1、7-4-1.簡單的排列問題教學目標1.使學生正確理解排列的意義；2.了解排列、排列數(shù)的意義，能根據(jù)具體的問題，寫出符合要求的排列；3.掌握排列的計算公式；4.會分析與數(shù)字有關(guān)的計數(shù)問題，以及與其他專題的綜合運用，培養(yǎng)學生的抽象能力和邏輯思維能力；通過本講的學習，對排列的一些計數(shù)問題進行歸納總結(jié)，并掌握一些排列技巧，如捆綁法等知識要點一、排列問題在實際生活中經(jīng)常會遇到這樣的問題，就是要把一些事物排在一起，構(gòu)成一列，計算有多少種排法，就是排列問題在排的過程中，不僅與參與排列的事物有關(guān)，而且與各事物所在的先后順序有關(guān)一般地，從個不同的元素中取出()個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取

2、出個元素的一個排列根據(jù)排列的定義，兩個排列相同，指的是兩個排列的元素完全相同，并且元素的排列順序也相同如果兩個排列中，元素不完全相同，它們是不同的排列；如果兩個排列中，雖然元素完全相同，但元素的排列順序不同，它們也是不同的排列排列的基本問題是計算排列的總個數(shù)從個不同的元素中取出()個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從個不同的元素的排列中取出個元素的排列數(shù)，我們把它記做根據(jù)排列的定義，做一個元素的排列由個步驟完成：步驟：從個不同的元素中任取一個元素排在第一位，有種方法；步驟：從剩下的()個元素中任取一個元素排在第二位，有()種方法；步驟：從剩下的個元素中任取一個元素排在第個位置，有(種)方法；由乘法原

3、理，從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)是，即，這里，且等號右邊從開始，后面每個因數(shù)比前一個因數(shù)小，共有個因數(shù)相乘二、排列數(shù)一般地，對于的情況，排列數(shù)公式變?yōu)楸硎緩膫€不同元素中取個元素排成一列所構(gòu)成排列的排列數(shù)這種個排列全部取出的排列，叫做個不同元素的全排列式子右邊是從開始，后面每一個因數(shù)比前一個因數(shù)小，一直乘到的乘積，記為，讀做的階乘，則還可以寫為：，其中例題精講模塊一、排列之計算【例 1】 計算： ； 【考點】簡單排列問題 【難度】1星 【題型】解答 【解析】 由排列數(shù)公式知： ,，所以【答案】 【鞏固】 計算： ； 【考點】簡單排列問題 【難度】1星 【題型】解答 【解析】 【答案】 【鞏固

4、】 計算：； 【考點】簡單排列問題 【難度】1星 【題型】解答 【解析】 ；【答案】 模塊二、排列之排隊問題【例 2】 有4個同學一起去郊游，照相時，必須有一名同學給其他3人拍照，共可能有多少種拍照情況？ (照相時3人站成一排) 【考點】簡單排列問題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 由于人中必須有一個人拍照，所以，每張照片只能有人，可以看成有個位置由這人來站由于要選一人拍照，也就是要從四個人中選人照相，所以，問題就轉(zhuǎn)化成從四個人中選人，排在個位置中的排列問題要計算的是有多少種排法由排列數(shù)公式，共可能有：(種)不同的拍照情況也可以把照相的人看成一個位置，那么共可能有：(種)不同的拍照情況【

5、答案】【鞏固】 4名同學到照相館照相他們要排成一排，問：共有多少種不同的排法？ 【考點】簡單排列問題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 個人到照相館照相，那么個人要分坐在四個不同的位置上所以這是一個從個元素中選個，排成一列的問題這時，由排列數(shù)公式知，共有(種)不同的排法【答案】【鞏固】 9名同學站成兩排照相，前排4人，后排5人，共有多少種站法？ 【考點】簡單排列問題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 如果問題是名同學站成一排照相，則是個元素的全排列的問題，有種不同站法而問題中，個人要站成兩排，這時可以這么想，把個人排成一排后，左邊個人站在前排，右邊個人站在后排，所以實質(zhì)上，還是個人站個

6、位置的全排列問題方法一：由全排列公式，共有(種)不同的排法方法二：根據(jù)乘法原理,先排四前個，再排后五個【答案】【鞏固】 5個人并排站成一排，其中甲必須站在中間有多少種不同的站法？ 【考點】簡單排列問題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 由于甲必須站在中間，那么問題實質(zhì)上就是剩下的四個人去站其余四個位置的問題，是一個全排列問題，且由全排列公式，共有(種)不同的站法【答案】【鞏固】 丁丁和爸爸、媽媽、奶奶、哥哥一起照“全家福”，人并排站成一排，奶奶要站在正中間，有多少種不同的站法？ 【考點】簡單排列問題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 由于奶奶必須站在中間，那么問題實質(zhì)上就是剩下的四個人

7、去站其余四個位置的問題，是一個全排列問題，且n=4由全排列公式，共有(種)不同的站法【答案】【例 3】 5個同學排成一行照相，其中甲在乙右側(cè)的排法共有_種？【考點】簡單排列問題 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】學而思杯，4年級，第8題【解析】 個人全排列有種，其中甲在乙右側(cè)應(yīng)該正好占一半，也就是種【答案】60種【例 4】 一列往返于北京和上海方向的列車全程停靠個車站(包括北京和上海)，這條鐵路線共需要多少種不同的車票 【考點】簡單排列問題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 (種)【答案】【例 5】 班集體中選出了5名班委，他們要分別擔任班長，學習委員、生活委員、宣傳委員和體育委員問：有

8、多少種不同的分工方式？ 【考點】簡單排列問題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 (種)【答案】【例 6】 有五面顏色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一種信號，問：共可以表示多少種不同的信號？ 【考點】簡單排列問題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 這里五面不同顏色的小旗就是五個不同的元素，三面小旗表示一種信號，就是有三個位置我們的問題就是要從五個不同的元素中取三個，排在三個位置的問題由于信號不僅與旗子的顏色有關(guān)，而且與不同旗子所在的位置有關(guān)，所以是排列問題，且其中，由排列數(shù)公式知，共可組成(種)不同的信號【答案】【鞏固】 有紅、黃、藍三種信號旗，把任意兩面上、下掛在旗桿上都可以表示

9、一種信號，問共可以組成多少種不同的信號？ 【考點】簡單排列問題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 【答案】【鞏固】 在航海中，船艦常以“旗語”相互聯(lián)系，即利用不同顏色的旗子發(fā)送出各種不同的信號如有紅、黃、綠三面不同顏色的旗子，按一定順序同時升起表示一定的信號，問這樣總共可以表示出多少種不同的信號？ 【考點】簡單排列問題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 方法一：這里三面不同顏色的旗子就是三個不同的元素，紅、黃、綠三面旗子按一定順序的一個排法表示一種信號，也就是從三個元素中選三個的全排列的問題由排列數(shù)公式，共可以組成(種)不同的信號方法二：首先，先確定最高位置的旗子，在紅、黃、綠這三面旗

10、子中任取一個，有種方法； 其次，確定中間位置的旗子，當最高位置確定之后，中間位置的旗子只能從余下的兩面旗中去取，有種方法剩下那面旗子，放在最低位置根據(jù)乘法原理，用紅、黃、綠這三面旗子同時升起表示出所有信號種數(shù)是：(種)【補充說明】這個問題也可以用乘法原理來做，一般，乘法原理中與順序有關(guān)的問題常常可以用排列數(shù)公式做，用排列數(shù)公式解決問題時，可避免一步步地分析考慮，使問題簡化【答案】模塊三、排列之數(shù)字問題【例 7】 用1、2、3、4、5、6、7、8可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？ 【考點】簡單排列問題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 這是一個從個元素中取個元素的排列問題，已知，根據(jù)排列數(shù)

11、公式，一共可以組成(個)不同的四位數(shù)【答案】【鞏固】 由數(shù)字、可以組成多少沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？ 【考點】簡單排列問題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 【答案】【例 8】 用、可以組成多少個沒重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？ 【考點】簡單排列問題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 （法）本題中要注意的是不能為首位數(shù)字，因此，百位上的數(shù)字只能從、這四個數(shù)字中選擇一個，有種方法；十位和個位上的數(shù)字可以從余下的個數(shù)字中任選兩個進行排列，有種方法由乘法原理得，此種三位數(shù)的個數(shù)是：(個)（法）：從、中任選三個數(shù)字進行排列，再減去其中不合要求的，即首位是的從、這五個數(shù)字中任選三個數(shù)字的排列數(shù)為，其中首位是的三

12、位數(shù)有個三位數(shù)的個數(shù)是：(個)本題不是簡單的全排列，有一些其它的限制，這樣要么先全排列再剔除不合題意的情況，要么直接在排列的時候考慮這些限制因素【答案】【例 9】 用1、2、3、4、5、6可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的個位是5的三位數(shù)？ 【考點】簡單排列問題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 個位數(shù)字已知，問題變成從從個元素中取個元素的排列問題，已知，根據(jù)排列數(shù)公式，一共可以組成(個)符合題意的三位數(shù)【答案】【鞏固】 用1、2、3、4、5、6六張數(shù)字卡片，每次取三張卡片組成三位數(shù)，一共可以組成多少個不同的偶數(shù)？ 【考點】簡單排列問題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 由于組成偶數(shù)，個位上

13、的數(shù)應(yīng)從，中選一張，有種選法；十位和百位上的數(shù)可以從剩下的張中選二張，有(種)選法由乘法原理，一共可以組成(個)不同的偶數(shù)【答案】【例 10】 由，組成無重復(fù)數(shù)字的數(shù)，四位數(shù)有多少個？ 【考點】簡單排列問題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 方法一：先考慮從六個數(shù)字中任取四個數(shù)字的排列數(shù)為，由于不能在千位上，而以為千位數(shù)的四位數(shù)有，它們的差就是由，組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)，即為：個方法二：完成這件事組成一個四位數(shù)，可分為個步驟進行，第一步：確定千位數(shù)；第二步：確定百位數(shù)；第三步：確定十位數(shù)；第四步：確定個位數(shù)；這四個步驟依次完成了，“組成一個四位數(shù)”這件事也就完成了，從而這個四位數(shù)也完

14、全確定了，思維過程如下：根據(jù)乘法原理，所求的四位數(shù)的個數(shù)是：(個)【答案】【例 11】 用、這五個數(shù)字，不許重復(fù)，位數(shù)不限，能寫出多少個3的倍數(shù)？ 【考點】簡單排列問題 【難度】4星 【題型】解答 【解析】 按位數(shù)來分類考慮： 一位數(shù)只有個； 兩位數(shù)：由與，與，與，與四組數(shù)字組成，每一組可以組成(個)不同的兩位數(shù)，共可組成(個)不同的兩位數(shù)； 三位數(shù)：由，與；，與；，與；，與四組數(shù)字組成，每一組可以組成(個)不同的三位數(shù)，共可組成(個)不同的三位數(shù)； 四位數(shù)：可由，這四個數(shù)字組成，有(個)不同的四位數(shù)； 五位數(shù)：可由，組成，共有(個)不同的五位數(shù)由加法原理，一共有(個)能被整除的數(shù)，即的倍數(shù)【

15、答案】【例 12】 用1、2、3、4、5這五個數(shù)字可組成多少個比大且百位數(shù)字不是的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？ 【考點】簡單排列問題 【難度】4星 【題型】解答 【解析】 可以分兩類來看： 把3排在最高位上，其余4個數(shù)可以任意放到其余4個數(shù)位上，是4個元素全排列的問題，有(種)放法，對應(yīng)24個不同的五位數(shù)； 把2，4，5放在最高位上，有3種選擇，百位上有除已確定的最高位數(shù)字和3之外的3個數(shù)字可以選擇，有3種選擇，其余的3個數(shù)字可以任意放到其余3個數(shù)位上，有種選擇由乘法原理，可以組成(個)不同的五位數(shù)由加法原理，可以組成(個)不同的五位數(shù)【答案】【鞏固】 用0到9十個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)；若將這

16、些四位數(shù)按從小到大的順序排列，則5687是第幾個數(shù)？ 【考點】簡單排列問題 【難度】4星 【題型】解答 【解析】 從高位到低位逐層分類： 千位上排，或時，千位有種選擇，而百、十、個位可以從中除千位已確定的數(shù)字之外的個數(shù)字中選擇，因為數(shù)字不重復(fù)，也就是從個元素中取個的排列問題，所以百、十、個位可有(種)排列方式由乘法原理，有(個) 千位上排，百位上排時，千位有種選擇，百位有種選擇，十、個位可以從剩下的八個數(shù)字中選擇也就是從個元素中取個的排列問題，即，由乘法原理，有(個) 千位上排，百位上排，十位上排，時，個位也從剩下的七個數(shù)字中選擇，有(個) 千位上排，百位上排，十位上排時，比小的數(shù)的個位可以選

17、擇，共個綜上所述，比小的四位數(shù)有(個)，故是第個四位數(shù)【答案】【例 13】 用數(shù)字l8各一個組成8位數(shù)，使得任意相鄰三個數(shù)字組成的三位數(shù)都是3的倍數(shù)共有_種組成方法【考點】簡單排列問題 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，六年級，初賽，第7題【解析】 l8中被三除余1和余2的數(shù)各有3個，被3整除的數(shù)有兩個，根據(jù)題目條件可以推導(dǎo)，符合條件的排列，一定符合“被三除所得余數(shù)以3位周期”，所以8個數(shù)字，第1、4、7位上的數(shù)被3除同余，第2、5、8位上的數(shù)被3除同余，第3、6位上的數(shù)被3除同余，顯然第3、6位上的數(shù)被3整除，第1、4、7位上的數(shù)被3除可以余1也可以余2，第2、5、8位上的數(shù)被3除

18、可以余2可以余1，余數(shù)的安排上共有2種方法，余數(shù)安排定后，還有同余數(shù)之間的排列，一共有3！×3！×2！=144種方法.【答案】種【例 14】 由數(shù)字0、2、8（既可全用也可不全用）組成的非零自然數(shù)，按照從小到大排列2008排在 個【考點】簡單排列問題 【難度】4星 【題型】解答 【解析】 比小的位數(shù)有和，比小的位數(shù)有（種），比小的位數(shù)有（種），比小的位數(shù)有（種），所以排在第（個）【答案】【例 15】 千位數(shù)字與十位數(shù)字之差為2（大減小)，且不含重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有多少個? 【考點】簡單排列問題 【難度】4星 【題型】解答 【解析】 千位數(shù)字大于十位數(shù)字，千位數(shù)字的取值范圍為，

19、對應(yīng)的十位數(shù)字取，每確定一個千位數(shù)字，十位數(shù)字就相應(yīng)確定了，只要從剩下的個數(shù)字中選出個作百位和個位就行了，因此總共有個這樣的四位數(shù)千位數(shù)字小于十位數(shù)字，千位數(shù)字取，十位數(shù)字取，共有個這樣的四位數(shù)所以總共有個這樣的四位數(shù)【答案】模塊四、排列之策略問題【例 16】 某管理員忘記了自己小保險柜的密碼數(shù)字，只記得是由四個非數(shù)碼組成，且四個數(shù)碼之和是，那么確保打開保險柜至少要試幾次？ 【考點】簡單排列問題 【難度】4星 【題型】解答 【解析】 四個非數(shù)碼之和等于9的組合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3；2，2，2，3六種第一種中，可以組成多少個密碼呢？只要

20、考慮的位置就可以了，可以任意選擇個位置中的一個，其余位置放，共有種選擇；第二種中，先考慮放，有種選擇，再考慮的位置，可以有種選擇，剩下的位置放，共有(種)選擇同樣的方法，可以得出第三、四、五種都各有種選擇最后一種，與第一種的情形相似，的位置有種選擇，其余位置放，共有種選擇綜上所述，由加法原理，一共可以組成(個)不同的四位數(shù)，即確保能打開保險柜至少要試次【答案】【例 17】 幼兒園里的名小朋友去坐把不同的椅子，有多少種坐法？【考點】簡單排列問題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 在這個問題中，只要把把椅子看成是個位置，而名小朋友作為個不同元素，則問題就可以轉(zhuǎn)化成從個元素中取個，排在個不同位置的排列問題由排列數(shù)公式，共有：(種)不同的坐法【答案】【鞏固】 幼兒園里3名小朋友去坐6把不同的椅子(每人只能坐一把)，有多少種不同的坐法？ 【考點】簡單排列問題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 與例不同，這次是椅子多而人少，可以考慮把把椅子看成是個元素，而把名小朋友作為個位置，則問題轉(zhuǎn)化為從把椅子中選出把，排在名小朋友面前的排列問題由排列公式，共有：(種)不同的坐法【答案】【鞏固】