1、第二部分 空間與圖形20、線段與角思考練習 MCNBA1、已知線段AB16，C為AB上的一點，且ACCB35，M、N分別為AC、AB的中點，求MN的長2、在直線上取A、B兩點，使AB10，再在上取一點C，使AC2， M、N分別為AB、AC的中點，求MN的長3、在一條直線形流水線上，依次在、處有5個具有同樣性能的機器人在工作，每隔一定時間，它們要去取零件，將零件箱放在何處，才能使機器人取零件花費的總時間最少？100m 200mA區B區C區PAGFEDCBO4、某公司員工分別住在A、B、C三個住宅區，A區有30人，B區有15人，C區有10人，三個區在一直線上，位置如圖所示，公司的班車打算在此間只設

2、一個停靠點，為要使所有員工步行到停靠點的路線總和最少，那么停靠點的位置應在何處?5、如圖，已知和都等于，則圖中以O為頂點的銳角共有_個6、時鐘在12點25分時分針與時針之間的夾角度數為_7、若一個角的補角等于這個角的余角的6倍，則這個角等于_ _EBDCAO8、小明家在車站O的東偏北方向300米處，學校B在車站O的南偏西方向200米，小明經車站所走的_度CNMBAO12349、若與互為補角，OD是的平分線，OE在內，求10、平面上有五個點，其中僅有三點在同一直線上，過每兩點作一條直線，一共可以作_條直線11、如圖，是的平分線，射線在內部，是的平分線，已知，求的度數12、平面上三條直線相互之間的

3、交點個數是( ) A、3 B、1或3 C、1或2或3 D、不一定是1、2、313、如果兩個角的兩邊分別平行，而其中一個角比另一個角的4倍少，求這兩個角DCEBAF14、如圖，已知，則_GFEDCBAO15、如圖，已知與相交于點O，、分別是、的平分線，求證：(1) E、O、F三點共線；(2) 說出下列證明每一步推理的理由：證明：(1) ，又， 同理，ba， E、O、F三點共線(2) ，16、如圖，平行直線a與b被兩條相交直線所截，請數出圖中有多少對同旁內角21、三角形的邊角關系例題講練例1 草原上4口油井，位于四邊形ABCD的4個頂點，如圖現要建立一個維修站H，試問H建在何處，才能使它到4口油井

4、的距離之和最小，說明理由ACDBHE解：維修站H建在兩條對角線的交點處就符合要求 理由如下：不妨任取異于H的一點E，連EA、EB、EC、ED， 則，例2 若三角形的三邊長均整數，周長為15，問這樣的三角形共有多少個?解：設三角形的三邊長分別為、，且則當時，；當時，； 當時，所以滿足條件的三角形共有7個例3 若直角三角形的兩條直角邊長為a、b, 斜邊長為c斜邊上的高為h, 則有( ) (A) (B) (C) (D) 答：0，0， ，2；可見，（A）、（D）不正確；設斜邊為，即有，故（B）也不正確；由, 化簡整理后，得 ，因些結論（C）是正確的思考練習1、若的三邊長是三個不同的整數，周長為11，且

5、有一邊長為4，則這個三角形的最大邊長為_ 5、如圖表示一個六邊形的鋼架ABCDEF，它的結構是不穩固的，現需要想辦法穩固這種結構使之不能活動，可用鋼管連接某些對角線，問至少要用_根鋼管才能穩固，請在圖中畫出來BCDEA2、周長為24，各邊長互不相等且都是整數的三角形共有_ _個3、在中，平分，圖中有_個等腰三角形 4、在中，若，則是( )(A) 直角三角形 (B) 銳角三角形 (C) 鈍角三角形 (D) 銳角三角形或鈍角三角形6、一個凸n邊形的內角和小于, 那么, n的最大值是( ) (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 147、一個凸邊形的內角和超過，則的最小值是( )(A) 7

6、 (B) 8 (C) 9 (D) 108、多邊形邊上或內部的一點與多邊形各頂點的連線，將多邊形分割成若干個小三角形圖(一)給出了四邊形的具體分割方法，分別將四邊形分割成了2個、3個、4個小三角形 圖(一)請你按照上述方法將圖(二)中的六邊形進行分割，并寫出得到的小三角形的個數試把這一結論推廣到邊形圖(二)9、給定平面上的幾個點，已知1、2、4、8、16、32都是其中兩點之間的距離，那么點數N的最小可能值是（ ） (A) 4 (B) 5 (C)6 (D) 710、內共有個點，連結這些點(含A、B、C共個點)可將個割成若干個不重疊的小三角形，問有多少這樣的三角形？11、過平面內點任意作7條直線，證

7、明：以點為頂點的角中，必有一個小于12、平面內有7條直線兩兩相交，證明：在所有的交角中，必有一個小于22、角度計算例題講練AEDBC例1 已知在中，、分別在邊、上，且、，求的度數略解：設的度數為，易見， ， ， ABCDE例2 在ABC中,AB = AC, AD = AE, BAD =, 求EDC的的度數略解：設，由AB = AC知，B, 由AD = AE知，, 思考練習1、如圖：求的度數 2、如圖，若和是和的平分線，若，求CDBA3、如圖，點D在的邊BC上，且，求GBFCNEHDAEFDBCA4、如圖，求的度數5、如圖，中，延長BA至E，作，與的平分線交于F，求的度數6、如圖，ABC中，A，

8、B的外角平分線AD、BE分別交對邊的延長線于點D、E， DAECBF且AD =AB =BE求BAC的度數BACDEEDCBAABCDE7、在ABC中，AB = AC， AD = AE，求EDC的度數8、在下列三個圖形中，已知，(1) 在圖1中若，則_(2) 在圖2中若，則_2BAC134圖2(3) 在圖3中若，(是大于等于1的自然數)，試推出的度數與的關系式AB21CABC1245n3圖1圖323、構造全等三角形方法ADBCE例題講解例1 在ABC中，AD平分ABC，ABBDAC，求證：B2C.略證：在AC上截取AEAB，連結DE，ABCDE則ABDAED，BDDE，BAEDEDCC， ACA

9、BBDAEEC， EDEC BAED2C例2 在ABC中，AD是中線，若AB5，AC3，求AD的取值范圍.略解：延長AD至E，使ADDE，則ABDECD，易見，2AD35，AD4 又 32AD5，AD11AD4例3 在ABC中，BAC，ADBC于D，且ABBDDC，求C的度數.ABCDE略解：在BC上截取DEDB，連結AE，則ABDAED，ABAE，BAED， ABBDDC，ECCDDE（ABBD）BDABAECCAE，BAED2CBC，C例4 已知，如圖，O是正方形內一點，OBCOCB15，OBCADP求證：AOD是等邊三角形.略證：連AC，延長BO交AC于P，連PD，易得BPCDPC120

10、， DPO120，又POCPCO30， POPC， OPDCPD， ODDCAD，同理，OAABAD， AOD是等邊三角形.ABCDE思考練習1、已知D為等邊ABC內一點，DBDA，BEBA，DBEDBC，求BED的度數. 2、證明：有兩邊和第三邊中線對應相等的兩個三角形全等.ABCDE3、在直角ABC中，BAC，ABAC，BD平分ABC，CEBD于E，求證：BD2CE.4、在正方形ABCD中，M是AB的中點，MNMD，BN平分CBE，E是AB上的一點，求證：MDMN.5、若M是正方形ABCD的邊AB的中點，MNCM交AD于N，求證：BCMMCN.6、在正方形ABCD中，E是BC上任一點，EA

11、D的平分線交CD于F，求證：BEDFAE7、在正方形ABCD內作EAF45，E、F分別在BC，CD上，AHEF，求證：AH = AB.ABCDEFABCDMNEABCDMNABCDEFH答案提示 1、注意到DBEDBC，BEBC，可構造BDEBDCCDA.2、延長中線構造全等三角形. 3、注意到ABECBE，BECE，可構造與BEC全等的三角形.4、利用中點構造全等三角形. 5、用中點構造全等三角形.6、利用邊AB構造三角形與ADF全等, 得出等于BEDF的線段. 7、利用邊AB構造三角形與ADF全等,由全等三角形對應高相等得結果.24、證兩角相等的基本方法例題講解BCDHEA例1 已知ABC

12、中，高AD與BE相交于點H，ABC，HDDC，求證：BHAC.分析：只需證ACDBHD，關鍵是證明DACDBH，考慮DACC，DBHC，這樣問題易證.ABCDEFG例2 從等腰RtABC的直角頂點C作中線BD的垂線，交BD于F，交AB于E，連結DE，求證：CDFADE分析：易見，CBDACE，結合BC = AC, BCA 是直角，只要過A作GAAC交CE的延長線于G，則可構造出BCDCAG，得CDFG，再證ADEAGE，得ADEG，從而得CDFADE.思考練習1、如圖，在ABC中，BDDE，ABBEEC，求證：BADC.2、如圖，D是等邊ABC外一點，BDABCA，求證：ADBDCD.ABCE

13、DPGABCDE3、在等邊ABC中，點D、E在邊BC和AC上，且AEDC，AD與BE相交于點P，BGAD于G，已知PE1，PG3，求AD的長度.2GCBAD13E4、如圖，在等腰ABC中，ABAC，CEBD，求證：DFEF.5、在等邊ABC中，P、Q、R為各邊中點，M為RC上任一點，PMS是等邊三角形，連結SQ，求證：RMQS6、等腰RtABC中，AC = BC，AD是中線，DEAB于E，SPMQRABCABCFED求證：AB = AC + CD.ABCDEACBDE7、在ABC中，AC = BC，ACB = ，D是AC上一點，且AE垂直BD的延長線于E，又BD = 2AE，求證：BD平分AB

14、C.8、在ABC中，ADBC，BEAC，若AC = BH，求ABC的度數。DBCA9、ABC中，AB = AC， A =，BD平分ABC，求證：BC = BD + ADABCDEFPMN10、在ABC中，D為AB的中點，分別延長CA、CB到點E、F，使DE = DF；過E、F分別作CA、CB的垂線，相交于P，設線段PA，PB的中點分別為M，N，求證：（1）DEMDFN；（2）PAEPBF答案提示1、先證23，有ABG121802321803AEC，可得ABGAEC，BADC. 2、在AD上取點E，使DEDB，證ABECBD，5、連PQ，PR，則RPM60MPQQPS，可證PRMPQS.6、提示

15、：由BE是角平分，AEBE，可考慮構造等腰三角形.9、分析：由BD是角平分線，可在BC上取點E，使BE = AB，連DE，則有ABDEBD，BED =A =，得DEF =在BC上取點F，使BF = BD，可得DFE = DEF =，再證DF = FC. 10、證明：（1）如圖，連結，易見，平行且等于，平行且等于， ，分別是和的斜邊中點，又，（2）由（1）知，而，均為等腰三角形，25、四邊形的性質例題講解EABCDFMN例1 六邊形ABCDEF的各角都相等，且ABBC11，AFCD3，求BCDE的值。解：延長AB、DC交于點M，延長AF、DE交于點N，則由條件易得六邊形的每個內角都為，NM，四邊

16、形ANDM是平行四邊形，MBC和NEF都是等邊三角形，故有BCCDAFEF，BCEFAFCD3，又EFEN，BCBM，DEENAMABBC11，得BCDE（BCEF）（DEEN）14.ADOBCFE例2 如圖，四邊形ABCD是正方形，四邊形ACEF是菱形，點B、E、F在同一直線上，求BAF的度數。解：過B作BOAC于O，過F作FGAC于G，則BOAC，BAC，易見，FGBO FGACAF，FAC，BAFBACFACABCDEMNF例3 E是正方形ABCD的邊AB上的一點，F為對角線BD上的一點，且AEDF，求證：CEF是等腰直角三角形.解：過F作MNBC交正方形兩邊于M、N，則DFDNFNAM

17、, CNFM，由AEDF×AM2AM， EMAEAM2AMAMFN，FMMNFNCDDNCN，由勾股定理知，CFEF， 又， 所以CEF是等腰直角三角形.思考練習1、在10邊形的所有內角中，銳角的個數最多是（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 3 (D) 5ABCDEF2、如圖，六邊形ABCDEF中，ABDE，BCEF，CDFA，且BCEEDABFACD0，求該六邊形的六個角度數ABCDE3、在梯形ABCD在中，ABCD，ACBC，且ACBC，ABBD，AC、BD交于點E，求證：ADE為等腰三角形BCEFMNDA4、在梯形ABCD在中，ADBC，B，C，點E、M、F、N分別是AB、

18、BC、CD、DA的中點，已知BC7，MN = 3，求EF.5、在等腰梯形ABCD中，CDAB，對角線AC與BD交于點O，ACD，點S、P、Q分別是OD、OA、BC的中點，(1) 求證：PQS是等邊三角形；(2) 若AB5，CD3，求PQS的周長.6、在梯形ABCD中, ADBC（BCAD）, D, 若AE =10，求CE的長答案提示1、多邊形的所有外角之和為，故外角中的鈍角的個數不能超過3個，從而知，內角中的銳角最多不能超過3個，選C2、過點A、C、E分別作BC、ED、FA的平行線，交于點O、P、Q，證OPQ為等邊三角形，得六邊形的六個角都等于3、過C、D作AB的垂線，易得ABD，可得ADBA

19、ED，4、延長CD和BA，交于G，則BGC，連GM，則點G、M、N三點成一直線，GN3.5，故GM0.5，從而AD1，EF4。5、由條件易見，OCD和OAB是等邊三角形，(1)連結CS，則CSBD，在RtBCS中,SQBC，同理，PQBC，又SPADBC，SQPQSP，PQS是等邊三角形.(2)AC8，作CEAB于E，則CE，7，故SQ3.5，PQS的周長為10.5ABCDEGM6、延長DA至M，使BMBE，過B作BGAM于G，易知四邊形BCDG為正方形，所以BCBG，又CBEGBM，RtBECRtBMG，BMBE，ABEABM，ABEABM，AMAE10，設CE，則AG10，AD12（10）

20、2，在RtADE中，即 ，解得，26、面積問題ABCDH例題講解例1 在ABC中, D是邊BC上的一點, 已知, ，求ABC的面積。 解：過D作CHAD于H, 因為ACD是等腰三角形, 所以,在RtCHD中, CD5, DH3, 則CH4, 有，ABCDEF例2 已知，E、F分別是矩形ABCD的邊BC和CD上一點，若CEF，ABE，ADF的面積分別為3，4，5，求AEF的面積。解：連結AC，設AEC，CAF的面積分別為，則即，因為ABCED AD = BC所以，解得 ，所以例3 在ABC中 已知BD和CE分別是AC、 AB上的中線 并且BDCE ，BD = 4 ,CE =6, 求ABC的面積。

21、解: 連DE, 則, DE是中位線，有, ABCDEFGPH例4 設點EFGH分別在面積而1的四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上, 且, 求四邊形EFGH的面積. 解：連結AC，過點G作GPAC交DH于點P，有 ， 由已知 ，則 ， 于是有從而, 又由于DPGDAC，有，故 ，因此，同理 ，兩式相加，得連結BD，同理可證，思考練習1、ABC的周長是24, M是AB的中點, MCMA5, 求ABC的面積2、在梯形ABCD中, ABCD, AB = 8, BC =, , , 求梯形ABCD的面積3、已知一個梯形的四條邊的長分別是1、2、3、4, 求此梯形的面積4、在四邊形ABCD中，點E、

22、F分別在BC、CD上，DF ：FC = 1 ：1，CE ：EB = 2 ：1，若ADF的面積為m， 四邊形AECF的面積為n，（nm）求四邊形ABCD的面積5、已知正方形ABCD的面積為35， E、F分別為邊AB、BC上的點，AF、CE相交于G，并且ABF的面積為5，BCE的面積為14，求四邊形BEGF的面積6、點E、F分別是矩形ABCD的邊AB與BC的中點，連AF、CE，交于點G，求四邊形AGCD與矩形ABCD的面積比7、在ABC中, DEABFG, 且FG到DE、AB的距離之比為1: 2. 若ABC的面積為32, CDE的面積為2, 則CFG的面積等于( ) (A) 6 (B) 8 (C)

23、 10 (D) 12答案提示1、由MCMAMB5知，又由ABC的周長是24, 且斜邊AB10, 故BCCA14, 且, ，故 2、A、B分別作AECD于E, BFCD于F , 在RtBFC中, BC =, , 則BF = FC = 6. 在RtAED中,AE = 6, , 則, 所以CD = , 故.3、以1、2、3、4為邊作梯形, 按底邊分類有六種可能: (1)以1、2為底; (2) 以1、3為底; (3) 以1、4為底; (4) 以2、3為底; (5) 以2、4為底; (6) 以3、4為底;易知,只有(3)才能構成梯形, 在梯形ABCD中, AB3, BC4, CD2DA1, 過點A作AH

24、BC于H,作AECD交BC于E, 則 BAE為等腰三角形, 由得 , 所以 4、連AC，則 , , ADBCEFG5、連結BG，記AGE面積為a，EGB面積為b，BGF面積為c，FGC面積為d 同理 則 因為，所以 代入得 解得，故 6、連結AC，則G是ABC的重心，所以 ABCDEFG從而 所以 .7、選（B），又由題設知，所以 ， ，故，于是 ， 27、 比例線段例題講解ABCDEFM例1：在ABC中，BDDC，E為AB上任意一點，CE交AB于F，求證：.證明：過D作DMAB，交CE于M，則，BDDC，CMME，又DMBE， 例2 直角三角形ABC的面積為120，且，AD是斜邊上的中線，過

25、點D作于E，連CE交AD于F，求AFE的面積解：作FGAB于G，則FGDEAC ABCDEFG于是 ， 兩式相加，得 , 所以 故ABCDEFG思考練習1、 梯形ABCD中，ABDC，E是DC的中點，直線BE交AC于F，交AD的延長線于G， 求證：2、在正方形ABCD中，A、E、F、G在同一直線上，并且AE = 5cm，EF = 3cm，求FG的長。 3、工地上豎立著兩根電線桿AB、CD, 它們相距15cm, 分別自兩桿高出地面4m, 6m,的A、C處, 向兩側地面上的E和D, B和F點處, 用鋼絲繩拉緊, 以固定電線桿, 那么鋼絲繩AD和BC的交點P離地面的高度是多少。ABCDEFP4、在R

26、tABC中，兩條直角邊AB、AC的長分別為1cm、2cm，那么，直角的角平分線的長度等于多少。ABCDE5、設ABC的面積為1，D是邊AB上一點，且，若在邊AC上取一點E，使四邊形DECB的面積為，求的值答案提示1、ABDC， 2、由條件得， ， 3、作PQEF于Q, 設BQ = x , QD = y, PQ = h,由ABPQCD, 得，兩式加, 得, 則h = 2.4m, 即點P離地面高度為2.4m.4、過B作BEDA交CA延長線于E，則EBABAD，得BE=由， 故 5、連結，設，則，28、相似三角形例題講解例1 已知D是ABC的BC邊上一點，且ACDB，求證：ABCD證明：ACDB，A

27、A，ACDABC， ，.例2 在ABC中，ABC，點P是ABC內的一點，使得APBBPCCPA，且PA8，PC6，求PB的長.ABC解: APBBPCCPA，PABPBAPBC，PABPBC從而 即思考練習ABCDEF1、在ABC中，D是邊AC上一點, 下列四種情況中, 不能使ABD ACB成立的情況是（ ）(A) (B) (C) (D)APBCD2、已知直角ABC（ACBC）的斜邊AB的中點為D過D作AB的垂線交AC于E，交BC的延長線于F，連結DC， 求證：3、如圖, 若PA = PB, APB =2ACB, AC與PB交于點D,且PB = 4, PD =3, 求.ABCDMNTO4、AB

28、C的三邊長為, 且, 求證：B2A .5、在正方形ABCD中, , N是DC的中點, M是AD上異于D的點, 且NMBMBC, 求tanABM MNADC6、將邊長為1的正方形ABCD繞A點按逆時針方向旋轉至的位置，求這兩個正方形重疊部分的面積答案提示1、因為由(B)(C)都能得出ABDACB, 因此可將(B)(C)排除掉.對于(A), 分別作BEAC于E, DFAB于F, 則DF = ADsinA, BE = ABsinA, 由得，RtBDF RtCBE, ABDACB, ABD ACB ，故排除(A), 選(D). 3、延長BP到Q, 使PQ = PB = 4, 連AQ, PQ= PB =

29、 PA, APB =2AQD, APB =2ACB，AQD =ACB，又ADQ = BDC，ADQBDC, 從而得 ，故 .4、由得延長CB到D, 使BD = AB = c, 則CD = 在ABC和DAC中, ， 又C公用, ABCDAC, 從而BAC = D = BAD, ABC = D + BAD = 2D = 2BAC. 5、延長MN交BC的延長線于T, 設MB的中點為O, 連結TO, 則BAMTOB. 所以, 即 , 在直角三角形BAM中, 又, 所以，解得 , 從而 , 所以 .6、過作MNAD，分別交CD、AB于M、N，設交CD于K，則，所以 ，又RtRt，所以，則，.29、圓例題

30、講練例1 在等腰梯形ABCD中，ABCD，AB998，DC1001，AD1999，點P在線段AD上, 求滿足條件BPC的點P的個數.BCDAOH解: 因為AB +CD = 1999 = AD, 所以梯形的中位線等于腰BC的一半, 故以BC為直徑的圓與AD的一個交點恰為AD的中點, 即AD的中點對BC張成的角為直角. 又在AD上取點Q, 使AQ = AB, DQ = DC, 由ABQ和DCQ都是等腰三角形, 知Q對BC成角. 注意到以BC為直徑的圓與AD至多有兩個交點, 可知所求的點數為2 . 例2 已知四邊形ABCD內接于直徑為3的圓O, 對角線AC是直徑, AC與BD相交于點P, AB =

31、BD, 且PC = 0.6, 求四邊形ABCD的周長. 解: 連結BO并延長交AD于H, 因為AB = BD, O是圓心, 所以BHAD, 又因為ADC, 所以BHCD, 從而 OPBCPD， 故 CD = 1于是 ， 又 所以 ，四邊形ABCD的周長為.ABCDEFG例3 設ABC是直角三角形, 點D在斜邊BC上, BD = 4DC, 已知圓過點C且與AC相交于F, 與AB相切于AB的中點G，求證: ADBF. 證明: 過D作DEAC于E, 則， 即 ，故BAFAED ABFDAE, 而EAD +DAB = ，ABF +DAB = , 故 ADBF.APBCSTH例4 如圖, 已知P是O外一點, PS、PT是O的兩條切線, 過點P作O的割線PAB,交O于A、B兩點, 與ST交于點C, 求證：證明：過P作PHST，則H是ST的中點，又, O1ACDBO2例5 圓與圓外切于點A,兩圓的一條外公切線與圓相切于點B, 若AB與兩圓的另一條外公切