1、第5章 線性系統的頻域分析法例1 單位反饋系統的開環傳遞函數為，試根據頻率特性的物理意義，求在輸入信號為作用下系統的穩態輸出和。解：1. 求系統的穩態輸出。系統閉環傳遞函數為閉環頻率特性為閉環幅頻特性為閉環相頻特性為輸入信號為作用下，閉環幅頻和相頻分別為因此系統的穩態輸出2. 求系統的誤差穩態輸出。系統的誤差傳遞函數為誤差頻率特性為輸入信號為作用下，誤差的幅頻和相頻分別為因此系統誤差的穩態輸出為例2 已知單位反饋系統的開環傳遞函數為，當系統的輸入時，閉環系統的穩態輸出為，試計算參數和的數值。解：系統閉環傳遞函數為閉環頻率特性為輸入信號為，閉環幅頻和相頻分別為 （5-1） （5-2）由式（5-1

2、）、（5-2）易求得、。例3 試繪制下列開環傳遞函數的幅相特性，并判斷其負反饋閉環時的穩定性。1. 2. 解：1. 系統的開環頻率特性為曲線的起點：系統為型，時，曲線的終點：時，因系統中無開環零點，所以相頻特性單調遞減，易知幅相曲線與實軸有交點。下面求幅相曲線與實軸交點的坐標令，得代入，得系統為型，系統幅相曲線起始時漸進線是平行于虛軸的直線，其橫坐標為根據以上分析，可概略地作出幅相曲線，如圖5-1所示。圖5-1由系統的開環傳遞函數知，系統無右半平面開環極點，即。由圖5-3可見，幅相曲線不包圍點。根據奈氏判據，系統負反饋閉環時穩定。2. 系統的開環頻率特性為曲線的起點：系統為型，時，曲線的終點：

3、時，因系統中有開環零點，所以相頻特性單調遞減，易知幅相曲線與實軸有交點。下面求幅相曲線與實軸交點的坐標令，得代入，得：根據以上分析，可概略地作出幅相曲線，如圖5-2所示。圖5-2由系統的開環傳遞函數知，系統無右半平面開環極點，即。由圖5-2可見，幅相曲線不包圍點。根據奈氏判據，系統負反饋閉環時穩定。例4 已知系統開環傳遞函數為，試用奈奎斯特穩定判據判斷閉環系統的穩定性，并確定的取值范圍。解：1. 系統的開環頻率特性為曲線的起點：系統為型，時，系統為型，系統幅相曲線起始時漸進線是平行于虛軸的直線，其橫坐標為曲線的終點：時，易知幅相曲線與實軸有交點。令，得代入，得根據以上分析，可概略地作出幅相曲線

4、，如圖5-5所示。圖5-3由系統的開環傳遞函數知，系統有一個右半平面開環極點，即。系統為型，應逆時針補畫一個半徑為無窮大的1/4圓。根據奈奎斯特判據，由圖5-3可見當時，幅相曲線過點，系統臨界穩定；當時，幅相曲線正穿越次數，負穿越次數，曲線包圍點圈數，故有，系統穩定。當時，幅相曲線正穿越次數，負穿越次數，曲線包圍點圈數，故有，系統不穩定。例5 已知系統開環傳遞函數為，試概略繪制系統的開環幅相曲線，并求使系統穩定的的范圍。解:系統的開環頻率特性為曲線的起點：時，曲線的終點：時，當幅相曲線與實軸相交時，有根據以上分析，可概略地作出幅相曲線，如圖5-4所示。圖5-4根據奈奎斯特穩定判據，當 ，即時，

5、系統穩定。例6 已知系統開環傳遞函數為，試繪制系統的開環對數頻率特性。解：系統開環傳遞函數為開環頻率特性的表達式系統為0型且，故對數幅頻曲線最左端曲線斜率為0dB/dec，其高度為；微分環節的交接頻率為，慣性環節的交接頻率為。因非最小相位環節的對數幅頻特性與最小相位環節相同，故可繪制出系統開環對數幅頻曲線。再根據其相頻表達式繪制相頻漸近線曲線如圖5-5所示。圖5-5例7 已知系統開環傳遞函數為，試繪制系統的開環對數頻率特性，并確定剪切頻率。解：系統開環傳遞函數為因此，系統的開環增益為系統為型，一階微分環節的交接頻率rad/s，振蕩環節的交接頻率為rad/s，繪制系統的開環對數頻率特性如圖5-6

6、所示。由圖可見，低頻段與0dB線相交于 rad/s。圖5-6例8. 某系統的結構圖和開環幅相曲線如圖5-7所示。圖中；試判斷閉環穩定性，并決定閉環特征方程正實部根個數。圖5-7解：繪制內環的幅相曲線。系統內環的開環傳遞函數為曲線起點：曲線終點：易繪制出內環的幅相曲線如圖5-7所示。圖5-7由圖可見，內環幅相曲線不包圍，因為無右半平面的極點，故內環穩定，即系統開環傳遞函數無右半平面極點。由系統的開環開環幅相曲線可知，開環幅相曲線在左側正、負穿越的次數，故有，所以系統在右半平面的極點數即閉環系統在右半平面有2個極點，系統不穩定。例8. 已知最小相位系統的對數幅頻漸進特性曲線如圖5-8所示，試確定系

7、統的開環傳遞函數。（a） （b） （c）圖5-8解：（1）由圖5-8（a）知低頻段漸近線的斜率為0dB/dec，說明開環系統為0型，且有故有 根據各交接頻率處曲線斜率的變化，確定對應的典型環節：處，斜率變化20dB/dec，故對應的是慣性環節的交接頻率；處，斜率變化20dB/dec，故對應的是一階比例微分環節的交接頻率；處，斜率變化20dB/dec，故對應的是慣性環節的交接頻率。因此，系統的開環傳遞函數為式中，下面來求。由圖列寫直線方程即 故系統的開環傳遞函數為（2）由圖5-8（b）知低頻段漸近線的斜率為-40dB/dec，說明開環系統的積分環節數；又因為低頻段的延長線與0dB線交于10rad

8、/s1處，故有根據各交接頻率處曲線斜率的變化，確定對應的典型環節：處，斜率變化20dB/dec，故對應的是一階比例微分環節的交接頻率；處，斜率變化-20dB/dec，故對應的是慣性環節的交接頻率。因此，系統的開環傳遞函數為式中，下面來求、。由圖列寫直線方程即 故系統的開環傳遞函數為（3）由圖5-8（c）知低頻段漸近線的斜率為40dB/dec，說明開環系統的積分環節數；又因為低頻段在處的幅值為20dB，故有根據各交接頻率處曲線斜率的變化，確定對應的典型環節處，斜率變化-40dB/dec，由修正曲線知對應的是二階振蕩環節的交接頻率；處，斜率變化-20dB/dec，故對應的是慣性環節的交接頻率。因此，系統的開環傳遞函數為式中，。下面求。二階振蕩環節在諧振頻率處的修正值為，由修正曲線修正值為20dB，即解得。系統的開環傳遞函數為例9. 若單位反饋系統的開環傳遞函數為試確定使系統穩定的值范圍。解：系統開環頻率特性為曲線起點：曲線終點：若曲線與負實軸的交點在-1的右側，則曲線不包圍點，系統穩定。令解得的最小正值為。因此與負實軸的交點為當，即時，系統臨界穩定。當時，系統穩定。例10. 設單位反饋控制系統的開環傳遞函數試確定相角裕度為4