1、幾何與代數、線性代數教學大綱與歷年試題南京 東南大學數學系2007年月目 錄1. 幾何與代數教學大綱1 2. 線性代數教學大綱83. 幾何與代數教學大綱（64學時）134. 01-02學年第二學期幾何與代數期終考試試卷215. 02-03學年第二學期幾何與代數期終考試試卷256. 03-04學年第二學期幾何與代數期終考試試卷307. 04-05學年第二學期幾何與代數期終考試試卷348. 05-06學年第二學期幾何與代數期終考試試卷399. 06-07學年第二學期幾何與代數期終考試試卷4310. 01-02學年第三學期線性代數期終考試試卷4711. 03-04學年第三學期線性代數期終考試試卷52

2、12. 04-05學年第三學期線性代數期終考試試卷5613. 05-06學年第三學期線性代數期終考試試卷6114. 06-07學年第三學期線性代數期終考試試卷6515. 05-06學年第二學期幾何與代數補考試卷6916. 05-06學年第二學期線性代數補考試卷7317. 07-08學年第一學期線性代數轉系考試試卷77幾何與代數教學大綱48學時本課程是本科階段幾何及離散量數學最重要的課程。本課程的目的是使學生熟悉線性代數與空間解析的基本概念，掌握用坐標及向量的方法討論幾何圖形的方法，熟悉空間中簡單的幾何圖形的方程及其特點，掌握線性代數的基本理論和基本方法，提高其空間想象能力、抽象思維和邏輯思維的

3、能力，為用線性代數的理論解決實際問題打下基礎，并為后繼課程的學習做好準備。教學內容和基本要求一 向量代數 平面與直線1 理解幾何向量的概念及其加法、數乘運算，熟悉運算規律，了解兩個向量共線和三個向量共面的充分必要條件；2 理解空間直角坐標系的概念，了解仿射坐標系的概念，掌握向量的坐標表示；3 理解向量的數量積、向量積和混合積的概念，理解它們的幾何意義，了解相關的運算性質，掌握利用坐標進行計算的方法；4 理解平面的法向量的概念，熟練掌握平面的方程的確定方法，熟悉特殊位置的平面方程的形式；5 理解直線的方向向量的概念，熟練掌握直線的對稱方程、一般方程及參數方程的確定方法；6 了解直線、平面間的夾角

4、的定義，了解點與直線、平面間的距離的定義，并掌握相關的計算；7 了解平面束的概念，并會用平面束處理相關幾何問題。二 矩陣和行列式1 理解矩陣和維向量的概念；2 理解矩陣和向量的加法、數乘、乘法運算及矩陣的轉置及相關的運算性質，熟練掌握上述運算；3 理解零矩陣、單位矩陣、數量矩陣、對角陣、三角陣、對稱矩陣、反對稱矩陣的定義及其運算性質；4 理解二階、三階行列式的定義，熟練掌握它們的計算；5 知道全排列及其的逆序數的定義，會計算排列的逆序數，知道對換及對換對于排列的奇偶性的影響；6 了解階行列式的定義，會用行列式的定義計算簡單的階行列式；7 掌握行列式的性質，熟練掌握行列式按行、列展開公式，了解行

5、列式的乘法定理；8 掌握不很復雜的低階行列式及簡單的高階行列式的計算；9 理解矩陣的可逆性的概念，掌握矩陣可逆的判別方法，掌握逆矩陣的性質；10 了解伴隨矩陣的概念，熟練掌握伴隨矩陣的性質，掌握利用伴隨矩陣計算矩陣的逆矩陣；11 理解Cramer法則，掌握用Cramer法則求方程組的解的方法；12 了解分塊矩陣的運算性質，掌握簡單的分塊矩陣的運算規則。三 矩陣的初等變換與Gauss消元法1 理解矩陣的初等行變換與Gauss消元法的關系，掌握求解線性方程組的Gauss消元法；2 理解向量組的線性組合和線性表示的概念及相關的性質，掌握相關計算；3 理解向量組的線性相關、線性無關的概念以及有關性質，

6、掌握向量組的線性相關性的判別方法；4 理解向量組的極大線性無關組和秩的概念，理解向量組的秩的性質，熟練掌握向量組的秩的計算，并會求向量組的極大線性無關組；5 理解矩陣的秩的概念，理解向量組的秩與矩陣的秩間的關系，熟練掌握矩陣的秩的計算；6 理解齊次線性方程組有非零解的充要條件，理解齊次線性方程組的基礎解系的概念，熟練掌握基礎解系的求法；7 理解非齊次線性方程組有解的充要條件，理解非齊次線性方程組與相應的齊次線性方程組的解之間的關系，熟練掌握非齊次線性方程組的通解的表達式的求法；8 理解矩陣的初等變換及矩陣的等價關系的概念9 了解矩陣的等價標準形的概念，理解矩陣的初等變換與矩陣的乘法間的關系；1

7、0 了解可逆矩陣與初等矩陣間的關系，掌握用初等變換求逆矩陣的方法，會求簡單的矩陣方程的解；11 知道矩陣的分塊初等變換，并會利用這一方法解決簡單的矩陣問題。四 向量空間1 知道向量空間、子空間的概念，會判斷向兩空間的子集是否構成子空間；2 知道向量空間的基及維數的概念，會求由一向量組生成的子空間及一齊次線性方程組的解空間的基及它們的維數；3 知道坐標變換公式，會求兩組基間的過渡矩陣；4 理解向量的內積、長度及正交性的概念，了解向量內積的基本性質；5 理解向量空間的標準正交基的概念，熟練掌握Schimidt正交化方法；6 理解正交矩陣的概念，了解正交矩陣的性質。五 相似矩陣和矩陣的特征值、特征向

8、量1 理解矩陣的特征值、特征向量的概念，熟練掌握矩陣的特征多項式、特征值、特征向量的求法；2 熟練掌握特征多項式、特征值、特征向量的性質；3 了解矩陣的跡的概念，了解矩陣的跡、行列式與其特征值間的關系；4 理解矩陣的相似性概念，理解兩矩陣相似的必要條件；5 熟練掌握矩陣相似于對角陣的充要條件，并熟練掌握相應的對角陣及相似變換矩陣的求法；6 熟練掌握實對稱矩陣的性質，熟練掌握求正交矩陣將實對稱矩陣化成對角陣的方法。六 二次型與二次曲面1 理解二次型及二次型的矩陣的概念，熟練掌握二次型的矩陣的求法；2 理解可逆線性變換及二次型的標準形的概念，了解二次型的規范形的概念；3 理解矩陣間的合同關系的概念

9、；4 理解二次型在正交變換下的標準形與二次型的矩陣的特征值的關系，熟練掌握用正交變換化二次型為標準形的方法，掌握用可逆線性變換化二次型為標準形的方法；5 理解慣性定理的結論及其幾何含義，掌握判斷實對稱矩陣合同的方法；6 理解正定性的概念，熟練掌握判斷二次型、實對稱矩陣是否正定的方法；7 熟悉一般曲面的概念，熟悉球面、柱面、旋轉面、錐面等重要曲面的幾何特征以及它們的方程的特點；8 知道二次曲線的參數方程；9 熟悉二次曲面的標準方程，以及它們的幾何特征；10 掌握二次曲面的交線以及這些交線在坐標平面上的投影曲線的方程的求法；11 掌握一些簡單的幾何圖形的草圖的作法。注：對于概念與結論分知道、了解、

10、理解三個層次，對方法分會、掌握、熟練掌握三個層次。線性代數教學大綱32學時本課程是以矩陣為主要工具研究數量間的線性關系的基礎理論課程，也是本科階段關于離散量數學的最重要的課程。本課程的目的是使學生熟悉線性代數的基本概念，掌握線性代數的基本理論和基本方法，提高其抽象思維、邏輯思維的能力，為用線性代數的理論解決實際問題打下基礎。教學內容和基本要求一 行列式1 理解二階、三階行列式的定義，熟練掌握它們的計算；2 知道全排列及全排列的逆序數的定義，會計算排列的逆序數，知道對換及對換對于排列的奇偶性的影響；3 了解階行列式的定義，會用行列式的定義計算簡單的階行列式；4 掌握行列式的性質，熟練掌握行列式按

11、行、列展開公式，了解行列式的乘法定理；5 掌握不很復雜的低階行列式及簡單的高階行列式的計算；6 理解Cramer法則，掌握用Cramer法則求方程組的解的方法。二 矩陣1 理解矩陣的概念；2 理解矩陣的加法、數乘、乘法運算及矩陣的轉置及相關的運算性質，熟練掌握上述運算；3 理解零矩陣、單位矩陣、數量矩陣、對角陣、三角陣、對稱矩陣、反對稱矩陣的定義及其運算性質； 4 理解矩陣的可逆性的概念，掌握矩陣可逆的判別方法，掌握逆矩陣的性質；5 了解伴隨矩陣的概念，熟練掌握伴隨矩陣的性質，掌握利用伴隨矩陣計算矩陣的逆矩陣；6 了解分塊矩陣的運算性質，掌握簡單的分塊矩陣的運算規則。三 矩陣的初等變換與Gau

12、ss消元法1 理解矩陣的初等行變換與Gauss消元法的關系，理解矩陣的初等變換及矩陣的等價關系的概念；2 了解矩陣的等價標準形的概念，理解矩陣的初等變換與矩陣的乘法間的關系；3 了解可逆矩陣與初等矩陣間的關系，掌握用初等變換求逆矩陣的方法，會求簡單的矩陣方程的解；4 理解矩陣的秩的概念，熟練掌握矩陣的秩的求法，理解矩陣運算前后的秩之間的關系；5 熟練掌握用矩陣的秩判斷線性方程組的相容性及討論解的情況的方法。四 向量組的線性相關性1 理解向量的概念，理解線性組合和線性表示的概念；2 理解向量組的線性相關、線性無關的概念以及有關性質，掌握向量組的線性相關性的判別方法；3 理解向量組的秩的概念，理解

13、向量組的秩與矩陣的秩間的關系，熟練掌握向量組的秩的性質；4 理解向量組的最大線性無關組的概念，理解向量組的最大線性無關組與向量組的秩間的關系，會求向量組的最大線性無關組；5 理解齊次線性方程組有非零解的充要條件，理解齊次線性方程組的基礎解系的概念，熟練掌握基礎解系的求法；6 理解非齊次線性方程組有解的充要條件，理解非齊次線性方程組與相應的齊次線性方程組的解之間的關系，熟練掌握非齊次線性方程組的通解的表達式的求法；7 知道向量空間、子空間、向量空間的基及維數的概念，會判斷向兩空間的子集是否構成子空間，會求由一向量組生成的子空間及一齊次線性方程組的解空間的基及它們的維數；8 知道坐標變換公式，會求

14、兩組基間的過渡矩陣。五 相似矩陣和二次型1 理解向量的內積、長度及正交性的概念，了解向量內積的基本性質；2 理解向量空間的標準正交基的概念，熟練掌握Schimidt正交化方法；3 理解正交矩陣的概念，了解正交矩陣的性質；4 理解矩陣的特征值、特征向量的概念，熟練掌握矩陣的特征多項式、特征值、特征向量的求法，理解特征多項式、特征值、特征向量的性質；5 理解矩陣的相似性概念，理解兩矩陣相似的必要條件；6 熟練掌握矩陣相似于對角陣的充要條件，并熟練掌握相應的對角陣及相似變換矩陣的求法；7 熟練掌握實對稱矩陣的性質，熟練掌握求正交矩陣將實對稱矩陣化成對角陣的方法；8 理解二次型及二次型的矩陣的概念，熟

15、練掌握二次型的矩陣的求法；9 理解可逆線性變換及二次型的標準形的概念，了解二次型的規范形的概念；10 理解矩陣間的合同關系的概念；11 理解二次型在正交變換下的標準形與二次型的矩陣的特征值的關系，熟練掌握用正交變換化二次型為標準形的方法，掌握用可逆線性變換化二次型為標準形的方法；12 理解慣性定理的結論，掌握判斷實對稱矩陣合同的方法；13 理解正定性的概念，熟練掌握判斷二次型、實對稱矩陣是否正定的方法。注：對于概念與結論分知道、了解、理解三個層次，對方法分會、掌握、熟練掌握三個層次。幾何與代數教學大綱（總學分：4；總上課學時：64；上機時數：0）一 課程的性質與目的 本課程是工科電類專業學生本

16、科階段關于幾何及離散量數學重要的數學基礎課程。本課程的目的是使學生熟悉空間解析幾何與線性代數基本概念，掌握用坐標及向量的方法討論幾何圖形的方法，熟悉空間中簡單的幾何圖形的方程及其特點，掌握線性代數的基本理論和基本方法，熟悉矩陣運算的基本規律和基本技巧，熟悉矩陣在等價關系、相似關系、合同關系下的標準形，提高其空間想象能力、抽象思維和邏輯思維的能力，為后繼課程的學習做好準備，并為用線性代數的理論解決實際問題打下基礎。二 課程內容的教學要求1向量代數 平面與直線（1） 理解幾何向量的概念及其加法、數乘運算，熟悉運算規律，了解兩個向量共線和三個向量共面的充分必要條件；（2） 理解空間直角坐標系的概念，

17、理解仿射坐標系的概念，掌握向量的坐標表示；（3） 理解向量的數量積、向量積和混合積的概念，理解它們的幾何意義，了解相關的運算性質，掌握利用坐標進行計算的方法；（4） 理解平面的法向量概念，熟練掌握平面的方程的確定方法，熟悉特殊位置的平面方程的形式；（5） 理解直線的方向向量的概念，熟練掌握直線的對稱方程、一般方程及參數方程的確定方法；（6） 了解直線、平面間的夾角的定義，了解點與直線、平面間的距離的定義，并掌握相關的計算；（7） 了解平面束的概念，并會用平面束處理相關幾何問題。2矩陣和行列式（1） 理解矩陣和維向量的概念；（2） 理解矩陣和向量的加法、數乘、乘法運算及矩陣的轉置及相關運算性質，

18、熟練掌握上述運算；（3） 理解零矩陣、單位矩陣、數量矩陣、對角陣、三角陣、對稱矩陣、反對稱矩陣的定義及其運算性質；（4） 理解二階、三階行列式的定義，熟練掌握它們的計算；（5） 知道全排列及全排列的逆序數的定義，會計算排列的逆序數，知道對換及對換對于排列的奇偶性的影響；（6） 了解階行列式的定義，會用行列式的定義計算簡單的階行列式；（7） 掌握行列式的性質，熟練掌握行列式按行、列展開公式，了解行列式的乘法定理；（8） 掌握利用行列式的性質計算行列式的方法；（9） 理解矩陣的可逆性的概念，掌握矩陣可逆的判別方法，掌握逆矩陣的性質；（10） 理解伴隨矩陣的概念，熟練掌握伴隨矩陣的性質，掌握利用伴隨

19、矩陣計算矩陣的逆矩陣；（11） 理解Cramer法則，掌握用Cramer法則求方程組的解的方法；（12） 掌握分塊矩陣的運算規則，掌握典型的分塊方法。3矩陣的初等變換與Gauss消元法（1） 理解矩陣的初等行變換與Gauss消元法的關系，掌握求解線性方程組的Gauss消元法；（2） 理解向量組的線性組合和線性表示的概念及相關的性質，掌握相關計算；（3） 理解向量組的線性相關、線性無關的概念及有關性質，掌握向量組的線性相關性的判別方法；（4） 理解向量組的極大線性無關組和秩的概念，理解向量組的秩的性質，熟練掌握向量組的秩的計算，并會求向量組的極大線性無關組；（5） 理解矩陣的秩的概念，理解向量組

20、的秩與矩陣的秩間的關系，熟練掌握矩陣的秩的計算；（6） 理解齊次線性方程組有非零解的充要條件，理解齊次線性方程組的基礎解系的概念，熟練掌握基礎解系的求法；（7） 理解非齊次線性方程組有解的充要條件，理解非齊次線性方程組與相應的齊次線性方程組的解之間的關系，熟練掌握非齊次線性方程組的通解的表達式的求法；（8） 理解矩陣的初等變換及矩陣的等價關系的概念；了解矩陣的等價標準形的概念，并會用矩陣的等價標準形討論矩陣的性質；（9） 理解矩陣的初等變換與矩陣的乘法間的關系；（10） 了解可逆矩陣與初等矩陣間的關系，掌握用初等變換求逆矩陣的方法；（11） 掌握求簡單的矩陣方程的解的方法；（12） 了解矩陣的

21、分塊初等變換，會利用這一方法解決典型的矩陣問題。4向量空間（1） 理解向量空間、子空間的概念，會判斷向兩空間的子集是否構成子空間， （2） 理解向量空間的基及維數的概念，會求由一向量組生成的子空間及一齊次線性方程組的解空間的基及它們的維數；（3） 知道坐標變換公式，會求兩組基間的過渡矩陣；（4） 理解向量的內積、長度及正交性的概念，了解向量內積的基本性質；（5） 理解向量空間的標準正交基的概念，熟練掌握Schimidt正交化方法；（6） 理解正交矩陣的概念，了解正交矩陣的性質。5相似矩陣和矩陣的特征值、特征向量（1） 理解矩陣的特征值、特征向量的概念，熟練掌握特征多項式、特征值、特征向量的求法

22、；（2） 熟練掌握矩陣的特征多項式、特征值、特征向量的性質；（3） 理解矩陣的跡的概念，理解矩陣的跡、行列式與其特征值間的關系；（4） 理解矩陣的相似性概念，理解兩矩陣相似的必要條件；（5） 理解Hamilton-Cayley定理及其意義，會利用Hamilton-Cayley定理討論矩陣的性質，做一些重要的計算；（6） 理解矩陣的最小多項式的概念，理解矩陣的最小多項式與特征多項式的關系；（7） 理解矩陣的Jordan標準形的概念，知道Jordan標準形的存在性定理，掌握Jordan標準形的唯一性定理；（8） 熟練掌握矩陣的Jordan標準形，會計算相應的相似變換矩陣；（9） 掌握利用矩陣的Jo

23、rdan標準形討論矩陣性質的方法；（10） 熟練掌握矩陣相似于對角陣的各種充要條件，并熟練掌握相應的對角陣及相似變換矩陣的求法；（11） 熟練掌握實對稱矩陣的性質，熟練掌握求正交矩陣將實對稱矩陣化成對角陣的方法。6二次型與二次曲面（1） 理解二次型及二次型的矩陣的概念，熟練掌握二次型的矩陣的求法；（2） 理解可逆線性變換及二次型的標準形的概念，了解二次型的規范形的概念；（3） 理解矩陣間的合同關系的概念；（4） 理解二次型在正交變換下的標準形與二次型的矩陣的特征值的關系，熟練掌握用正交變換化二次型為標準形的方法，掌握用可逆線性變換化二次型為標準形的方法；（5） 理解慣性定理的結論及其幾何含義，

24、掌握判斷實對稱矩陣合同的方法；（6） 理解正定性的概念，熟練掌握判斷二次型、實對稱矩陣是否正定的方法；（7） 熟悉一般曲面的概念，熟悉球面、柱面、旋轉面、錐面等重要曲面的幾何特征以及它們的方程的特點；（8） 知道二次曲線的參數方程；（9） 熟悉二次曲面的標準方程及其圖形特征；（10） 掌握二次曲面的交線以及這些交線在坐標平面上的投影曲線的方程的求法；（11） 掌握一些簡單的幾何圖形的草圖的作法。三 能力培養要求1 邏輯思維能力的培養：主要根據線性代數理論特有的邏輯體系，尤其是通過向量組的線性相關性、矩陣的等價、相似、相合關系等內容的教學，培養學生的邏輯思維能力。2 抽象思維能力的培養：在要求學

25、生理解線性代數特有的思維方式的同時，讓學生體會如何從具體的實際問題以及直觀的幾何問題抽象、概括、提煉出代數問題，進而尋求適用于解決更一般問題的代數方法。3 代數運算能力：著重培養學生的矩陣運算能力。4 空間想象能力的培養：利用幾何空間中向量之間的線性關系以及一些典型的幾何圖形的特點，結合線性代數的方法，注重對學生空間想象能力的培養，使學生具備初步的根據解析表達式想象并作出簡單空間圖形的能力。 5 敘述表達能力的培養：注重培養學生用代數的語言表達自己的思想、描述具體的數學問題的能力，并特別要注意表達方式的條理性、邏輯性和準確性。6 自我學習能力的培養：利用相關內容的教學，讓學生體會代數的思維特點

26、，體會代數的思維方式，增強自我學習的能力。7 實踐創新能力的培養：培養學生用代數方法思考、解決實際問題的能力。注：對于概念與結論分知道、了解、理解三個層次，對方法分會、掌握、熟練掌握三個層次。01-02學年第二學期幾何與代數期終考試試卷一（30%）填空題：1 設，則 ；= ； ；2 設矩陣，則行列式 ；3 若向量組線性無關，則當參數 時，也線性無關；4 矩陣的伴隨矩陣=；5 設矩陣及均可逆，則，且 ；6 與向量，均正交的單位向量為 ；7 四點共面的充要條件為 ；8 設實二次型，則當滿足條件 時，是橢球面；當滿足條件 時，是柱面。二（8%）記為由曲線繞軸旋轉所產生的旋轉曲面,為以與平面的交線為準

27、線，母線平行于-軸的柱面。試給出曲面，并畫出所截有界部分在平面上的投影區域的草圖（應標明區域邊界與坐標軸的交點）。三（8%）求經過直線且與平面垂直的平面方程.四（12%）求矩陣方程的解，其中，.五（12%）設線性方程組1 問：當參數滿足什么條件時，方程組無解、有唯一解、有無窮多解？2 當方程組有無窮多解時，求出其通解。六（12%）設矩陣，已知。1 求參數的值；2 求一3 問：是否存在秩大于2的矩陣使得？為什么？七（12%）設實對稱矩陣1 求參數；2 求一正交陣八（6%）已知階方陣相似于對角陣，并且，的特征向量均是矩陣的特征向量。證明：。02-03學年第二學期幾何與代數期終考試試卷一 填空題、單

28、選題（每小題分，共分）1；2；3若是正交矩陣，則行列式 ；4空間四點，共面的充要條件是；5點到直線的距離為；6若階方陣的秩為，則伴隨矩陣的秩為；7若可逆矩陣使，則方陣的特征多項式為 ；8若階方陣使都不可逆，則與對角陣 相似（其中，是階單位陣）；9若與對角陣相合，則 ；10設，其中列向量線性無關，則齊次線性方程組的一個基礎解系是；11設都是階方陣，則（） （）5；（）4；（）3；（）212設階矩陣滿足，則以下結論中未必成立的是（）（）可逆，且；（）或；（）若2不是的特征值，則；（）或。二 計算題（每小題8分，共24分）1314求直線在平面上的垂直投影直線方程15設，其中，求三 計算題、解答題（三

29、小題共分）16設向量組是生成的空間已知，（） 求；（） 求的一個基，并求在此基下的坐標；（） 求的一個標準正交基17用正交變換化簡二次曲面方程求出正交變換和標準形）并指出曲面類型18設為由平面中的直線，直線及拋物線圍成的平面區域將繞軸旋轉一周得旋轉體（）畫出平面區域的圖形；（）分別寫出圍成的兩塊曲面的方程；（）求的交線在平面上的投影曲線的方程；（）畫出和，的圖形四 證明題、解答題（每小題分，共分）19設是線性方程組的一個解，是導出組的基礎解系證明：線性無關20設是維非零實列向量，又（）求的秩；（）求的全部特征值；（）問是否與對角陣相似？（）求0-0學年第二學期幾何與代數期終考試試卷一 （24%

30、）填空題1若向量，共面，則參數滿足 .2過點且包含軸的平面方程為 .3已知矩陣滿足，則的逆矩陣= .4設矩陣，則行列式 .5設向量組，則當 時，線性相關.6向量空間中向量在的基，下的坐標為 .7滿足下述三個條件的一個向量組為 ，這三個條件是：它是線性無關的；其中的每個向量均與向量正交；凡與正交的向量均可由它們線性表示.8已知矩陣，若對任意2維列向量有，則滿足條件 .二 （12%）假設矩陣滿足，其中.求.三 （15%）設向量，. 問：當參數滿足什么條件時1能用唯一線性表示？2不能用線性表示？3能用線性表示，但表示法不唯一？求這時用線性表示的一般表達式.四 （8%）設實二次型 問：實數滿足什么條件

31、時，方程表示直角坐標系中的橢球面？五 （12%）設3階方陣的特征值為，矩陣。1 求參數的值，使得矩陣不可逆；2 問：矩陣是否相似于對角陣？請說明你的理由.六 （12%）已知二次曲面的方程為：，的方程為：。1 問：，分別是哪種類型的二次曲面？2 求與的交線在平面上的投影曲線方程；3 畫出由及所圍成的立體的草圖.七 （10%）假設實對稱矩陣的秩為2，并且，其中，。求的所有特征值及相應的特征向量；并求矩陣及.八 （7%）證明題：1 設是齊次線性方程組的線性無關的解向量，不是其解向量。證明：也線性無關. 2 設是階正定矩陣，證明：.04-05學年第二學期幾何與代數期終考試試卷一、 (24%)填空題1

32、以，為頂點的三角形的面積為 ；2 設3階矩陣，。若的行列式，則的行列式 ；3 若向量，共面，則參數 ；4 若為階方陣，則方陣的逆矩陣 ；5 已知向量是矩陣的特征向量，則參數 ，相應的特征值等于 ； 6 假設矩陣，則在實矩陣中，與相抵的有 ；與相似的有 ；與相合的有 二、 （8%）計算行列式三、 （10%）假設，求矩陣方程的解四、 （14%）假設矩陣，1 已知齊次線性方程組的基礎解系中有兩個線性無關的解向量試確定這時參數的值，并求這時的一個基礎解系2 若在非齊次線性方程組的解集中，存在兩個線性無關的解向量，但不存在更多的線性無關的解向量，試確定這時參數及的值，并求的通解五、 （10%）已知直線過

33、點，與平面平行，且與直線 相交。求直線的方向向量，并寫出直線的方程六、 （10%）假設二次曲面的方程為：；平面的方程為：1. 與的交線向平面作投影所得的投影曲線的方程為 ；2. 該投影曲線繞軸旋轉所得的旋轉曲面的方程為 ；3. 在坐標系中畫出投影曲線的草圖（請給坐標軸標上名稱）；4. 在坐標系中畫出與所圍成的立體的草圖（請給坐標軸標上名稱）七、 （14%）設二次型1 試就參數不同的取值范圍，討論二次曲面的類型；2 假設若經正交變換，可以化成標準形，求參數及一個合適的正交矩陣八、 （10%）證明題1 假設維向量，。若線性無關，證明：線性無關，并且，行列式。2 假設都是階實對稱矩陣，并且，的特征值

34、均大于，的特征值均大于，證明：的特征值均大于。05-06學年第二學期幾何與代數期終考試試卷一. (24%)填空題1. 直角坐標系中向量與的向量積為 ；2. 過點且與直線垂直的平面的方程為 ；3. 設，則=；4. 若矩陣的秩為, 是線性方程組的解向量 ,并且 , , 則線性方程組的通解是 ；5. 設是維列向量，則階方陣的行列式的值為 ；6. 設是矩陣，若矩陣均不可逆，則行列式 ；7. 若3是矩陣的特征值,是的伴隨矩陣，則矩陣的一特征值為 ；8. 若表示一單葉雙曲面，則滿足條件 。二（12%）設，求以及矩陣，使。式中的均指相應的零矩陣。三（10%）設向量組 線性無關 , 問: 參數滿足什么條件時,

35、 向量組 ， ，也線性無關？四（14%）已知空間直角坐標系中三平面的方程分別為：, , 1. 問：當取何值時這三個平面交于一點？交于一直線？沒有公共交點？2. 當它們交于一直線時，求直線的方程。五（12%）已知矩陣有一個二重特征值。1. 試求參數的值，并討論矩陣是否相似于對角陣。2. 如果相似于對角陣，求可逆矩陣，使得是對角陣。六（10%）假設是實對稱矩陣。證明：分塊矩陣是正定矩陣的充分必要條件是都是正定矩陣。七（8%）由與平面及點等距離運動的動點所生成的曲面記為，將平面上曲線以軸為旋轉軸所生成的旋轉曲面記為。則：1.的方程是： ；的方程是： ； 2. 與的交線在平面上的投影曲線方程是： ；3

36、. 在坐標系中畫出由這兩個曲面所圍成的有限立體的簡圖 八（10%）證明題：1. 若實矩陣的行列式，證明：必定相似于對角陣2. 假設實對稱矩陣的特征值為，是的屬于特征值單位特征向量，矩陣證明：的特征值為06-07第二學期幾何代數期終考試試卷一 (30%)填空題（表示單位矩陣）1. 向量共面時參數的值為 ，此時，與這三個向量都正交的一個單位向量是 ；2. 向量組的秩等于 ，這個向量組的一極大線性無關組是 ；3. 假設矩陣，若是的特征值，則參數的值為 ；4. 二次型的正、負慣性指數分別為 ，下列圖形中，能表示二次曲面的圖形的標號為 ：（A），（B） ， （C） ， （D） ； 5. 由曲線繞軸旋轉所

37、產生的旋轉曲面方程為 ；6. 若向量組與向量組等價，則參數必定滿足條件 ；7. 若與相似，則 。二 （10%）已知向量組線性無關，問：當參數取何值時，向量組也線性無關？三 （15%）假設是參數，空間直角坐標系中平面的方程分別如下：， ， （1） 問：當取何值時, 這三個平面的公共點構成一直線？（2） 當它們的公共點構成一直線時，求直線的方向向量，并給出該直線的對稱方程。四 （15%）設，并且，求及。五 （15%）已知二次型 。（1） 寫出二次型的矩陣；（2） 求一個正交變換，把化為標準形, 并給出該標準形；（3） 假設，求的值 六 （15%）證明題：1. 已知矩陣，其中，。證明：不與任何對角陣

38、相似2. 假設矩陣的秩等于，并且非齊次線性方程組（）有解。證明： 有并且只有個線性無關的解向量3. 若都是可逆的實對稱矩陣，且都是正定矩陣，證明：也是正定矩陣01-02學年第三學期線性代數期終考試試卷一（33%）填空題（表示單位矩陣，表示零矩陣，指矩陣的轉置矩陣）：1 設，則 ； ；2 設矩陣，則行列式 ；3 若向量組，則當參數 時，線性相關；4 矩陣的伴隨矩陣=；5 設矩陣及均可逆，則 ；6 分塊矩陣的逆矩陣為；7 設矩陣。若齊次線性方程組的解空間是2維的，則齊次線性方程組的解空間是 維的；8 與向量，均正交的一個單位向量為 ；9 已知矩陣，則當數滿足條件 時，是正定的；10 若n階實對稱矩

39、陣滿足，且有兩個不同的特征值, 則當參數滿足條件 時，矩陣是正定的；二（12%）求矩陣方程的解，其中，。三（12%）設3階方陣有特征值，是其相應于特征值 的特征向量，是其相應于特征值的特征向量。1. 求。2. 若3階實對稱矩陣的特征值也是，證明：與必定相似。四（12%）設線性方程組1 問：當參數滿足什么條件時，方程組無解、有唯一解、有無窮多解？2 當方程組有無窮多解時，求出其通解（寫成向量形式）。五（12%）矩陣。1. 求一2. 問：是否存在秩大于2的矩陣使得？為什么？六（12%）設實對稱矩陣1. 求參數；2. 求一正交矩陣七（7%）證明題：1 設 是矩陣的兩個互異的特征值，是的屬于的線性無關

40、的特征向量，是的屬于的特征向量。證明：線性無關。2 已知階方陣相似于對角陣，并且，矩陣的特征向量均是矩陣的特征向量（注：，的特征值未必相同）。證明03-04學年第三學期線性代數期終考試試卷一 （24%）填空題：1 假設矩陣，則。2 假設向量組A：，則當參數滿足條件 時，向量組A的秩為1； 時A的秩為2； 時A的秩為3。3 若向量是矩陣的特征向量，則。4 設矩陣，且，則參數滿足條件 。5 若矩陣與對角陣相似，則滿足條件 。6 若是正交矩陣，則滿足條件 。7 若對滿足條件的實對稱矩陣， 都是正定矩陣，則實數必定滿足條件 。二 （8%）求矩陣的行列式的值。三 （15%）已知矩陣，向量。1 若是線性方

41、程組的解，試求的值，并求這時的通解；2 若有無窮多組解，但不是的解，求的值。四 （15%）解矩陣方程 。其中，。五 （15%）設二次型1 寫出二次型的矩陣；2 求一正交變換將化成標準形，并寫出相應的標準形。六 （12%）設3階矩陣的特征值是（二重）和，且，是的相應于特征值2的特征向量，是的相應于特征值是4的特征向量。求矩陣及。七 （5%）已知矩陣，。問：當參數滿足什么條件時，矩陣方程有解，但無解？八 （6%）證明題：1 已知向量組可以由線性表示。若向量組的秩為2，證明：線性無關。2 設2階方陣，且，。若不全為零，證明：不與任何對角陣相似。04-05學年第三學期線性代數期終考試試卷一 （27%）

42、填空題1 若矩陣,，且，則的值分別為；2 設對任意列向量，則矩陣 ；3 設階方陣， 若的行列式 ，則矩陣的行列式 ；4 設為階可逆方陣，階矩陣的逆矩陣為 ；5 齊次線性方程組的一個基礎解系為 ；6 若二次型是正定的，則參數的取值范圍是；7 若矩陣是正交矩陣, 則參數的值分別為 ；8 假設階矩陣的特征值為。則行列式的值為 ；9 若實二次型的矩陣分別為，則的正慣性指數相同，負慣性指數也相同的充分必要條件是參數滿足 。二（14%）假設階矩陣滿足。1 證明矩陣及均可逆，并分別求及；2 證明：若，矩陣肯定不可逆。三（14%）假設矩陣，。已知線性方程組有無窮多組解。試求參數的值，并求方程組的通解（要求用的

43、一特解及相應的齊次線性方程組的基礎解系表示）。四（15%）已知矩陣相似于對角陣。1 求的值，并求的特征值及相應的特征向量；2 求一可逆矩陣，使得為對角陣，并寫出相應的對角陣；3 問：是否存在正交矩陣，使得為對角陣？試說明你的理由。五（12%）已知矩陣，矩陣，求矩陣，使得。六（12%）假設3維向量；。已知向量組與向量組等價。1 求的秩及其一個最大線性無關組，并求參數的值；2 令矩陣，求滿足的矩陣。七（6%）假設階矩陣滿足。1 證明：關于矩陣的秩有等式，并且相似于對角陣；2 若，試求行列式的值。05-06第三學期線性代數期終考試試卷一 （30%）填空題（表示相應的單位矩陣）1. 設3階矩陣的行列式

44、,矩陣， 則矩陣的行列式 ；2. 若矩陣滿足，則的逆矩陣 ；3. 若向量組的秩為2，則參數滿足條件 ；4. 假設3階矩陣的特征值為，矩陣，其中，是的伴隨矩陣，則的行列式 ；5. 若矩陣與矩陣相似，則 ； 6. 設是3階實對稱矩陣的相應于某個非零二重特征值的特征向量。若不可逆，則的另一個特征值為 ，相應的一個特征向量為 ；7. 已知3元非齊次線性方程組的系數矩陣的秩為2, 并且，是的3個解向量,其中,則的通解是 ；8. 若4階方陣的秩都等于1，則矩陣的行列式 ；9. 若矩陣與矩陣合同，則參數滿足條件 。二 （10%）計算下述行列式的值：三 （15%）設線性方程組 。問：當參數取何值時, 線性方程

45、組有唯一解？當參數取何值時，線性方程組有無窮多組解？當線性方程組有無窮多組解時，求出其通解。四 （12%）假設矩陣，矩陣滿足，其中是的伴隨矩陣，求。五 （10%）已知向量組線性無關，問：參數滿足什么條件時，向量組線性相關？六 （15%）已知二次型 寫出二次型的矩陣； 求一正交變換，將變成其標準形（并寫出的相應的標準形）； 求當時的最大值。七 （8%）證明題：1. 設向量組中，線性相關，線性無關，證明：能由線性表示。2. 設是階正定矩陣,證明：矩陣也是正定矩陣。06-07第三學期線性代數期終考試試卷一、 (18%)填空題（表示單位矩陣）1. 假設，則 ；2. 矩陣的逆矩陣 ；3. 若矩陣的行列式

46、等于，矩陣，則矩陣的行列式 ；4. 齊次線性方程組的一個基礎解系是 ；5. 向量組，的一個極大線性無關組是 ；6. 若矩陣合同，則參數滿足條件 。二、 （12%）選擇題1. 假設是同階方陣，數，則正確的命題是（ ）（A）； （B）；（C） ； （D）。2. 假設矩陣，則不與相似的矩陣為（ ）（A）； （B）； （C）； （D）3. 假設都是非零矩陣且，則正確的命題是（ ） （A）的行向量組線性相關； （B）的行向量組線性相關； （C）的行向量組都線性相關； （D）的列向量組都線性相關。三、 （16%）設線性方程組 1. 參數取何值時，線性方程組有唯一解？取何值時，方程組沒有解？2. 當取何值時

47、，方程組有無窮多組解？當方程組有無窮多組解時，求其通解。四、 （16%）設，并且，求及。五、 （14%）已知向量是矩陣的一個特征向量。1. 求參數的值，并求的相應于特征向量的特征值；2. 問：矩陣是否相似于對角陣？說明你的理由。 六、 （14%）已知矩陣。求一正交矩陣使得為對角陣；七、 （10%）假設維實行向量，矩陣。1. 證明：是對稱矩陣當且僅當線性相關； 2. 當線性相關時，求實數的取值范圍，使得是正定矩陣。05-06學年第二學期幾何與代數補考試卷一(30%)填空題1. 設3階矩陣，。若的行列式，則的行列式 ；2. 直角坐標系中經過點，并且與直線垂直的平面的方程為 ；3. 坐標系中點，共線的充分必要條件是參數滿足條件 ；4. 假設，則= ；= ；5. 若為階方陣，則方陣的逆矩陣 ；6. 已知矩陣，若不可逆，則參數滿足條件 ，這時，的秩為 ； 7. 假設階方陣滿足，但，則可以肯定，的一個特征值等于