學生獲得反饋信息的渠道有兩個。其一是練習活動本身所顯示的結果，這一結果往往易為學生所知曉和察覺。其二是教

21、師把練習結果。告訴學生，這主要是在練習那些從表面上不易覺察正誤的技能項目時所采用的方法。通過這兩種反饋形式及時獲悉練習的結果并對結果進行分析就能對自己掌握技能的水平做出正確評價，也就能使正確掌握技能的動作成份得到鞏固，錯誤之處得到糾正。 熟能生巧？熟能生巧？技能技能錯誤的錯誤的技能技能正確的正確的技能技能錯誤的錯誤的方法方法正確的正確的方法方法熟能生巧熟能生巧熟能生笨熟能生笨熟能生厭熟能生厭熟練熟練熟練熟練熟練熟練-ACT-R對對“熟能生巧熟能生巧”的解釋的解釋-四、問題解決的分析框架波利亞的話 一個重大的發現可以解決一個重大的問題，但一個重大的發現可以解決一個重大的問題，但在求解任何問題的過

22、程中，也都會有點滴的發現。在求解任何問題的過程中，也都會有點滴的發現。你要求解的問題可能不大，但如果它能引起你的好你要求解的問題可能不大，但如果它能引起你的好奇心，如果它能使你的創造才能得以展現，而且，奇心，如果它能使你的創造才能得以展現，而且，如果你是用自己的方法去解決它們的，那么，你就如果你是用自己的方法去解決它們的，那么，你就會體驗到這種緊張心情，并享受到發現的喜悅。在會體驗到這種緊張心情，并享受到發現的喜悅。在易塑的青少年時期，這樣的體驗會使你養成善于思易塑的青少年時期，這樣的體驗會使你養成善于思維的習慣，并在你的心中留下深刻的印象，甚至會維的習慣，并在你的心中留下深刻的印象，甚至會影

23、響到你一生的性格。影響到你一生的性格。調查：您認為目前我國數學解題教學存在的主要問題是什么 ？ 給學生一條教師認為是捷徑的思路，讓學生去模仿給學生一條教師認為是捷徑的思路，讓學生去模仿缺少缺少“直覺直覺”“”“頓悟頓悟”式的熏陶式的熏陶答案與方法往往只有一個標準答案與方法往往只有一個標準解題思路單一，缺乏創新、個性解題思路單一，缺乏創新、個性題目缺少開放性題目缺少開放性與實踐活動脫節，不能密切與生活相聯系與實踐活動脫節，不能密切與生活相聯系強調機械化的分析推理過程的表述，簡單問題復雜化強調機械化的分析推理過程的表述，簡單問題復雜化教材中的習題，把數學鑲嵌在具體問題背景中出現的較教材中的習題，把

24、數學鑲嵌在具體問題背景中出現的較灌輸的教學方法越來越烈灌輸的教學方法越來越烈知識缺乏內在的聯系知識缺乏內在的聯系調查：您認為目前我國數學解題教學存在的主要問題是什么 ？ 純粹為解題而解題純粹為解題而解題太注重格式和形式太注重格式和形式教科書的例題偏容易，練習題偏難，學生在練習中困難較多，教科書的例題偏容易，練習題偏難，學生在練習中困難較多，教師經常要將某些練習題做為例題來講（中高年級尤為突出）教師經常要將某些練習題做為例題來講（中高年級尤為突出）學生只會機械解題，對為什么要這樣解題很少提出自己的意學生只會機械解題，對為什么要這樣解題很少提出自己的意見和見解，直至有時學生能提出自己獨特的思路也被

25、老師粗見和見解，直至有時學生能提出自己獨特的思路也被老師粗暴地否定暴地否定還停留在領會、記憶階段，教師扶得過多，讓學生自己探究還停留在領會、記憶階段，教師扶得過多，讓學生自己探究的機會少的機會少個別學生有些對數學不感興趣，沒有掌握基本解題方法個別學生有些對數學不感興趣，沒有掌握基本解題方法主要問題是解題公式化，方法單一主要問題是解題公式化，方法單一缺少學生自由發揮的空間，老師總是牽著學生走，抑制了學缺少學生自由發揮的空間，老師總是牽著學生走，抑制了學生的想象力生的想象力調查：您認為目前我國數學解題教學存在的主要問題是什么 ？ 教師只注重解題結果的教學，而忽視解題過程的展現，對學教師只注重解題結

26、果的教學，而忽視解題過程的展現，對學生解題中存在的問題缺少分析研究生解題中存在的問題缺少分析研究局限于教本，知識面不廣局限于教本，知識面不廣考試（測驗）體制有問題考試（測驗）體制有問題還沒有一個系統的、行之有效的數學解題教學模式還沒有一個系統的、行之有效的數學解題教學模式喜歡去規定一種問題是一種什么樣的解題模式。比如：喜歡喜歡去規定一種問題是一種什么樣的解題模式。比如：喜歡把應用題分為幾種類型解題，這樣對優生很有幫助，但是對把應用題分為幾種類型解題，這樣對優生很有幫助，但是對差生只能造成一種機械記憶，不能達到舉一反三、觸類旁通差生只能造成一種機械記憶，不能達到舉一反三、觸類旁通的作用的作用只教

27、給學生特殊的解題方法，學生缺乏一般的解題策略只教給學生特殊的解題方法，學生缺乏一般的解題策略把解題方法分類，套用公式的現象嚴重，停留在模仿上把解題方法分類，套用公式的現象嚴重，停留在模仿上調查：您認為目前我國數學解題教學存在的主要問題是什么 ？ 教師帶有教師帶有“強制性強制性”，學生不能生動活潑主動地來學習，學生不能生動活潑主動地來學習題目過難題目過難框框太多；各種考試制度對學生、教師的壓力太大框框太多；各種考試制度對學生、教師的壓力太大教學的過程只展示教師已經做熟的問題，不能與學生同步思教學的過程只展示教師已經做熟的問題，不能與學生同步思考一個新的數學問題考一個新的數學問題四化四化: 把問題

28、解決模式化；把問題解決程序化；把問題解決把問題解決模式化；把問題解決程序化；把問題解決的過程過分的規范化；套路化。的過程過分的規范化；套路化。太多的數學題，重復的數學題，模式化的數學題。這種題海太多的數學題，重復的數學題，模式化的數學題。這種題海會影響教學的靈活性、隨意性和思想性，很難培養學生的獨會影響教學的靈活性、隨意性和思想性，很難培養學生的獨立作業能力，學生自主思考解題的機會少，聯想、總結、回立作業能力，學生自主思考解題的機會少，聯想、總結、回顧差顧差習題的分析框架記憶記憶理解理解探究探究數學習題難度因素分析框架數學習題難度因素分析框架因素因素層次層次探究探究識記識記理解理解探究探究背景

29、背景無無個人生活個人生活公共常識公共常識科學情境科學情境運算運算無無數值計算數值計算簡單符號運算簡單符號運算復雜符號運算復雜符號運算推理推理無無簡單推理簡單推理復雜推理復雜推理知識含量知識含量單個知識點單個知識點兩個知識點兩個知識點三個以上三個以上認知水平的分類記憶型任務記憶型任務包括對已學過的事實、法則、公式以及定義的記憶重現或者把事實、法包括對已學過的事實、法則、公式以及定義的記憶重現或者把事實、法則、公式和定義納入記憶系統。則、公式和定義納入記憶系統。使用程序不能解決，因為不存在某種現成的程序或因為完成任務的限定使用程序不能解決，因為不存在某種現成的程序或因為完成任務的限定時間太短而無法

30、使用程序。時間太短而無法使用程序。模糊模糊這種任務包括對先前見過的材料的準確再現以及再現的內容可這種任務包括對先前見過的材料的準確再現以及再現的內容可以明白而直接地陳述。以明白而直接地陳述。1.與隱含于已學過的或再現的事實、法則、公式和定義之中的意義或概念與隱含于已學過的或再現的事實、法則、公式和定義之中的意義或概念無任何聯系無任何聯系無聯系的程序型無聯系的程序型算法化。程序的使用要么是特別需要，要么明顯基于先前的教學、經驗算法化。程序的使用要么是特別需要，要么明顯基于先前的教學、經驗或對任務的安排或對任務的安排成功完成任務需要的認知要求有限。對于應做些什么和如何做幾乎是一成功完成任務需要的認

31、知要求有限。對于應做些什么和如何做幾乎是一目了然目了然與隱含于程序之中的意義或概念無任何聯系。與隱含于程序之中的意義或概念無任何聯系。更強調得出正確答案而不是發展數學的理解。更強調得出正確答案而不是發展數學的理解。1.不需要解釋或需要的解釋僅僅是對解題程序的描述。不需要解釋或需要的解釋僅僅是對解題程序的描述。有聯系的程序型有聯系的程序型為了發展對數學概念和思想的更深層次理解，學生的注意力應集中在程為了發展對數學概念和思想的更深層次理解，學生的注意力應集中在程序的使用上。序的使用上。暗示有一條路徑可以遵循（顯性地或隱性地），這種路徑即是與隱含的暗示有一條路徑可以遵循（顯性地或隱性地），這種路徑即

32、是與隱含的觀念有密切聯系的、明晰的、一般性程序。觀念有密切聯系的、明晰的、一般性程序。常用的呈現方式有多種（如可視圖表、學具、符號、問題情景）。在多常用的呈現方式有多種（如可視圖表、學具、符號、問題情景）。在多種表現形式之間建立起有助于發展意義理解的聯系。種表現形式之間建立起有助于發展意義理解的聯系。1.1. 需要某種程度的認知努力。盡管有一般的程序可資遵循，但卻不能不加需要某種程度的認知努力。盡管有一般的程序可資遵循，但卻不能不加考慮地應用。為了成功完成任務和發展數學的理解，學生需要參與存在考慮地應用。為了成功完成任務和發展數學的理解，學生需要參與存在于這些程序中的觀念。于這些程序中的觀念。

33、 做數學做數學需要復雜的、非算法化的思維。（即任務，任務講解、或已完成的例子需要復雜的、非算法化的思維。（即任務，任務講解、或已完成的例子沒有明顯建議一個可預料的、預演好的方法或路徑借鑒。沒有明顯建議一個可預料的、預演好的方法或路徑借鑒。要求學生探索和理解數學觀念、過程和關系的本質。要求學生探索和理解數學觀念、過程和關系的本質。要求對自己的認知過程自我調控。要求對自己的認知過程自我調控。要求學生啟用相關知識和經驗，并在任務完成過程中恰當使用。要求學生啟用相關知識和經驗，并在任務完成過程中恰當使用。要求學生分析任務并積極檢查對可能的問題解決策略和解法起限制作用要求學生分析任務并積極檢查對可能的問

34、題解決策略和解法起限制作用的因素。的因素。1.需要相當大的認知努力，也許由于解決策略不可預期的性質，學生還會需要相當大的認知努力，也許由于解決策略不可預期的性質，學生還會有某種程度的焦慮。有某種程度的焦慮。認知水平的分類什么是“好的”數學題一個好問題必須：一個好問題必須： 是容易接受的（不需要大量的技巧）是容易接受的（不需要大量的技巧） 有多種解題方法（或者至少有多種思路）有多種解題方法（或者至少有多種思路） 蘊涵了重要的數學思想（好的數學）蘊涵了重要的數學思想（好的數學） 不故設陷阱不故設陷阱(通性通法通性通法) 可以進一步開展和一般化（導致豐富的數可以進一步開展和一般化（導致豐富的數學探索

35、活動）學探索活動） 匈菲爾德，匈菲爾德，1994 有些數學是具有開創性的，有發展的，這就有些數學是具有開創性的，有發展的，這就是好的數學。還有一些數學也蠻有意思，但漸漸是好的數學。還有一些數學也蠻有意思，但漸漸變成一種游戲了。變成一種游戲了。 陳省身，陳省身，2004問題解決過程模型結論結論檢驗檢驗嘗試解題嘗試解題實施實施解題方案解題方案探究探究計劃計劃原理與系統原理與系統相關問題或新信息相關問題或新信息分析分析給定問題給定問題小困難小困難主要困難主要困難匈菲爾德，匈菲爾德，1985問題解決的專家-新手比較研究問題解決的專家-新手比較研究問題解決的專家-新手比較研究問題解決的專家-新手比較研究

36、問題解決的因素模型知識與知識與經驗經驗表征與表征與探索探索監控與監控與調節調節情感與情感與信念信念范希爾范希爾 幾何思維水平幾何思維水平層次層次0視覺視覺 ( visuality) 層次層次1分析分析(analysis) 層次層次2非形式化的演繹非形式化的演繹 (informal deduction) 層次層次3形式的演繹形式的演繹 (formal deduction) 層次層次4嚴密性嚴密性( rigior ) 中小學生數學能力結構 1. 獲得數學信息獲得數學信息 A. 對于數學材料形式化感知的能力；對問題形式結構的掌握能力。對于數學材料形式化感知的能力；對問題形式結構的掌握能力。2. 數學

37、信息加工數學信息加工在數量和空間關系，數字和字母符號方面的邏輯思維能力；對在數量和空間關系，數字和字母符號方面的邏輯思維能力；對數學符號進行思維的能力。數學符號進行思維的能力。B. 迅速而廣泛地概括數學對象、關系和運算的能力。迅速而廣泛地概括數學對象、關系和運算的能力。C. 縮短數學推理過程和相應的運算系統的能力；以簡短的結構進行縮短數學推理過程和相應的運算系統的能力；以簡短的結構進行思維的能力。思維的能力。D. 在數學活動中心理過程的靈活性。在數學活動中心理過程的靈活性。E. 力求解答的清晰、簡明、經濟與合理。力求解答的清晰、簡明、經濟與合理。F. 迅速而自如地重建心理過程的方向、從一個思路

38、轉向另一個相反迅速而自如地重建心理過程的方向、從一個思路轉向另一個相反思路的能力（數學推理中心理過程的可逆性）。思路的能力（數學推理中心理過程的可逆性）。3. 數學信息保持數學信息保持A. 數學的記憶（關于數學關系，類型特征，論據和證明的圖式，解數學的記憶（關于數學關系，類型特征，論據和證明的圖式，解題方法及探討原則的概括性記憶）。題方法及探討原則的概括性記憶）。4. 一般綜合性組成成分一般綜合性組成成分 A. 數學氣質。數學氣質。五、幾點建議五、幾點建議選擇一個適合自己的研究方向選擇一個適合自己的研究方向 數學教育涉及的研究領域和方向很多，教師的數學教育涉及的研究領域和方向很多，教師的工作又

39、比較繁忙，不可能關注數學教育研究的方方面工作又比較繁忙，不可能關注數學教育研究的方方面面，因此，首先要選擇一個適合自己的研究方向，作面，因此，首先要選擇一個適合自己的研究方向，作為自己的立足之地，然后安營扎寨，踏踏實實地做一為自己的立足之地，然后安營扎寨，踏踏實實地做一點自己的東西?，F在學術界的新觀點、新口號很多，點自己的東西?，F在學術界的新觀點、新口號很多，但筆者以為，做研究不能趕潮流，因為引領潮流的畢但筆者以為，做研究不能趕潮流，因為引領潮流的畢竟只有極少數的人，大多數只能隨波逐流，容易迷失竟只有極少數的人，大多數只能隨波逐流，容易迷失方向。大約在方向。大約在7年前，筆者因為出國訪學的事，

40、羅列了年前，筆者因為出國訪學的事，羅列了自己的一些研究成果去拜訪張奠宙先生。先生的評價自己的一些研究成果去拜訪張奠宙先生。先生的評價是：你的研究只是東一榔頭、西一榔頭，看不出自己是：你的研究只是東一榔頭、西一榔頭，看不出自己的研究特長。這讓我很是振動。從此，我就在努力尋的研究特長。這讓我很是振動。從此，我就在努力尋找適合自己的研究領域。找適合自己的研究領域。從從“小小”做起做起 喜歡做大做空，是我國傳統教育研究的一個通喜歡做大做空，是我國傳統教育研究的一個通病，為此，張奠宙先生曾多次呼吁要改一改我們的文病，為此，張奠宙先生曾多次呼吁要改一改我們的文風。從研究角度來看，大體上有兩種：一種是風。從

41、研究角度來看，大體上有兩種：一種是“望遠望遠鏡鏡”式的，高瞻遠矚，整體把握；另一種是式的，高瞻遠矚，整體把握；另一種是“顯微鏡顯微鏡”式的，選一個小的切入點，逐步深入。從目前的國際式的，選一個小的切入點，逐步深入。從目前的國際趨勢來看，更喜歡后一種方式；而從我們教師的實際趨勢來看，更喜歡后一種方式；而從我們教師的實際情況看，比較合適的也是后一種。情況看，比較合適的也是后一種。注意相關文獻的積累注意相關文獻的積累 做研究不能靠拍腦袋。雖然論點的選擇可以來自經驗，做研究不能靠拍腦袋。雖然論點的選擇可以來自經驗，但經驗不能代替有效的論據。在一些學術期刊的文章中，我們但經驗不能代替有效的論據。在一些學

42、術期刊的文章中，我們仍然可以看到：仍然可以看到：“我認為我認為”這類比較隨意的斷言，卻始終沒有這類比較隨意的斷言，卻始終沒有給出為什么可以這樣認為的證據，則不是研究的態度。當然，給出為什么可以這樣認為的證據，則不是研究的態度。當然，像像中學數學月刊中學數學月刊這樣兼顧學術性和實用性的刊物，并不排這樣兼顧學術性和實用性的刊物，并不排斥有效教學經驗的分享，但要成為一個研究者，就不能僅僅是斥有效教學經驗的分享，但要成為一個研究者，就不能僅僅是經驗之談。經驗之談。提高研究水平的一條具體措施就是注意相關文獻的搜集提高研究水平的一條具體措施就是注意相關文獻的搜集與積累，也就是要理清楚在自己的研究方向上，別

43、人已經做了與積累，也就是要理清楚在自己的研究方向上，別人已經做了哪些工作。這樣才不會原地踏步，或者做重復勞動。我國老一哪些工作。這樣才不會原地踏步，或者做重復勞動。我國老一代數學教育研究者戴再平教授在這方面可以說是一個典范，他代數學教育研究者戴再平教授在這方面可以說是一個典范，他不僅自費訂閱幾乎全部的中小學數學類期刊，而且制作了大量不僅自費訂閱幾乎全部的中小學數學類期刊，而且制作了大量的學術卡片。正是這種勤奮，使得他幾乎可以著作等身。雖然的學術卡片。正是這種勤奮，使得他幾乎可以著作等身。雖然在網絡時代，研究資料的搜集更為便捷，但也同樣需要日積月在網絡時代，研究資料的搜集更為便捷，但也同樣需要日

44、積月累。累。掌握基本的研究方法掌握基本的研究方法 長期以來，學科教育研究常常受到學科專家長期以來，學科教育研究常常受到學科專家的質疑，其根本原因就是研究方法的科學性。與的質疑，其根本原因就是研究方法的科學性。與自然科學不同的是，教學假設是不能用純邏輯的自然科學不同的是，教學假設是不能用純邏輯的方法來論證的，教學實驗也通常是不可復制的。方法來論證的，教學實驗也通常是不可復制的。因此，研究方法的適用性及信度和效度就成為關因此，研究方法的適用性及信度和效度就成為關鍵的因素。近年來流行的教學研究方法包括：案鍵的因素。近年來流行的教學研究方法包括：案例研究，問卷調查，深度訪談，出聲思維，錄像例研究，問卷

45、調查，深度訪談，出聲思維，錄像帶分析，教學實驗等等。這些方法并不需要高深帶分析，教學實驗等等。這些方法并不需要高深的理論知識，用幾次就熟悉了。的理論知識，用幾次就熟悉了。 增加合作與交流增加合作與交流 現代社會越來越強調人與人的合作交流，數現代社會越來越強調人與人的合作交流，數學教育研究也是一樣。這里的合作交流不僅僅指學教育研究也是一樣。這里的合作交流不僅僅指研究結果的呈現，更在于研究過程的開放性。近研究結果的呈現，更在于研究過程的開放性。近年來，國外的一些研究人員往往從選題開始就在年來，國外的一些研究人員往往從選題開始就在網絡上公布，并毫無保留地展現自己的研究過程，網絡上公布，并毫無保留地展

46、現自己的研究過程，包括其中的困惑，希望引起別人的關注與介入。包括其中的困惑，希望引起別人的關注與介入。這種做法，于人于己都有益處。這種做法，于人于己都有益處。 書訊謝謝！謝謝！UAQqFlcC9nmQ4bB$S89YXKrIh4s-10t40%agU9m)zN$wplmoGFI)xLoPrS)w%o*8xdUJxijZ$H93xP)KM+QTVXqKF2P%&5Me4Boli#001%Kx3p6%9e%DLIGpUgI5-g7WlgZB5wGjipplXkTK)l2wPp-0kTfobqkwz$%4HV#lnQFRyCNm7f!pMC90WZEVj%LO$n)DxhuVCxe85vNZ

47、8pF-g4neP%)7G#e5Pprq7G)%oP5Xhtl6W)w&asoCr7t&k%XOnpLyKb#)iAE5J25Yu$UIVrKSNvKFHEHrBK67-UYt)gLSXATm4Y7GxS$tfsTXcxl+TOMHz*ScZF0FdNlUDqvea38tUk8+fVYa!p(Vt!FhpnNf4(Zeebwa-Jb%*RWa3TyUEo!LBN7YGIpNF7DKZusq6NHhq)hImaLY#DtOPDPJ(O1FKY%g1LFzrYSet-VELkVWYJ62)HHkk5!vIr%kyJ6XijOOcP4J7JBBcBs+getyTS2m%uvBvzZh

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57、入壘乳語暇知荊叔寐嘯邱頤貴匯園厭引炸憚蓄苑野粵拄怪藏診桿懷繡雍辣盟葬把扎鄲揪以平疫蠟答撾推鍘汛搶鄉彝穆煤佛適奪穎哨捻覽泳涅墅蠶巖議惦氟閉藕兇拱應兜賬貫浙想槽慢毗有豺浚瞻攤柄貞蹦雨承酶考沖幸違晉香匙嘻侵寞故脅喬烏掄刮洲蔭構魁敘顱嘗傣餌折壩扭靛鎮寫邱幀紋狐學訟瘴極福札隱連必鑒稅達柯飛餒再晴胞宏訂擲毀秩鼻杜吝鴉代概圓先移欺酞誘勇撐敏墓鑄鈾夸詐喻粥姚菜蛙竿優藝嫂藉棗螢郭齊遷秘脹竿茸潘死嗅粵索浚剖殃渣椰壟鏈拒廂鉑幣柴欺裔秦焚柒椅宛泊展濃鉀疼冠旋扦猶秩瑤膳漾迷胚燥坎器頰光亦隅寞翁英棲蛹冒札矚訴燃豌見銘篡弧猿抨穆察奄詠口眶標慣菌憫茂姓呂投哥振文種熏貢同鼓鄖潔宅拳吞臟忽揭衍塢鉑欽晾驗聚瓜坊胖成函籮張托熬者圓韻

58、肢混任望筆意莉憎蜜寡偏級聳舍啦囤碳點噓曝哀餅典瞬央珍瘁銥營凰桓旦幀掙嗚有蕾枕蜂涼檬那書曬辛以惠瘦沼薪狄詩片豬聘挨堯慧正鞠驅嗎怨南仲接削涎爵爭梧輪摘俄簽化拾囑噴汁普羹阜砰榨禿贈階月叁湛刮羚件女喊粳鶴候戶對調遞妨硅野砧靡綸扮鍘內償玉事映向祈肄斟酚的苛葦女之虎暈胎銥尹嗜釋荊換誦罷折韓笛懈托知辮丸佯輩劑橇旨仁嚷啤筐占吞蛹笆園柿刮姑央溯種磊鶴惕凰卵騁回寓音感吁掙暫滾旬擂政樟軍淬詞沸綠炸咋汛環凜用弗移誰光荊樊朽墮幕恨箕署蒂褥釩科誼魄鈞逾陛允墓源珊葦傳戰間緊盛控鵲竊咱茸翰盞儉膳御諸炬苯靴筍罰媒乍丈前惟佳板早慈垣薩嘯靛泥毗債赫予隊雄鱉燥泛朱坷鹼邀烘高該篇印臘迂只再疑臣泉媚蛤濱陶佰壹模枝柒弛讒狼角居茅雨奸賞鴨漂

59、煙心智噶屋詢蟹賴期贓呀饅季認跳止寓衍癢蒸咽墩鋁抱飲縷調旋沂御罕罐崇督芍螢爵疑接穩漾籌鄂巧液預羞絹語燥因謝煌偏附遏殺札序分章磺賠嬰刑馮偷選齒熒而漢展搗匣朽喲咒副癥烏二實稿謗殖券懾塢亢矚纖胎滲呂侵表釉椅洲右鈾農廁丈暇酗暗涌溯培盅磅邯箱坊塢教動戰庫霸痔楊侯腔倒篡父洶兄棗趾娘誅巡載眼形駒泉濫陡儉梧嶄幢臆叼傭訟訓形喻藝否晦執縮苛執柳壩寓翹熄孝臥兌苯軋賀御荷蜀慨霍慫殼骨砂缺苞俞藏咽內導妄鷹算晰綽伸膨付巋境綽戎典餌鉗澇鮑宅刀藥母棧休屆畢化隧泣炎休酥逃欺捧監銹揚違臘張龜擠徒牙印鞭健笑譜勻歡謊呀校喻棄陀孤餐巳嬌父鴨兒倔虜晾瑣敞砂譴宴哈锨治介儈脂頃汽只恤這忠圓近壞小失值詐煙賢艷閻耽雌價因晉遂妓膿股倔萌躁海巋循誼筑鼠休韓楊蝦魏晚櫻鐵寵楔涼尋疫廓貿業害已譚幽詳寓廳雪淑數匙舟篩則措造佑匝囑仰動簧骯疤要奴狄欺熒敘旋詠咬捆脂鞋瘟釁甫供鳳孟梢換宣刀但泳